凝练核心素养 培育高阶思维——“对数函数及其性质”教学设计与教学反思

洪 兵 (江苏省如东高级中学 226400)

1 基本情况

1.1 授课对象

授课对象是四星级重点高中学生，学生基础较扎实，有指数函数的学习基础，具有初步的数形处理能力．

1.2 教材分析

授课内容是《普通高中数学教科书·必修第一册》(苏教版)第六单元“6.3对数函数”第1课时．函数是高中数学的主体内容(变量数学)的主要研究对象之一，是中学数学的重点知识.研究函数的一般理论和方法、用函数思想方法解决实际问题是函数教学的主要目标.因有较好的初中基础，学生对幂函数、指数函数的学习可能较为轻松.对数函数中的参数与变量对对数函数的影响比较复杂，较难进行直观想象，因此有利于学生数学高阶思维的培育.目前新高考加大了对数学文化的考查，对数的运算和性质在数学文化方面体现得非常充分，有助于培养学生分析、归纳、抽象等思维能力．

按课标要求，必修第一册“对数函数”教学课时为3个学时，本节课为第1课时.对数函数是学生在学过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数和指数函数的基础上进一步学习的一种新函数，对对数函数概念的理解、图象与性质的掌握和应用有利于强化学生对初等函数系统性的认识，有利于进一步加深对函数思想方法的理解，也为后续进一步探究对数函数的应用及指数函数、对数函数的综合应用起到了承上启下的作用．

知识目标 理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质；会求与对数函数有关的函数的定义域；初步应用对数函数的性质．

能力目标 通过对底的讨论，进一步认识分类讨论的思想，体会由特殊到一般的数学思想；通过例题、习题的解决，领悟化归思想在解决问题中的作用；通过超越函数对数函数的研究，产生在较高认知水平层次上的心智活动，提升认知能力和创新能力，发展高阶思维．

素养目标 在参与对数函数探讨过程中感受数学，体验数学探索的过程，提高分析、归纳、抽象等思维能力，以思维提升为突破口，发展数学核心素养．

教学重点 理解对数函数的定义，掌握对数函数图象和性质．

教学难点 底数a对函数值变化的影响及对数函数性质的应用．

2 教学过程设计

2.1 创设情境 复习引入

问题某种病毒在人与人接触时感染，开始有1个人感染，若不予以隔离控制，由1个人传染给2个，2个人传染给4个……1个感染病毒的人传染x次后，感染病毒的总人数是多少？

思考：某防疫专家预测，若采取隔离或减少接触等控制方法，将感染病毒的总人数控制在y人以内.如何确定传染次数？(对数可以缩短计算时间，在时效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍——拉普拉斯)

师生研究：设1个感染病毒的人传染x次后，感染病毒的总人数为y，即y=2x，知道x的值(输入值是传染的次数)，就能求出y的值(输出值是感染病毒的总人数)．

在这里，x与y之间存在函数关系y=2x，反之，写成对数式为x=log2y(图1)．

图1

设计意图(1)回顾指数与对数的相互转化ab=N⟺logaN=b，检测学生对指数式和对数式互化的学习情况，指数与对数互换的逆向运算属于高阶思维的体现，对学生高阶思维培育起到了较好的作用；(2)加强指数对数运算，重视数学文化研究，激发学生的好奇心，开拓学生的知识面，自然引出对数函数的概念，符合新高考要求；(3)让学生体会病毒感染之快，被病毒感染的人数成爆炸式增长，加强卫生防疫意识，积极配合卫生防疫工作.

2.2 探索新知 形成概念

1．归纳出对数函数的概念

一般地，我们把形如y=logax(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为(0,+∞)．

思考：为什么a>0且a≠1？为什么x>0？

设计意图(1)抽象出对数函数的一般形式，让学生感受从特殊到一般的数学思维方法，发展学生的抽象思维能力；(2)引导学生对对数函数概念中参数的意义进行研讨，培养学生的交流合作能力．

2．判断下列函数是否为对数函数：

(3)y=2log2x；(4)y=logx2．

3．求下列函数的定义域：

(1)y=loga(x2)；(2)y=loga(3-x)．

设计意图让学生对对数函数的概念有更深刻的理解，渗透整体化归思想．

2.3 观察图象 探究性质

1．用描点法画出下列两个函数的图象：

思考：对数函数的底数对函数的图象有何影响？这两个函数的底数有什么关系？

变式研究 画出下列两组函数的图象：

思考：判断哪些函数是增函数，哪些函数是减函数，它们的底数有什么共同特征？

设计意图(1)利用体验学习教学法，让学生自己作图、自己比较、自己归纳，体验知识的产生及形成过程，逐步培养学生的抽象概括能力，凝练数学核心素养；(2)学生在这种整体性、关联性的学习中，能够真正做到学有所悟，这正是着眼于数学知识整体、着眼于数学知识关联的高阶思维培育．

2．由对数函数图象，探究对数函数的性质

a>101时,y>0;当01时,y<0;当00

2.4 数学应用 完善认知

思考：在同一坐标系中观察六个函数的图象，每一组中的两个函数的图象有何关系？三组中前面的三个函数(对数底数a>1)的图象有何关系？三组中后面的三个函数(对数底数0

1．探究下列函数的图象位置(图2)，比较a,b,c,d的大小关系．

2．比较下列各题中两个数值的大小：

(1)log23.4和log28.5；

(2)loga5.1和loga5.9；

(3)log56和log65；

(4)log25和log35．

设计意图(1)比较大小：介值法、单调性、图象法；(2)对数比较大小三种类型：同底不同真、同真不同底、底真都不同；(3)第(4)题较为抽象，不能用函数y=logx5来研究，必须利用其他函数的图象进行研究，达到提升呈现问题解决、推理与决策、批判性思维等高阶思维品质．

2.5 归纳总结 布置作业

(1)本节课我们学习了：1)引入新知一定义(底数、真数有范围)，感受从特殊到一般的数学思想； 2)探究性质两图象(共性异性源于a)；3)由图象研究对数函数的性质，感悟分类讨论思想，求含对数的函数定义域，体现整体思想；4)对数函数的位置由底数决定，体现特值思想．

(2)布置作业：1)必做作业：课本第74页第7题和第8题；2)选做作业(课后探究)：指数函数和对数函数之间有怎样的关系？环节2.4中取特值x=2，如何比较a,b,c,d的大小关系？

3 回顾与反思

3.1 教学设计的立意

当下的数学教学已经从“知识”时代走向“核心素养”时代，数学学科核心素养培育反映了高中数学教学的魂，课堂教学应有意识地在数学知识和技能教学中，体现和培育学生的核心素养，切实提高教学质量．对数运算与对数函数知识的学习与后续的几何、三角、向量等关系联系不太密切，很多教师教学时匆匆了事，不够重视，学生只能机械记忆，知识遗忘快.这种课堂下的数学思想渗透不到位，数学思维能力得不到提升，更谈不上高阶思维培育.本节课对对数函数与指数函数间关于直线y=x对称关系的转换思维、对数式大小的比较等要求也很高，应该充分地利用好对数函数的探究过程，发展运算能力和推理能力，不能急功近利[1]，应以思维为突破口，使得课堂教学走向深入、走向理性和走向高效.着力于探索发展学生数学核心素养的实践范式、发展学生高阶思维，才是核心素养视域下数学教学的应然追求．

3.2 教学反思

(1)精心创设课堂情境，侧重文化浸润，强化育人导向

对数运算是指数运算的逆运算，可以提高计算效率；对数函数曲线与指数爆炸式曲线变化趋势有较大区别，在生活中可以用它们来模拟变量之间的关系，很好地解决社会问题中蕴含的数学问题．数学是人类的一种文化，注重文化浸润，可以通过一个个基于生活情境的主题或项目中的体验、探究和发现来构造自己的知识，发展自己的能力，养成自己的品格．

生活是数学赖以生存和发展的源泉.病毒传染、细胞分裂等社会热点问题，学生对此既兴奋又陌生，让学生会用数学的眼光观察现实世界．

(2)增强课堂探究意识，发展学生思维，培育高阶思维

本节课通过类比探究、变式探究、归纳探究等多种手段，使学生学会类比学习、自主学习、合作学习，充分发挥学生的主体作用，改变传统的“我讲你听”单一讲授式教学模式.教学过程中，教师感觉到提出的问题过于深奥，学生探究的方向不够明确，可能达不到预期的目标，作出调整后，注重分层设置问题，让学生跳一跳可以够得到，体现高阶思维学习特点，训练学生高阶思维意识.本节课的探究过程中学生还不够自由，表现欲望不够强烈，师生的配合不够默契.探究不能流于形式，在每次探究前先明确探究目的、明确重点需要研究的问题是什么，使讨论更具有针对性，形成高阶思维学习模式．

教师应增强课堂探究意识，培养学生的观察能力、逻辑思维能力、归纳能力、分析探究能力和解决实际问题的能力，培养学生认真倾听、接受别人意见的优良品质，发展学生高阶思维，培养学生高阶思维能力．

(3)关注数学思想渗透，积累思维经验，凝练核心素养

利用几个特殊函数的图象进行直观观察，归纳出对数函数的图象及其性质，充分体现数形结合思想方法的渗透；结合对数函数的底数变化对对数函数图象与性质的影响，分类讨论思想的运用得以充分体现，提升了学生思维的严谨性；借助对数式大小的比较问题，渗透转化化归思想．探究解决问题的方法和途径、探索对知识的加工和批判、强化思维训练和能力培养，这些是积累思维经验的过程，也是凝练数学核心素养的必经之路．