四足机器人斜坡对角小跑运动控制研究

俞文雅，陶红武，曾 顺，谭跃刚

(武汉理工大学机电工程学院，湖北 武汉，430070)

四足机器人属于移动机器人的一种，相比于传统的轮式机器人和履带式机器人，其躯干运动与腿足运动是分离的，因此具有更强的地形适应能力，同时，其运动稳定性比双足机器人要强，而机械结构又比六足机器人更简单，因此受到研究者的大量关注，并取得丰硕成果[1]。其中，美国波士顿动力公司(Boston Dynamics)研发的一系列四足机器人样机最具有代表性，尤其是BigDog四足机器人[2]，其强大的运动性能和地形环境适应能力让该公司在四足机器人领域名声大噪；麻省理工学院推出的Mini Cheetah猎豹机器人更为小巧灵活，其采用的凸模型预测控制(cMPC)能够满足机器人大部分的步态控制需求，机器人甚至可以完成后空翻等高难度动作[3]。

地形适应能力在很大程度上决定了四足机器人能否走出实验室在自然环境下稳定运动。在常见的自然地形中，许多特殊的凹凸地形都可以看作是具有不同坡度的斜面的叠加，因此，如何实现在斜坡上的自适应稳定运动控制对四足机器人来说十分关键。Bledt等[4]提出一种基于事件的接触模型融合方法，在没有添加外部力传感器的情况下实现对MIT Cheetah 3机器人的运动控制，提高了其对非结构化地形的适应能力；Guo等[5]提出一种在爬行步态下通过保持支撑平面质心投影点从而调整机器人姿态的算法，同时分析了不同步态序列对机器人爬坡的影响。

然而，对于四足或六足机器人这样的非线性、高耦合的复杂系统，想要进行精确的建模分析并不容易，于是许多研究者都选用一种不需要精确数学模型的控制方法——模糊控制来实现对机器人的运动控制。例如，Wang等[6]通过保持机器人重心的垂直投影在支撑多边形内并使用模糊控制器根据斜坡坡度调整机器人姿态，实现了六足机器人在斜面上的稳定运动；Chung等[7]结合模糊神经网络和卡尔曼滤波器对六足机器人进行控制，在调节姿态的同时实现机器人的避障运动，提升了机器人的灵活性与机动性；Zand等[8]通过让操作员完成对四足机器人的控制任务从而获得大量的专家经验，并将这些经验用于制定模糊控制规则，所设计的模糊控制器可以有效控制四足机器人在平坦与非平坦路面上的运动；孔垂麟等[9]通过一种控制机器人机身俯仰角的方法来实现四足机器人在斜面上的连续稳定运动。

以上许多研究都是针对四足机器人静步态下的斜坡运动控制。以爬行步态为例，虽然与对角步态相比，其稳定性略高，但其速度较慢，往往不能满足许多实际应用中的运动需求。为拓宽四足机器人的应用场合，本文研究运动效率较高的对角小跑步态，在此基础上完成机器人的足端轨迹规划来实现四足机器人的斜坡运动，同时设计一种采用模糊控制的姿态调整控制器，并通过仿真实验来验证其控制效果。

1 四足机器人运动学分析

1.1 四足机器人基本结构

本文以自然界的生物犬为参考对象建立四足机器人结构模型。根据仿生、对称、轻量的原则对生物犬的生理结构进行简化，将生物犬四段式的前肢和三段式的后肢均简化为两段式的腿部结构，从而降低结构复杂程度，减少后期控制难度。四足机器人的驱动方式有很多种，主要包括液压驱动、气压驱动与电机驱动。由于液压与气压装置的体积和质量较大，不便于机器人携带运动，故本文选择小型电机作为机器人的驱动装置。所建立的三维结构模型如图1所示。机器人整机由刚性脊柱与四条单腿组成，每条单腿均为由四根连杆组成的平行四边形结构。为降低腿部质量，单腿的两台驱动电机均搭载在机器人髋部支撑板上，通过轻量齿轮驱动单腿机构的运动。

图1 四足机器人三维结构

四足机器人的二维结构简图如图2所示，结构尺寸见表1。机器人机身总长为L，总宽为W，每条单腿由连杆l1、l2、l3、l4构成，并通过一个髋关节电机与一个膝关节电机完成运动，其中髋关节电机驱动角为θ1，膝关节电机驱动角为θ2。

图2 四足机器人结构简图

表1 四足机器人结构尺寸

1.2 正运动学分析

采用D -H(Denavit-Hartenberg)方法建立四足机器人正运动学模型。为便于分析，在四足机器人结构简图的基础上对平行四边形连杆进行简化，将次要连杆l3、l4略去，留下主要连杆l1、l2。由于四足机器人采用完全对称的结构，四条腿相对于各自髋关节的正向运动学模型相同，因此以右后腿为例对机器人进行运动学分析。在右后腿髋关节处固定一个坐标系{0}作为基坐标系，其中X0为机身前进方向，Y0为竖直方向。φ1和φ2分别为髋关节与膝关节的关节角度。在髋关节处和连杆l1、l2的末端，根据D -H法则分别建立坐标系{1}、{2}、{3}，如图3所示。

图3 基于D -H方法的四足机器人连杆坐标系

在坐标系基础上可得到右后腿足端相对于髋关节的位姿变换矩阵：

(1)

将D -H参数代入式(1)，可得到：

(2)

式中：R为右后腿的足端坐标系{3}相对于固定坐标系{0}的旋转矩阵；P为坐标系{3}相对于坐标系{0}的位置坐标；s1表示sinφ1，c1表示cosφ1，s12表示sin(φ1+φ2)，c12表示cos(φ1+φ2)。

建立好正运动学模型后，对于任意单腿，只要知道其俯仰髋关节角φ1、俯仰膝关节角φ2与腿部各连杆长度，就可以通过公式(2)得到该腿足端在该腿的髋关节坐标系下的位姿数据。

1.3 逆运动学分析

仍以机器人右后腿为例进行分析。为减少计算量与计算难度，本文采用几何法进行逆运动学的求解。由正运动学的分析结果可以得到右后腿足端相对于髋关节的位置方程：

(3)

结合图2和图3可以得到电机驱动角θ1、θ2和关节转角φ1、φ2之间的几何关系：

(4)

将式(4)代入式(3)，最终可将髋关节电机驱动角θ1、膝关节电机驱动角θ2与足端位置之间的关系写为以下两式：

(5)

(6)

式(5)、式(6)即为四足机器人的逆运动学方程，其解唯一。根据逆运动学模型，可以通过任意腿的足端在其髋关节坐标系下的坐标计算出髋关节电机驱动角和膝关节电机驱动角的大小。

2 对角小跑步态下足端轨迹规划

2.1 步态规划

对角小跑步态是自然界中四足哺乳动物最常见的运动步态之一，常常作为慢速与快速运动之间的过渡性步态，可以适应各种复杂地形，也是众多步态中功耗较为节省的，因此本文将其选为研究对象。

图4 四足机器人对角小跑步态时序图

2.2 摆动相轨迹规划

四足机器人在运动过程中会因为摆动相与支撑相的频繁切换而产生速度、加速度的突变，而由此产生的地面交互力突变也可能会对机器人的运动稳定性产生一定影响，因此摆动相轨迹需要满足在抬腿与着地切换的瞬间速度与加速度较小的条件，理想情况下两者甚至可以为0。除此之外，足端轨迹还应在水平和竖直方向上保证位置和速度变化的平滑与连续，从而使机器人关节转角和关节角速度平滑变化，避免四足机器人在运动过程中突然加、减速而导致稳定性不佳。在上述条件下进行足端轨迹规划，为了适应一般的斜坡地形，本文选择目前应用较为广泛的复合摆线模型作为四足机器人摆动相轨迹。

以四足机器人右后腿为例，在足端建立一个足端坐标系{OF}，如图5所示。X方向为机器人前进方向，Y方向为竖直方向，X0为摆动腿的起点位置，S为摆动腿的跨步步长，X0+S为摆动腿的终点位置，也是支撑腿的起点位置，h为摆动腿的抬腿高度。

图5 摆动相足端轨迹示意图

根据相应的约束条件，可得到半个运动周期(T/2)内摆动相足端X方向与Y方向上的轨迹方程：

(7)

(8)

2.3 支撑相轨迹规划

为保证摆动相和支撑相切换时足端的速度与加速度是平滑的，本文使用直线与复合摆线相结合的方法对支撑相轨迹进行规划。当摆动相与支撑相切换时使用复合摆线作为过渡轨迹，当处于支撑相的中间时段时再将轨迹设置为直线，即将支撑相时间段分为3段，分别为加速、匀速、减速阶段，其中，加速和减速时间段较短，使得支撑相阶段可以近似看作匀速运动。

经过计算，可得支撑相在半个运动周期内X方向的足端轨迹：

(9)

在Y方向，支撑相足端始终与地面接触，竖直方向没有位移，因此Y方向上的轨迹方程为：

Y=0

(10)

结合摆动相轨迹与支撑相轨迹，最终可得到右后腿(RH)和左前腿(LF)足端相对于髋关节坐标系在一个步态周期内的完整轨迹方程，如式(11)和式(12)所示，其中H为机身高度。同理可得如式(13)和式(14)所示的左后腿(LH)和右前腿(RF)足端相对于髋关节坐标系的完整轨迹方程。

XRH(LF)=

(11)

YRH(LF)=

(12)

XLH(RF)=

(13)

YLH(RF)=

(14)

3 四足机器人斜坡运动控制

3.1 斜坡运动控制方法

斜坡是一种常见自然地形，四足机器人在没有视觉系统辅助的情况下对未知斜坡的适应能力在很大程度上反映了机器人的运动性能。根据经验，四足机器人常见的爬坡姿态有图6所示两种[10]。

(a)机身与水平面平行 (b)机身与斜面平行

第一种如图6(a)所示，机器人机身与水平面平行，该姿态适用于装载运输物品的情况，但是会使前腿运动空间变小，在爬坡过程中受到的压力更大，从而导致其抬腿困难。而与前腿相反，这种姿态下的后腿运动空间变大，可能会使后腿落足点超出机器人的运动范围，易出现踏空等现象，影响机器人的运动稳定性。

第二种如图6(b)所示，机身姿态与斜面平行，这种情况下机器人前、后腿运动空间趋于一致，从腿部运动范围与所受压力的角度来分析，第二种姿态更适合四足机器人的斜坡运动。黄博等[11]也对此进行了仿真研究，结果表明机器人采用平行于斜面的姿态行走时的稳定裕度比水平姿态下更大，因此本文采用第二种情况作为四足机器人上坡时的运动姿态。

如前所述，四足机器人作为一个非线性、高耦合的复杂系统，对其运动进行精确建模是比较困难的，因此本文采用一种基于模糊控制的姿态调整方式来实现四足机器人在未知斜面上的稳定运动。模糊控制是以专家经验为基础的控制方法，通过设定合适的模糊集合与隶属度函数，将控制经验集中体现在模糊规则中，不需要精确模型就可以达到对对象的控制要求，可以大大减少四足机器人的控制难度，提高控制效率。

由于对角步态的特殊性，机器人在此步态下的运动可能会受到支撑腿髋部关节的反作用力矩的影响而出现沿对角线倾翻的现象[12]，因此机器人在使用对角小跑步态进行爬坡的过程中，相比于俯仰角，横滚角的变化更能反映其运动稳定性。当横滚角的波动程度变大时，机器人易受到各种因素的影响从而失稳，甚至可能会发生跌落、倾翻等情况，若能减小机器人机身在斜坡运动中横滚角的变化，将会提升四足机器人在斜坡上对角小跑的稳定性。因此，本文主要使用基于模糊控制的姿态调整方法，通过对机器人支撑腿关节角的实时调节来实现对机身姿态的调整，从而减小横滚角的波动，控制框图如图7所示。

图7 四足机器人斜坡运动控制框图

图7中：x和y分别代表规划后的足端在水平与竖直方向上的轨迹坐标；q为关节变量，在本文中是指轨迹坐标经过逆运动学计算后的关节角度。模糊控制器利用四足机器人实时反馈的机身横滚角α与期望横滚角αd的偏差e计算出支撑相在Y方向(竖直方向)上关节角相应的调整值Δq，最终将调整后的支撑相关节角输入四足机器人控制系统中，从而实现对机身姿态的调节控制。

3.2 模糊控制器设计

本文采用一种典型的二输入、二输出模糊控制器来实现对机身姿态的调节。为最大限度提高运动控制效果，将期望横滚角αd设为0，则输入量分别为机身横滚角α以及横滚角随时间的变化率ωα，单位均为rad。根据仿真结果与实验经验，设定α的基本论域为[-0. 15,0. 15]，ωα的基本论域为[-1,1]。为使机身横滚角尽可能保持为0，左右两侧腿采用相同的控制策略，输出量分别为左侧后腿膝关节关节角的调整值ΔLH与右侧后腿膝关节关节角调整值ΔRH，基本论域均为[-0.4,0.4]，单位为rad。

要将基本论域模糊化，需要确定模糊语言变量集合。常用的语言变量划分有3种集合：A={NB,NS,Z,PS,PB}、A={NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB}、A={NB,NM,NS,NZ,PZ,PS,PM,PB}，其中，NB、NM、NS、NZ、Z、PZ、PS、PM、PB分别表示负大、负中、负小、负零、零、正零、正小、正中、正大。在实际应用中，模糊语言变量的等级不宜划分得过细，否则会大大增加核心控制器运算与模糊推理过程中的计算量，甚至可能会丢失某些重要信息，因此本文采用{NB,NS,Z,PS,PB}作为输入变量的模糊集合，采用{NB,NM,NS,Z,PS,PM,PB}作为输出变量的模糊集合。

本文选择较为常用的三角形对称隶属度函数作为输入量、输出量模糊推理的重要组成部分。输入及输出量的隶属度函数如图8与图9所示，其中输入量的模糊论域为[-2,2]，输出量的模糊论域为[-3,3]。

图8 输入量的隶属度函数

图9 输出量的隶属度函数

模糊控制器最重要的组成之一是模糊规则库，其中的规则根据专家知识或操作经验制定。规则库通过一系列关系词表达输入与输出的映射关系，例如if-then结构，if表示输入条件，then表示结论。由于本文所设计的控制器为多输入、多输出，故使用if-and-then-and结构建立模糊规则。例如if ‘A1’ and ‘A2’，then ‘B1’ and ‘B2’，即如果输入量1满足A1条件，并且输入量2满足A2条件，则控制器输出的输出量1就会满足B1，并且输出量2满足B2。

根据一般控制经验，可以建立控制器的模糊控制规则如表2所示。

表2 ΔLH和ΔRH的模糊控制规则

按照之前设定好的模糊参数如隶属度函数等以及表2中的模糊控制规则，在Matlab中使用模糊控制工具箱建立模糊控制器，即可获得如图10和图11所示的模糊控制器输出量的控制曲面。

图10 控制器输出量ΔLH的控制曲面

图11 控制器输出量ΔRH的控制曲面

4 仿真实验

为验证所规划的足端轨迹与所设计的姿态调节控制器的可行性与效果，本文分别在平地与斜坡地形上先后进行开环及加入姿态调节控制的仿真实验，通过Adams-Matlab联合实现，仿真模型如图12所示。

图12 四足机器人Adams仿真模型

首先将模糊控制器应用在较为简单的平坦地形仿真中，初步验证足端轨迹与步态规划的可行性，同时测试控制器对机器人姿态调节的效果，为之后的斜坡地形仿真提供测试经验。

根据表1的尺寸参数在Solidworks中建立四足机器人简化三维模型，将其导入Adams软件，并建立固定的水平地形，为模型添加连接、驱动、支撑等。同时，在Matlab中搭建控制系统，构建足端轨迹规划与步态规划模块，添加模糊控制器模块，并设定四足机器人运动参数：在运动过程中保持机身距地面的垂直高度为0.32 m，抬腿高度为0.03 m；采用对角小跑步态，步态周期为0.4 s，初始状态为四足支撑相，随着时间变化，对角腿完成交替运动。

设定仿真时间为2 s，一共为5个步态周期。仿真时四足机器人在平地上完成对角小跑运动的一个步态周期过程如图13所示。机器人在仿真时行走平稳，未出现明显的滑动与偏移。

图13 四足机器人平地运动仿真过程

经过仿真得到四足机器人在水平地形下开环与增加基于模糊控制的姿态调整环节后的横滚角结果对比，如图14所示。

由图14可见，加入模糊控制器后，机身横滚角的整体变化幅值比开环时更小，波动也更加平缓，表明此控制器在水平地形条件下可以有效抑制机身横滚角的波动，有利于增加四足机器人平地行走时的稳定性。

图14 四足机器人平地运动机身横滚角仿真对比

下面验证姿态调节控制器在斜坡地形条件下的作用。在Adams中将平地更换为斜面，设定斜面倾角为10°，将足端与地面接触的静摩擦系数设为0.6，动摩擦系数设为0.2。同样在Matlab中搭建对角小跑步态的控制系统，步态参数与平地仿真一致。四足机器人在斜坡上运动的一个步态周期过程如图15所示。

从仿真过程来看，四足机器人可以顺利爬上斜面，没有发生侧翻等现象，表明本文所规划的足端轨迹是合理可行的。经过仿真，最终得到如图16所示的斜坡地形下开环与增加姿态调整反馈控制后的横滚角结果对比。

从图16可以看出，在使用姿态调整控制器后，四足机器人在斜坡上完成对角小跑运动时产生的机身横滚角波动明显变小，表明此时机器人的运动稳定性相比于开环控制有较大改善。因此本文所设计的模糊控制器的控制效果较好，可以有效减少机身横滚角的变化幅值，增加四足机器人斜坡运动时的稳定性与地形适应能力。

图15 四足机器人斜坡运动仿真过程

图16 四足机器人斜坡运动机身横滚角仿真对比

5 结语

为实现四足机器人以对角小跑步态在未知斜坡地形上的稳定运动，本文建立了四足机器人结构简化模型并对其进行运动学分析，在此基础上完成了对角小跑步态下适应斜坡地形的摆动相与支撑相的足端轨迹规划。同时，设计了一种基于模糊控制的姿态调节控制器，将机器人的机身横滚角引入反馈，通过调整支撑相关节角实现对机身的姿态调节。仿真实验结果显示，所规划的足端轨迹可以满足机器人在斜面上的对角小跑运动要求，所提出的姿态控制方法可以有效减少机器人机身的横滚角波动，从而提高机器人在斜坡地形上运动时的稳定性。后续研究将会考虑更复杂的地形条件下四足机器人的稳定运动控制，从多个角度提升四足机器人对环境的适应能力。