多元表征，让主动建模过程“看得见”

刘冉

受课程改革的影响，很多教师在教学《小数的初步认识》时，能够想到从生活情境中引入，借助学生已有经验表示小数，通过比较、分析，概括出小数的意义。但教学中往往因为活动材料单一、活动空间狭窄、放手不够充分等原因，造成了学生的思维受到局限、不同层次的想法不能得到充分展现、模型建构不充分等问题。笔者结合教学实践，在“主动建构”理念指导下，结合江苏省五城区汇课连片活动教学，对《小数的初步认识》这节课进行了如下探索。

一、化“具体”为“抽象”——充分表达，抽象概念

学生在学习前已经具备了一定的经验，“教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础”。“已有的经验”包括生活经验和知识经验，教学时往往只关注学生的知识经验，容易忽略学生丰富的生活经验。而且教学中学生常常只是单纯地进行模仿，对于分数和小数之间的关系没有太多的思考。基于以上观察研究以及前测，我采用了购物活动来导入新课，引导学生充分经历建模的过程。

【片段一】以形感知，建立表象

活动要求：0.4元究竟是多少呢？我们接下来研究。请用你喜欢的方式表示出你心目中的0.4元。可以画一画、写一写。

汇报展示：

讨论分四个层次：

（1）对0.4元有一定数感，比1元少，不到1元;

（2）不仅要分，而且要平均分;

（3）究竟要平均分成几份，涂几份，可以用哪个分数表示，建立4/10元和0.4元之间的联系;

（4）为什么都可以表示0.4元？——把1元平均分成10份，每份是0.1元，4份就是4/10元，也是0.4元。

另外，还想表示零点几元？——脑海里边想象图边说一说，引导比较共同点，发现：十分之几元就是零点几元。

片段中，通过明确活动要求，引导学生用自己的方式表示出0.4元，学生能够自由地多元表征，如：运用元角实物表征，运用正方形或直条图图形表征，运用线段图或计数器抽象表征等，不同思维层次的学生充分参与到研究之中，真正以学生为主体。充分激活儿童已有的认知经验，从生活经验知道0.4元=4角，从知识经验知道4角=4/10元，从而推理出0.4元=4/10元。学生是在已有知识基础上对新知识的自主生发，不仅能积累活动经验，建立小数与分数之间的关系，也初步建立小数的表象。

【片段二】以形促思，抽象本质

活动要求：从下面材料中选一种，说说0.4表示的含义。想一想，0.4还能表示是什么？

生1：可以表示0.4元。把1元平均分成10份，表示其中的4份是4/10元，也就是0.4元。

生2：可以表示0.4分米。把1分米平均分成10份，表示其中的4份是4/10分米，也就是0.4分米。

生3：还可以表示0.4千克。把1千克平均分成10份，表示其中的4份是4/10千克，也就是0.4千克。

生4：还可以表示0.4升水。把1升平均分成10份，表示其中的4份是4/10升，也就是0.4升。

生5：正方形表示1，把正方形平均分成10份，涂色部分有4份，可以用分4/10表示，也就是0.4。

生6：计数器个位上的1颗珠表示1，右边再添一个数位，个位的1颗珠相当于这一位的10颗，拨4颗珠，表示0.4。

生7：还可以把0-1之间的线段平均分成10份，表示其中的4份也是0.4。

师：表示的方法不同，为什么都可以表示0.4？

生8：都是平均分成10份，涂出4份，就是4/10，也就是0.4。

“数学多元表征是将同一个数学学习对象用本质不同的多种形式表征，数学表征分为符号、言语、图像和体验等四类表征。”片段中，教师提供丰富的学材，充分利用学生的视听触觉等多种感官，引导学生主动进行多元表征，并逐步抽象化。

第一阶段表现为学生用具体的实物表征，如：人民币、直尺等，这种表征方式的学生认知水平相对较低，思维渐渐向表象水平进阶;第二阶段表现为学生运用图形表征，如：正方形、直条图等，这种表征方式的学生思维已经从实物上升到半抽象状态;第三阶段即抽象思维阶段，表现为学生能够运用符号表征概念，将具体实物充分抽象化，如：运用计数器、数轴进行表征。由此可看出，从具体到表象，再到抽象的过程，就是学生跨越最近发展区的过程。

二、变“被动”为“主动”——主动建模，发展数感

新课程改革理念下，主张变学生的被动接受式学习为主动学习。主动建构模型更是自发产生的、自觉需要的、自主运用的一种学习状态。同时本课对于数感的培养也很重要，数感也是数学的抽象，数感的培养有助于模型的进一步延伸。

【片段三】以形建模，发展数感

师：老师这里有一把米尺，你还能找到其他小数吗？可以在米尺图上任意表示一个小数，说一说它所表示的含义。

建构模型——十分之几就是零点几。

进一步建构模型——几加零点几就是几点几。

师：今天认识了那么多小数，把他们请到直尺上，猜猜0.4在几到几之间？你能在数轴上找到对应的小数吗？

学生独立完成后，进行汇报。并发现越往右，小数越大。

数感的培养离不开数与形的结合，从原生状态的形到抽象意义的形，借助“形”承载“数”的实际意义，数感就是在形与数的穿梭承接中渐渐发展起来的。片段中，学生首先建立了“零点几”的模型，接着建构“几点几”的模型。在此过程中，学生感受小数是有大有小的。接着引出数轴，学生在数轴上估一估、找一找，感受小数的范围、大小，感受数的拓展，丰富对数的认知，从而发展数感，为后面建构多位小数的模型埋下伏笔。

三、使“无痕”为“有痕”——回顾反思，看见生长

学生学习的痕迹其实就是学生经历的学习过程，而学习痕迹的保留不仅方便学生回忆过程、总结经验，还有助于学生形成问题思考的路径和方法。学习痕迹不仅要留下来，而且最好是留在学生的学习材料之中，概念便跟着学习材料一起印在了学生的脑中，是能够“带得走”的概念认知。

【片段四】以形回顾，总结经验

师：观看自己的“能力+”学习单，回顾本节课的学习过程，我们是如何展开学习的？小组里说说你有哪些收获？还有哪些值得研究的问题？

生1：这是我的学习单。我们在“活动一”先自己表示了0.4元，知道了0.4元=4角=4/10元。我们还知道了小数和整数、分数之间的关系。

生2：我还想继续知道小数为什么叫小数？

师：这位同学提出的问题很有研究价值。小数之所以叫小数，我们古人早就有研究，古书上有记载：“小，之微，不到1。”意思是小数的小数部分是不到1的，所以叫小数。

片段中，引導学生观察自己的“能力+”学习单，就是让学生回顾自己的学习过程，学生在回忆的过程中，把每个过程进行梳理、概括，从而内化知识、形成路径，完善认知结构、感悟数学思想。

学生的学习痕迹清晰完整地保留下来，是学习真发生的“证据”，学习有迹可循、有理有据、有话可说。同时，学习前后的思维都在学习单上，能清楚地看到学生的成长，是学习的真发生。从问题到收获，再到新的问题的提出，知识在原有生长点上继续向上延伸，学生的生命获得成长。