“数学分析”课程中幂级数收敛性问题求解的探讨
2021-12-11杨婷梅龙能
杨婷梅 龙能
【摘 要】数学分析是数学专业一门重要的基础课程，其逻辑性、理论性很强。数学分析这门课程，不仅可以培养学生的逻辑思维能力，而且还能培养学生的创新思维。本文主要探讨了数学分析课程中幂级数的收敛性问题，引导学生学会独立思考，总结归纳，不断激发学生学习数学的兴趣。
【关键词】数学分析;幂级数;收敛性问题
【中图分类号】G712 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2021）28-0009-02
在函数项级数中，有一类结构相对简单、应用非常广泛的函数项级数——幂级数。对于幂级数的研究主要讨论其和函数的分析性质，以及将函数展成幂级数的条件和展开公式，本文主要讨论幂级数的收敛性问题。
1 幂级数的基本定义和定理
不妨把形如anxn=a0+a1x+a2x2+...anxn+...的幂级数记为“标准型”幂级数。显然，该幂级数在x=0收敛，对于幂级数在非0点的敛散性，由以下定理判断：
定理1（阿贝尔第一定理）：
（1）若幂级数anxn在x0≠0收敛，则幂级数在都绝对收敛。
（2）若幂级数在x1≠0发散，则幂级数在都发散。
定理2：若给出幂级数anxn=a0+a1x+a2x2+...
anxn+...，则其收敛半径为，其中an为前一项的系数，an+1为后一项的系数[1]。
利用该定理可求解标准型的幂级数的收敛半径，从而得到收敛区间。对于一般型的幂级数可换元转化为标准型求解，但对于形如anx2n，anx2n+1等有缺项的幂级数时，则采用以下定理求解。
定理3：在幂级数anxn有缺项的情况下，采用比值法求收敛半径，即令，求解得到?r 对于在收敛区间幂级数anxn和函数的求解，主要有两种情况。先判断幂级数的系数an为整式还是分式，若为整式，可对幂级数逐项积分，得到关于变量x的函数，再左右微分;若为分式，则对幂级数逐项微分，再左右积分，从而得到在收敛区间上的和函数[2-5]。 2 案例分析 例1：求幂级数n2xn?1的收敛域与和函数。 思路分析：通过定理2求收敛半径，由于系数an为整式，先逐项积分，再微分求解出和函数。 解：an=n2，an+1=（n+1）2，则收敛半径为 。 当x=?1时，级数n2xn?1=（?1）n?1n2发散，当x=1时，n2xn?1=n2发散，故收敛域为x（?1，1）。 设该幂级数收敛于和函数S（x），则有 S（x）=n2xn?1=1+4x+9x2+16x3+... 对和函数S（x）逐项积分，有 ， 即S（x）dx=。 对上式左右两边微分，则 ， 即S（x）?S（0）=，且S（0）=0，故和函数为S（x）=，x（?1，1）。 例2：讨论幂级数的收敛域，并求和函数。 思路分析：该题幂级数缺偶次幂的项，可用比值法求收敛半径，再讨论在两端点的敛散性，得到收敛域。由于系数an为分式，因此可逐项微分，再积分得到该幂级数的和函数。 解：已知un（x）=，un+1（x）=， 令， ∴ ?1 当x=?1时，级数发散， 当x=1时，级数发散，即该级数的收敛域为（?1，1）。 设该幂级数收敛于和函数S（x），则有 S（x）==… 对和函数S（x）逐项微分， S'（x）==x2n=1+x+x2+x3+… =， 即S'（x）=。 对上式左右两边从0到x积分，得 S（x）?S（0）=，S（0）=0， 故和函数为S（x）=，x（?1，1）。 通过系数求解标准型幂级数anxn的收敛半径，或者将所给幂级数换元为标准型，对于有缺项的幂级数可以采用比值法，得到收敛区间（?r，r），然后考虑端点处级数的敛散性，从而得到级数anxn的收敛域。求解幂级数的和函数时，若幂级数的系数an为整式，先逐项积分，再微分;若幂级数的系数an为分式，先逐项微分，再积分。对本节课进行教学设计时，教师要根据学生的基础和掌握情况，有针对性地选择教学方法，引导学生进行概括、归纳、总结，才能使学生的解题能力得以提升。 【参考文献】 [1]刘玉琏等编.数学分析讲义.下册[M].北京：高等教育出版社， 2008. [2]邱云兰.幂级数收敛性以学定教模式的研究[J].牡丹江教育学院学报，2018（12）. [3]吕端良，王云丽.广义幂级数收敛域的求法[J].科技信息， 2013（17）. [4]蒋国强.一类幂级数收敛半径的统一求法[J].高等函授学报 （自然科学版），2003（3）. [5]刘洋.幂级数收敛半径和收敛域的求解探讨[J].数理化解题研究，2020（6）. 【作者简介】 杨婷梅（1991～），女，廣东化州人，硕士，助理讲师。研究方向：常微分方程的理论与应用。 龙能（1992～），女，广东茂名人，硕士，助理讲师。研究方向：常微分方程的理论与应用。 *基金项目：本文系茂名市教育科学“十三五”规划2020年度研究项目“运用数学分析‘微教学培养高职高专学生创新能力的实践研究”（项目编号：mjy2020023）研究成果。
