地方院校“数学分析”课程绪论教学过程设计

王芳++杨斌鑫

【摘要】本文分析了本科院校数学专业基础课“数学分析”绪论在课程教学中的重要地位和重要性.针对地方本科院校数学专业学生的特点，给出了“数学分析”绪论的教学过程设计.该教学过程设计一方面能够给学生初步搭建起“数学分析”课程体系的框架，让学生明白这门课要学习的主要内容及其相互关系；另一方面，该课程设计从数学发展史的角度给学生阐述高等数学和初等数学的联系与区别，使学生能够尽快从高中的公式恒等变形的初等数学思方式转换到以变化的观点分析和研究问题的高等数学思维方式中来.

【关键词】数学分析；绪论；教学设计；地方院校

【基金项目】山西省重点教学改革项目（J2014071），山西省高等学校特色专业建设项目，太原科技大学重点教学改革项目（2013007）.

一、引言

“数学分析”是数学专业的最重要的必修基础课，“数学分析”中体现的数学思想、数学方法、数学能力是数学在实际中应用和进行数学理论研究的基石，通过数学分析课程教学要使学生受到基本和严格的数学训练[1].“数学分析”绪论的教学是整个数学分析教学过程的序幕，其重要性不言而喻.一方面，“数学分析”绪论是“数学分析”课程的第一次课，其重要作用在于给学生初步搭建起“数学分析”课程体系的“森林”，让学生明白这门课要学习的主要内容及其相互关系，让学生先见到“森林”，能够纵观数学分析的大致面貌，这样在以后认识“树木”，也就是学习各章节的知识点的时候，学生心里才会知道这个知识点表示的“树木”处于森林中的什么地位，这样才能做到“既见树木又见森林”.另一方面，“数学分析”绪论也是学生由初等数学（从幼儿园到高中所学的数学）阶段进入高等数学（大学所学的数学）阶段的第一堂课，因此，“数学分析”绪论也承担着从数学发展史的角度给学生阐述高等数学和初等数学的联系与区别的重要任务.

然而，很多地方高校对于“数学分析”绪论的教学重视程度远远不够.有的教师在绪论课上只介绍了“数学分析”课程的主要内容，而忽略了初、高等数学的区别与联系.有的教师侧重于介绍数学发展史，而忽略了给学生搭建“数学分析”课程体系的框架.更有甚者，只把对学生的要求简单说罢便开始单个知识点的讲解，完全忽略了“数学分析”绪论的重要性，这样教出来的学生对“数学分析”的体系框架根本没有了解，学完课程也不知道学了些什么，只有各知识点，但是缺乏一条串起这些知识点的主线.本文作者多年从事“数学分析”课程教学，对“数学分析”绪论的重要性有深刻的认识，经过多年的探索，已经形成了“数学分析”绪论教学的特色，既给学生搭建起數学分析的框架体系，让学生了解数学分析各部分之间的关系，又让学生明白从幼儿园开始到高中所学的数学课程与进入大学中要学的高等数学课程的区别，使学生在学习过程当中不至于感到迷茫.以下详细给出“数学分析”绪论的教学过程.

二、“数学分析”绪论教学过程

同学们来到大学，选择了数学专业，要学习很多数学课程，“数学分析”就是其中第一门，同时也是最重要的数学基础课之一.在开始学习这门课的时候，大家自然要问，数学分析与中学已经学过的初等数学有什么不同？它的研究对象与基本思想方法是什么？下面就来简要地讲一讲这些问题.

总的说来，初等数学研究的是离散量的运算体系，包括加法与乘法以及它们的逆运算——减法与除法.而“数学分析”提供的是连续量的运算体系及其数学理论.“数学分析”的主要内容是微积分，研究对象是函数，立论数域是实数连续统，采用的研究工具是极限.

大家知道，现实世界中的万事万物，无一不在一定的空间中运动变化，在运动变化过程中都存在一定的数量关系.按照恩格斯的说法，数学就是研究现实世界中数量关系与空间形式的科学.简略地说，就是研究数和形的科学.时至今日，虽然数学的内容更加丰富，方法更加综合，应用更加广泛，但是关于数学的上述说法大体上还是正确的.只是随着人们对事物认识的逐渐深化，作为研究对象的“数”和“形”，在数学发展的不同阶段，它们的内涵和表现形式也不相同罢了！

历史上，数学的发展可以划分为三个阶段.

第一阶段是从古希腊时代（公元前5世纪—公元前3世纪）到17世纪中叶.在这长达两千多年的时期内，由于生产力的落后，人们把客观世界中各种事物看成是孤立的、静止不变的，因而，数学中研究的“数”基本上是常数或常量（即在某一运动变化过程中保持不变或相对保持不变、可以看作取固定值的量），研究的“形”也主要是简单的、不变的、规则的几何形体（例如，直线段、直边形与直面形等）.研究常量间的代数运算和规则几何形体内部及相互间的关系，分别形成了初等代数和初等几何，统称为初等数学.因此，这个阶段常被称为初等数学阶段或常量数学阶段.

第二阶段是从1637年法国著名哲学家、数学家笛卡尔（R.Descartes，1596—1650）建立解析几何到19世纪末.在这个阶段中，由于工业革命的兴起，推动了机械、造船、采矿、航海和修建铁路等新兴工业的建立和发展，大大拓宽了人们的视野.加深了人类对自然界的认识.意大利数学家、现代物理学奠基人伽利略（G.Galileo，1564—1642）和德国天文学家开普勒（J.Kepler，1571—1630）的一系列发现，导致了数学从古典数学向现代数学的转折.在25岁以前，伽利略就开始做了一系列实验，发现了许多有关物体在地球引力场运动的基本事实.开普勒在1619年前后归纳出著名的行星运动三定律.这些成就对后来的绝大部分的数学分支都产生了巨大影响.伽利略的发现导致了现代动力学的诞生，开普勒的发现则产生了现代天体力学.物理、力学和天文学等学科的迅速发展，产生了以下四类问题：

1.已知物体运动的路程与时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度.反过来，已知物体运动的加速度和速度，求物体在任意时刻的速度和路程.

困难在于17世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化.计算平均速度可用运动的时间去除运动的距离.但对瞬时速度，运动的距离和时间都是0，这就碰到了0比0的问题.这是人类第一次碰到这样的问题.

2.求曲线的切线.这是一个纯几何的问题，但对于科学应用具有重大意义.例如，在光学中，透镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识.在运动中也遇到曲线的切线问题.运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向，是轨迹的切线方向.

3.求函数的最大值和最小值问题.在弹道学中涉及炮弹的射程问题.在天文学中涉及行星和太阳的最近和最远距离问题.

4.求积问题.求曲线的弧长、曲线所围区域的面积、曲面所围的体积、物体的重心等.这些问题在古希腊就已经开始研究，但他们的方法缺乏一致性.

这些问题要求建立新的数学工具研究物体的运动变化规律，研究曲线和曲面的性质.在这种形势下，天才的英国物理学家、理学家、天文学家和数学家牛顿（I.Newton，1642—1727）和德国数学家、哲学家莱布尼兹（G.W.Leibniz，1646—1716）总结并发展了前人的成果，建立了连续量变化率的直观概念和计算方法，发现了求连续量累积综合的问题刚巧是求变化率的逆运算，从而各自独立地创立了微积分的运算体系.

牛顿建立了微积分的演算体系以后，受开普勒三定律和重力的启发，想到了行星间所受的力为万有引力.他最后成功地运用微积分，从开普勒三定律推导出万有引力定律，又反过来从万有引力定律推导出开普勒三定律，这就是人类历史上最伟大的自然科学著作之一——牛顿的《自然哲学的数学原理》的主要内容.从此，微积分逐渐应用到一切科学技术领域.像达朗贝尔（DAlembert，1717—1783）、拉格朗日（Lagrange，1736—1813）、欧拉（Euler，1707—1783）、拉普拉斯（Laplace，1749—1827）、高斯（Gauss，1777—7855），都是运用微积分在开拓新领域方面最卓越的数学家的代表.

牛顿与莱布尼兹当时建立的微积分概念与演算，是以直观为基础的，概念并不准确，推导公式有明显的逻辑矛盾.在微积分广泛应用的17—18世纪，人们没顾得及（也许是还不可能）解决这些問题.到19世纪，矛盾已积累到非解决不可的程度，这就是第二次数学危机.经过人们的长期努力，最后由柯西（Cauchy，1789—1857）、波尔查诺（Bolzano，1781—1848）、威尔斯特拉斯（Weierstrass，1815—1897）等人，用极限把微积分的概念澄清.但随后极限的存在性问题开始出现，最终，戴德金（Dedekind，1831—1916）、康托（Cantor，1845—1918）、威尔斯特拉斯等人，又给出了连续量的数学表示，建立了实数连续统的理论，把极限理论建立在坚实的基础上.微积分基础的建立，和群论、非欧几何一起，被誉为19世纪数学的三大发现，它们改变了整个数学发展的进程，形成了近代数学与现代数学.

此后，数学的发展呈现出一日千里之势，形成了内容丰富的高等代数、高等几何与数学分析三大分支，并出现了一些其他的相关分支，它们被统称为高等数学.在这个阶段，数学中研究的“数”是变数或变量（即在某一运动变化过程中不断变化、可以取不同数值的量），研究的“形”是复杂的不规则的几何形体（例如，曲线、曲面、曲线形与曲面形等）.而且，由于Descartes直角坐标系的引入，使“数”与“形”紧密地联系起来，平面上的点可以用有序数偶表示，平面曲线（动点的轨迹）可以用代数方程来表示，因此，“运动和辩证法便进入了数学”（恩格斯著《自然辩证法》）.这个阶段被称为高等数学阶段或变量数学阶段.同学们在大学本科阶段学习的数学课程大多属于这个阶段的内容.

第三个阶段是从19世纪末开始，即现代数学阶段.至今，这个阶段还在发展之中.由于集合论的创立，不但为数学的发展奠定了坚实的基础，而且使得数学的研究对象——“数”与“形”，具有了更丰富的内涵和更广泛的外延，表现形式也更加抽象.

从研究常量到研究变量，从研究规则的几何形体到研究不规则的几何形体，是人类对自然界认识的一大飞跃，是数学发展中的一个转折点.由于研究的对象不同，研究的方法也不同.初等数学主要采用形式逻辑的方法，静止地、一个一个问题孤立地进行研究，而数学分析却不然，它是以极限为工具对连续量进行研究.

连续量在生活中随处可见，时间和位移是最基本的两个连续量，其他当然还有许多.一天中，气温随时间（连续）变化，这就是（连续）函数的概念.我们研究连续量，还要进一步研究一个连续量随另外一个连续量连续地变化的规律，这里涉及两个最基本的问题，即微分运算和积分运算.

问题之一是一个连续量随另一个连续量变化的“瞬时”变化率，这就是微分运算.

牛顿是以力学为背景来研究微积分的，他所建立的导数计算法则称为“流数术”.按照这种方法，我们来求自由落体运动在某一时刻的瞬时速度.