初中数学最短路径问题的教学探究

郭绪娥

[摘 要]最短路径问题是中考数学的高频考点，问题虽不难，但很多学生却答不出来.探讨最短路径问题的解法，能提高学生的解题能力.

[关键词]最短路径;问题;初中数学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）32-0013-02

青島市数学中考中每年都有一个求最短路径的问题，这类问题虽然不难，但往往有一大批学生答不出来.针对这类问题，笔者进行了研究，经研究发现，如果教师在教学方面做足功夫，学生的数学素养就会得到提高，就可以让学生解题时得心应手.

一、数学几何模型

北师大版初中数学七年级下册第123页有这样一道题：如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短？

我们都知道这个问题的解决方法是作A关于直线l的对称点C，连接BC交街道l于P，则P为所求，如图2所示.即要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在P处，才能使从A、B到它的距离之和最短.

那么为什么要作一个关于l的对称点？如何利用学生已有的知识储备进行迁移，才能使学生易于接受？笔者先让学生完成下面的题目.

如图3，在河的两岸有两个村庄A、B，现在要在公路l上建一个汽车站C使汽车站到A、B两村庄的距离之和最小，则汽车站C的位置应该如何确定？

这个问题学生都知道应连接A、B两点，AB与直线l的交点就是点C的位置.

通过这个问题的解决，再把这个题目和轴对称进行联系，学生就会觉得非常容易接受.

二、几何模型的应用

1.如图4，菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则[PM+PN]的最小值是多少？

这个问题中对应上述题目的“公路”就是AC，M、N为那两个点，通过找对称点和利用菱形的性质就会发现[PM+PN]的最小值等于菱形的边长.因此，解决这个问题的同时把菱形的性质也进行了复习和巩固.

2.如图5，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，P为对角线BD上的动点，要使[PE+PC]的值最小，试确定点P的位置，并求出最小值.

要解决这个问题，就要引导学生找出图形中的“公路”和两个点.不难发现，这个问题中的“公路”就是BD，两个点就是E、C.图形中已经给出了C点关于DB的对称点A，连接AE，AE与BD的交点就是要求的点P，P点找出来后，就会发现[PE+PC]的最小值是线段AE的长.

通过这两个问题的解决，模型又得到了提升，两条线段和的最小值最后转化为求一条线段的长度.

三、几何模型生成的问题

1.如图6，圆柱形玻璃杯高为12 cm、底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为_______________cm.

这是青岛市2012年的中考题.通过玻璃杯的内外壁的展开图（如图7）不难发现玻璃杯的上边沿所在的直线就是模型中的“公路”，而A、B就是模型中的两个点，最短距离就转化为求线段AB′的长度.这样又把勾股定理及其逆定理进行了复习和巩固.

四、几何模型与代数问题的结合

1.如图8，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，[OA=3]，[OB=4]，D为边OB的中点.

（1）点D的坐标为_____________________;

（2）若E为边OA上的一个动点，当[△CDE]的周长最小时，求点E的坐标.

这个问题中的第（1）问非常容易解决.第（2）问如果求[△CDE]的周长最小，也比较容易解决.但要求点E的坐标，这就和一次函数联系起来了.到此几何与代数已经比较紧密地结合起来，我们教师不能简单地照本宣科.如何提高学生的数学能力，培养学生的数学素养？这就需要我们教师潜心研究教材.为了进一步培养学生的数学素养，我们再来看下面的题目.

2.如图9，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作[AB⊥BD]，[ED⊥BD]，连接AC、EC.已知[AB=2]，[DE=1]，[BD=8]，设[CD=x].

（1）用含x的代数式表示[AC+CE]的长;

（2）点C满足什么条件时，[AC+CE]的值最小？

（3）根据（2）中的规律和结论，求出代数式[x2+4+12-x2+9]的最小值.

这个问题进一步把几何问题和代数问题紧密结合起来，特别是第（3）问，看似是求一个算术平方根的和的最小值.如果教学中没有前面这些铺垫，单独拿出这个问题，学生基本解决不了.有了前面的铺垫，就容易想到构造几何图形，进一步应用勾股定理求出代数式的最小值.

五、拓展提高

1.如图10，已知[∠AOB=45°]，P是[∠AOB]内部一点，且[OP=2 cm]，点E、F分别在射线OA、OB上，找出E、F两点，使[△PEF]周长的最小，并求出最小值.

这个问题学生往往容易认为过P作OA、OB的垂线，垂足就是所求的点.实际上这是错误的.通过图11，我们就会发现[△PEF]的周长等于线段MN的长，因此，如何求线段MN的长是解决本题的关键.题目中的已知条件[∠AOB=45°]还没有用，如何应用这个条件？这个条件对我们解决问题有什么作用？带着这些问题去思考.如图12，连接[OM]、[ON]就会发现[∠MON=2×45°=90°]，这样利用轴对称的性质和勾股定理就可以解决问题.

以上是笔者在教学中对最短路径问题的研究，有不当之处敬请批评指正.

（责任编辑 黄桂坚）