三视图的几个考查方向

林陈阿妹

[摘 要]三视图是中考的必考内容.文章探讨中考三视图的考查方向，以培养学生的空间想象能力，提升学生分析问题与解决问题的能力.

[关键词]中考;三视图;考查;方向

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）32-0001-02

立体图形的三视图是图形变化的一部分.中考主要从以下几个角度考查立体图形的三视图.

一、绘制立体图形的三视图

绘制立体图形的三视图是最基本的要求.绘图时，应做到“长对正、高平齐、宽相等”.对于实际存在但在视图中不可见的线条要画成虚线.

[例1]在平整的地面上，有一个由若干个相同的小立方块搭成的几何体，如图1所示.

（1）分别画出从正面看到的、从左面看到的和从上面看到的平面图.

（2）若你手头还有一些相同的小立方块，如果保持从上面和左面观察到的形状图不变，那么最多可以添加几个小立方块？

分析：（1）从正面看立体图形，图形有三列，在每一列上小正方形的数目分别是3，1，2;从左面看立体图形，得到的图形有左、中、右三列小正方形，第一列有3个小正方形，第二列有2个小正方形，第三列有1个小正方形;俯视图有3列，每列小正方形的数目分别为3，2，1.

（2）保持俯视图和左视图不变，可往第二列前面的几何体上放一个小正方体，后面的几何体上放3个小正方体.那么最多可以添加4个小立方块.

点评：在第（2）小题中，再放4个小立方块后，俯视图与左视图仍不变，它说明只给立体图形的两个视图并不能确定立体图形的形状，它可能有多种情况.

二、由两种视图判断小立方体的个数

由立体图形可绘出它的三视图，反之，由立体图形的三视图，也可以确定立体图形的形状.若只给组合图形的两种视图，不能确定组合图形的形状，但可以确定组合图形中小立方体个数所处的范围.

[例2]有一个组合几何体，它由若干个小正方体组成，它的主视图与俯视图已经画出来.

（1）根据图2的主视图和俯视图，如果用最少的小正方体组合，需要多少个？如果用最多的小正方体组合，需要多少个？

（2）用最多的小正方体组合几何体时，它的左视图是什么？用最少的小正方体组合几何体时，它的左视图是什么？

分析：（1）在俯视图中每个小正方形里，依次写出这个位置上小正方体最多的个数与最少的个数.如图3所示，组合这样的几何体最多需要的小正方体个数为3+3+1+3+3+1+3=17;组合这样的几何体最少需要的小正方体个数为1+1+1+1+3+1+3=11.

（2）根据左视图的定义画出图形如图4所示.

点评：利用俯视图，在每个小正方形内写出数字，表示此处小正方体的个数，这是研究小正方体个数较好的方法.若第二个视图是主视图，则从每一列上考查最多、最少的小正方体的个数;若第二个视图是左视图，则从每一行方面考查最多、最少的小正方体个数.

三、由三视图计算立体图形的体积或表面积

在三视图中，由主视图可以得到立体图形的长与高，由左视图可以得到立体图形的宽与高，由俯视图可以得到立体图形的长与宽.因此，如果已知立体图形的三视图，并标上相应的数据，即可计算立体图形的体积与表面积.

[例3]如图5所示的三视图，原立体图形是由两个长方体组合的，三视图中标出一些数据（单位：mm），根据数据计算原立体图形的总体积和它的表面积.

分析：由三视图可得上面长方体的长、宽、高，及下面长方体的长、宽、高，由此可以求得两个长方体的体积;求表面积时，先求两个长方体的表面积，再减去上、下两个长方形接触的面积.

由主视图可得上面长方体的长为4 mm，高为4 mm，下面长方体的长为6 mm.由左视图可得上面长方体的宽为2 mm，下面长方体的宽为8 mm，高为2 mm.由俯视图可得两个长方体一边之间的距离为3 mm.所以上面长方体的体积为[4×4×2=32]（mm3），下面长方体的体积为[6×8×2=96]（mm3），所以长方体的体积为128 mm3.上面长方体的表面积为[4×4×2+4×2×2+4×2=56]（mm2），下面长方体的表面积为[6×2×2+8×2×2+6×8×2=152]（mm2）.

所以立体图形的表面积为56+152-8=200（mm2）.

点评：此立体图形是一个组合体，它由一个平放的长方体与一个竖立的长方体组合而成，在计算体积时要分别去求各个长方体的体积，然后求和;在计算表面积时要分别去求各个长方体的表面积，求和后要减去相接触的部分面积.

四、从一种视图到另两种视图

根据组合立体图形可以画出它的三视图.如果已知一種视图，且在每个小正方形中标示出该位置的小立方体个数，也可以画出其他两种视图，因为这样的组合立体图形的形状已经确定.

[例4]有一个几何体，它是由若干个小正方体组合而成的，如图6所示是俯视图，小正方形内的数字表示这个位置的小正方体数目.请根据题意，想象它的立体图形，并画出这个几何体的主视图与左视图.

分析：由题意可知，几何体的主视图应有左、中、右三列，左列有3个小正方体，中列有2个小正方体，右列有3个小正方体.它的左视图应有左、右两列，左列有3个小正方体，右列有3个小正方体.画图如图7所示.

点评：主视图、左视图与俯视图，在列数、行数和层数方面的关系，如表1所示.

五、三视图与规律探究

一摞小正方体高度的增加与小正方体个数成正比例函数关系，但一摞碟子高度的增加与碟子个数成一次函数关系.这里的函数关系就是其中蕴含的规律.当几摞碟子在桌子上摆放时，可以画出三视图，已知三视图可以得到碟子的个数.

[例5]美苑宾馆的伙房内规整地放着几摞碟子，1个碟子的高度是2 cm，2个碟子的高度是3.5 cm，3个碟子的高度是5 cm，4个碟子的高度是6.5 cm.

（1）如果m个碟子摞起来，试用含m的代数式表示总的高度;

（2）如图8所示是3摞碟子摆在桌面上的三视图，分别是主视图、左视图与俯视图，如果把这些碟子叠成一摞，总的高度是多少？

分析：（1）通过表格里的数据可以发现，第1个碟子的高度是2 cm，后面每多一个碟子，高度就多出1.5 cm，所以当桌面上放有m个碟子时，总高度为2 +1.5（m - 1）=（1.5 m + 0.5）cm;

（2）根据三视图可得，共有3摞碟子，左边的前、后两摞分别有5个与4个，右边有3个，所以共有12个，当它们叠成一摞后的高度为18.5 cm.

点评：立体图形的层数与列数，应从正面视图得到，立体图形的行数与列数，应从上面看得到的图形观察得到;立体图形的层数与行数，应从左面视图观察得到.

（责任编辑 黄桂坚）