培养高中生数学建模和数据分析素养的教学研究

刘华玲

[摘 要]数学建模和数据分析是高中数学核心素养.如何在具体的课堂教学中培养核心素养，是每个数学教师应该认真思考的问题.

[关键词]数学核心素养;数学建模;数据分析

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）32-0007-03

一、回归分析是数学建模和数据分析的重要载体

《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出数学学科的六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.其中数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括在实际情境中从教学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.数学建模主要表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.数据分析是针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养.数据分析过程主要包括收集数据、整理数据、提取信息、构建模型、进行推断、获得结论.回归分析是统计案例特别重要的模型，是数据分析的重要载体，通过 Excel 处理回归分析中的数据过程，加强学生对学习过程的重视，培养学生分析、解决问题的能力和提高学生的科学素养.

二、教学案例分析

课题：回归分析的基本思想及其初步应用（第2课时）.

（一）教学目标

1.根据散点图的分布特点建立不同的回归模型.

2.将非线性回归模型转化为线性回归模型，体会“转化”思想.

3.通过残差和R2分析，比较几种不同模型的拟合效果，逐步改进模型，体会“数学建模”思想.

（二）教学重点

将非线性回归模型转化为线性回归模型，比较几种不同模型的拟合效果.

（三）教学难点

将非线性回归模型转化为线性回归模型，逐步改进模型.

（四）教学过程

师：请回忆建立回归模型的基本步骤.

生：选变量、画散点图、选模型、估计参数、分析和预测.

师：我们建立模型是为了解决实际问题.新疆是产棉大省.棉花在生长过程中会遭受各种虫害，其中之一就是红铃虫.有关红铃虫，我们一起观看视频了解一下.（播放视频）

师：通过视频我们知道红铃虫产卵数和温度有关系，温度在[20 ℃∽35 ℃]，对红铃虫产卵最有利，为了采取有效防治措施，科学家经过长期观测，收集了7组数据.

师：我们把温度记作解释变量x， 产卵数就是预报变量y，那么怎样建立y关于x的回归方程呢？

生1：画散点图，建立线性模型.

生2：不一定是线性.

教师用Excel展示结果（如图1）.

师（追问）：散点图显示不呈线性，[R2=0.7464]，模型拟合效果不是很好.我们应该用哪个函数拟合更好？

生1：二次函数.

生2：指数函数.

生3：幂函数.

生4：对数函数.

师：当回归方程不是线性时，我们称之为非线性回归方程.本节课我们着重探究两类非线性回归模型：二次函数模型[y=c3x2+c4]和指数函数模型[y=c1ec2x].今天的重点问题是如何将非线性回归模型转化为线性模型.请同学们合作探究，阅读教材后完成表2.

（观察散点图得二次函数的对称轴约是20） 在指数模型中为什么选择以[e]为底的指数呢？

能选择其他的底数吗？

取对数后是ln（常用对数），计算器方便计算.也可以换成以10或2为底或者任意正实数为底，用Excel演示. ]

教师用Excel现场演示，将表1中的数据平方得表3.

将表1中的数据取以e为底的对数得表4.

画散点图添加趋势线拟合二次函数模型转化为线性如图2，拟合指数函数模型转化为线性如图3（变量计算机默认x）.

师：通过Excel演示，大家很清楚地看到将非线性转化为线性的过程，指数函数模型的[R2]较大，拟合效果比二次函数模型好.我们还可以通过什么来比较呢？

生：残差和残差图.

复习残差计算公式和残差图的画法，并用Excel演示.

学生通过残差表5看出指数模型的残差比二次函数模型的残差小，图5比图4的残差点落在水平带状区域较窄，因此说明指数函数模型拟合效果较好.

最后教师用Excel演示模型改进过程，二次函数模型的改进，Excel默认拟合效果最好的如图6，即增加一次项的模型.

指数函数模型的改进可以变换底数以10为底，令[z=lgy]得表6，拟合结果如图7.

也可以变换底数以2为底，令[z=log zy]得表7，拟合结果如图8.

教师可进一步延伸拓展，借助Excel添加趋势线，拟合更高次函数，如三次函数、对数函数等模型，拓宽学生的视野，体会数学源于生活又高于生活，学以致用，有效预防红铃虫，只要控制温度在20 ℃以下，35 ℃以上.数学模型没有最好，只有更好，逐步改进模型，才能更好地为我们的生活服务.

[   参   考   文   献   ]

[1]  周迎春.从不同视角看高中数学“线性回归分析”的两个结论[J].重庆师范大学学报（自然科学版），2019（4）：131-136.

[2]  安国胜.探究数学核心素养的培养途径[J].课程教育研究，2019（27）：129-130.

[3]  李思聰，张仕橙.注重建模思维引领，培养数学核心素养[J].数学教学通讯，2019（18）：20-21.

[4]  郝晶杰. 高中生数学建模素养调查研究[D].新乡：河南科技学院，2019.

[5]  郑叶群.如何把高中数学建模核心素养渗透于课堂教学[J].教育现代化，2019（23）：253-254.

[6]  郭红霞.高中数学课堂中落实核心素养的培育策略[J].中学数学，2019（5）：79-80.

（责任编辑 黄桂坚）