微课在高等数学教学中的应用与实践

大连大学信息工程学院 柳 扬

“大力发展本科教学，提高本科教学质量”，这是教育部在《关于加快建设高水平本科教育，全面提高人才培养能力的意见》中提出的一项重要工作。在坚持“以本为本”的教学理念下，将工作重心落回到本科教学上，是对高校教师提出的新要求。高校教师面对新时代的大学生，教学模式的革新不可或缺，如何将现代化教学手段与传统教学模式相结合，如何将学生“领学”与教师“教学”相结合，更好地发展本科教学，这也是高校教师面临的一次新挑战。

高等数学是针对高等院校本科生开放的一门重要的公共基础课，高等数学的课程内容更是本科后续专业课程学习的重要工具，数学学习中的逻辑严谨性是日后学生自我学习、自我研究能力培养的重要基础，同时高等数学也是学生考研的重要科目之一，因此受到学生的高度重视。但是，高等数学课程教学内容多、各大院校高等数学的教学班型较大、专任教师的教学模式较传统、教学手段比较单一，这些都使得授课教师的工作压力很大。为了解决这些教学中存在的问题和困难，新的教学模式——微课建设与使用，逐渐成为各大院校开展教学改革的重要内容。微课最早在2008年由美国新墨西哥州圣胡安学院高级教学设计师戴维·彭罗斯提出，是运用授课内容微制作的方法，形成以在线学习或移动学习为目的的教学手段。课程微课是将章节知识点“大化小”“繁化简”“整化零”，以便于学习者使用移动端可随时进行学习。不因时间限制，不因空间约束，因此微课的使用具有一定的灵活性。微课不仅可以激发学生自主学习的意识，也能提高教师上课的效率，在固定时长的课堂上，充分发挥学生的主动性，让学生带着问题积极主动地参与到课堂中来。但是，这并不意味着微课将会替代传统课堂授课。本文将针对教改项目工作微课制作中的问题提出一定的解决办法，并总结了高等数学微课设计的过程。

一、高等数学的微课设计探讨

高等数学通常分为理工类高等数学、经济类高等数学两大类，由于专业的不同，对于微积分知识的要求也不尽相同，面对很多院校的大类招生，微积分课程设置也面临巨大的挑战。但是，高等数学的微课设计恰恰可以解决这个难题。微课以一个知识点制作一个短视频，学生通过学习可以掌握一个“点”，即可灵活应用于不同学科，解决不同的实际问题。比如，导数的概念反映的是函数的瞬时变化率问题，因此可以将导数应用在几何学中，可以解决曲线的切线斜率问题；在物理学中，可以解决物体的瞬时速度；在经济学中，可以解决边际经济问题等。高等数学之所以被设定为公共基础课，就是因为学生可以通过数学特征的学习，掌握并提升辩证思维能力，为解决工作中的问题打基础；通过学习用数学来解决问题的数学方法，提升学生解决科技矛盾的能力。所以，在微课设计中，要注重知识点的划分，重概念的由来，重解决方法的问题背景，重知识的实际应用性。

微课的制作原则是“小而精悍”，借助于传统的课程设计，每个微课视频设计应在5—10分钟，知识点具有针对性，问题背景要具有代表性，引入实例将数学的抽象化为具体、特殊化为一般、整体化为片段。比如，在“定积分的概念”一节中，由于数学概念具有抽象性，不易于学生理解，因此在该节课程设计中，将重心落在问题的背景上，重在寻求解决问题的途径，归纳解决问题的方法，从而引出抽象概念。因此，定积分的定义设定为一节微课内容。首先，我们要注意到定积分在微积分中具有非常重要的作用，它是研究连续变量在某一区间内的总量问题。因此在选择实例时，先想到学生熟悉的几何求面积问题，即寻求不规则平面图形的面积。在分析方法中，让学生感受到中学阶段学习到的知识的延伸，辩证地理解“以不变应万变”的思想，总结出分割、替代、求和、取极限四个步骤。其次，为了体会定积分的应用不仅仅是在几何上求面积，再选择一个物理学中学生熟悉的知识，即求变速直线运动物体的位移。两个例子都有一个共同的特点，就是在有限区间上含有连续变量，无法再用简单的初等数学公式直接计算求解。因此要借助极限的思想，充分发挥极限的作用，分析并解决问题。通过以上两个例子的分析，让学生充分体会到，所谓的定积分就是通过四步法来求含有连续变量的函数在某个区间上的总量的方法。让定积分的定义从一个抽象概念变成了一个简单的解决问题的方法，学生更容易接受，也更容易理解。短短10分钟的一个视频，充分体现了定积分概念的由来、问题的背景、解决的方法，更便于学生在应用过程中的扩展，了解到定积分不仅仅能求不规则平面图形的面积，还能求立体体积、求密度不均匀的物体质量、求曲线弧长度等，也为下册书中多重积分的学习打下坚实的基础。

再比如，在微分中值定理的介绍时，数学定理的特殊性决定了应用的灵活性，这也是学生学习的难点。学生对定理经常产生畏惧的心理，知道定理内容，却不知定理如何使用。因此，在关于定理的学习中，尽可能将条件和结论变得可视化，有效地利用几何图形，借助计算机的图形模拟，让内容更加直观，便于学生理解。因此，本节微课的设计重心落在几何解释上，通过观察几何图形的特征，让学生寻找特殊的结论，再引导学生通过严谨科学的证明，得出定理的条件以及结论。从制作的过程中，教师更加凝练了重要的知识点，学生借助于每个微小的知识点视频，也激发了自己学习的兴趣，培养了学生独立自主学习的良好习惯，增强了学生解决问题的信心，培养了学生解决问题的能力。

二、以微积分基本定理为例的微课设计

众所周知，牛顿—莱布尼茨公式为解决定积分的计算问题提供了最便利的方法，结合几十秒的多媒体动画，让学生在理解定积分定义的同时，也体会定义法计算上的不便捷甚至困难重重，因此通过牛顿以及莱布尼茨的研究数学背景，充分体会该公式的奇妙之处。遵从学生学习需求，从实际的应用示例，去探求问题、解决问题、总结方法、归纳结论。

比如，求做变速直线运动物体的位移，该问题基于学生已经掌握的定积分的定义和定积分的几何意义，可以轻松地寻求到位移与速度的关系，更加有助于学生借助自己的能力进行问题的分析和解决，抽象出定积分的计算方法。

首先，为了解决变速问题，借助定积分的几何意义，利用几何图形直观描绘面积的变化情形，引导学生找出积分上限函数并利用导数的定义研究积分上限函数的可导性。从而得到两个定理：（1）利用导数定义进行定理1结论的证明；（2）原函数存在定理：连续函数一定存在原函数。

其次，借助积分上限函数回应最初的假设，寻求本节课的核心公式——牛顿—莱布尼茨公式。牛顿—莱布尼茨公式的引出将本节课带入了一个高潮，恩格斯曾精辟地指出：“微积分是17世纪自然科学的三大发明之一！在一切理论成就中，未必有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看成人类精神的最高成就了！”这个公式充分体现了积分与微分的辩证关系，积分是微分的无限累加，微分是积分的无限分割。

微课视频可以在授课教师上课前就发布给学生，学生可以以预习为目的进行学习，带着问题回到课堂上，与教师一起完成教学任务，课程例题讲解尽可能采取传统的教学模式进行，例题的选择要具有代表性，积分上限函数的求导、简单的定积分计算，更能让学生体会数学应用的规范性和严谨性，让学生轻松地去掌握本节课中的重要定理的内容和结论，掌握基本的计算方法，为接下来的换元法以及分部积分法计算定积分打下良好的基础。牛顿—莱布尼茨公式是今后计算定积分的主要计算工具，同时又是联系微分学与积分学的重要纽带，因此，其在微积分学习中的意义十分重要。正确理解公式的由来比机械记忆更加有助于今后学习过程中知识的应用。

本文借助微积分中的微积分中值定理，牛顿—莱布尼茨公式内容的微课设计，充分体现微课短小精悍的特点，易于学生对于重点知识的掌握，便于与传统教学相结合，更好地完成教学任务，达到更好的教学效果。由于微课时长设置合理，所以学习环境不受时间和地域的影响，而且适于反复观看，有助于学生自主学习。本次课程教学改革，不仅使得授课教师更加熟练地掌握制作的技能，也让学生在学习过程中获得很大的收益。