注重由“形”构“型” 解法水到渠成

戴承惠

摘  要：文章以2020年中考浙江金华卷第10题为例，通过多角度、多方位的剖析，注重对基本图形的挖掘与构造，借助“形”的联想，通过一题多解丰富问题解决策略，补“型”揭示多解归一的核心，一题多变展现思维深度，体现试题的育人价值.

关键词：基本图形;由形构型;解题教学

波利亚曾说，一个专心的认真备课的教师，能够拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域. 笔者认为，几何教学要引导学生学会根据已知条件，分析整体图形的结构，挖掘隐藏在局部的基本图形或不完整的基本图形，将整体图形拆分成几个基本图形，消除整体图形的干扰，凸显“化难为易”与“化陌生为熟悉”的转化思想. 基于此，笔者以一道中考试题为例，给出试题的解法、变式，以及笔者的一点思考.

一、试题呈现

题目的命制秉承“源于教材，高于教材”的原则，以浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“2.7 探索勾股定理”的“合作学习”中的弦图作为命题素材. 试题借用富有传统数学文化背景的“赵爽弦图”，考查了正方形、直角三角形、等腰三角形、勾股定理、全等三角形、相似三角形等初中数学核心知识，简约而不简单，体现了试题的难度与效度，彰显了试题的选拔功能. 试题图形美观，渗透数学文化，让学生感受数学的魅力，使考试成为数学文化的传播过程，体现了数学试题的育人价值. 本文以基本图形为载体，以一题多解为导向，归纳问题解决的通性、通法，使学生积累数学基本活动经验，引导学生感悟数学思想方法，培养学生数学建模、逻辑推理、直观想象和数学运算等核心素养.

二、解法赏析

由已知条件，梳理整体图形中基本图形的数量关系和位置关系如下.

1. 局部挖“形”，巧妙构“型”

2. 整体观“形”，提炼模型

三、拓展延伸

1.“整体观形”视角

2.“局部挖形”视角

3.“综合变化”视角

四、教学导向

1.“形”的挖掘，是生成一题多解的基石

由上述19种解法可知，解法的多样性取决于学生对每个基本图形的特征、应用条件和应用方法的熟悉程度，也反映了学生对基本模型的积累程度. 在日常教学中，首先，教师要对教材例、习题中隐藏的基本图形适当提炼和总结. 例如，联想“三线合一”“角平分线 + 平行”构造等腰三角形，以及“A”型与“X”型相似等，强化学生对基本图形的认识，了解基本图形应用的条件和方法. 其次，采用运动变换和类比探究的观点，分析、比较和归纳基本图形. 例如，对于两个共顶点的等边三角形与共顶点的相似三角形，尝试探索两者之间类似的结论和探究方法的通性，帮助学生感悟其中蕴涵的数学思想方法，内化知识体系，提高解题能力. 最后，加强学生对“形”的挖掘，培养学生从复杂图形中剖析基本图形的意识和能力，这样一题多解也就自然生成了.

2.“型”的构图，是促成多解归一的核心

结合此题的解法分析，作为教师，应该在教学中有意识地引导、启发学生思考“为什么构造图形？构造什么图形？怎样构造图形？”等问题，让学生真正做到知其然，更知其所以然，最终达到灵活应用、适度创新的目的. 例如，在顶角为[45°]的等腰三角形中，无法直接应用基本图形的性质，则需要添加辅助线. 基于学生的认知，学生容易联想到等腰直角三角形或正方形，则构造等腰直角三角形或正方形成为优先选择，解决了“构造什么图形”的困惑. 添加辅助线本质上是补“型”的问题，是“基本型”完整化的思维过程，诠释了“怎样构造图形”的核心问题. 笔者认为，在教学中要分析已知条件，引导学生从“形”入手，借助“形”的联想，揭示分析方法的一般性;基于学生的思维特点和已有经验，在日常教学中应注重培养学生由“形”构“型”的思维意识，渗透建模和转化思想，揭示添加辅助线的规律，让学生真正体会无招胜有招的“归一”境界.

3.“题”的变式，是达成思维深刻的关键

解题教学是帮助学生深化基础知识，掌握数学思想方法，训练思维能力的过程. 在日常教学中，教师不仅要关注一题多解，也要重视对基本模型的归类，更要渗透试题的变式拓展研究. 当然，变式并不是随意改编，要基于原题的背景、图形、数据、条件、结论等方面进行变换，加强基础知识与解题方法之间的内在联系，起到“做一题、会一类、通一片”的效果. 同时，教师要引导学生探索变式的方法和途径，让学生自己提出问题、分析问题、解决问题和反思问题，真正实现数学知识的再创造，以及教与学的统一. 拓展延伸1從中心对称的角度改编试题，PG=2HP，引导学生发现IF是△BGP的中位线（设AF与BD的交点为点I），更多体现“整体观形”视角;拓展延伸2，由原题目可以推出PG=CG， 改编成CG=3/2PG，更多体现在“局部挖形”视角;拓展延伸1和拓展延伸2条件不同，引导学生从不同视角解题，结果却相同，让学生体会异曲同工之妙. 拓展延伸3从解直角三角的角度变化、条件结论互换等综合视角改编试题，让学生感悟解三角形的通性、通法，更好地突出解决问题的转化思想. 通过上述拓展，能够让学生更深刻地理解和掌握数学知识，进而促进学生数学学科核心素养的发展.

参考文献：

[1]王淼生，叶志娟. 构造图形是求“非特殊角”三角函数值利器[J]. 中学数学杂志，2019（6）：47-49.