基于多尺度法的船舶横摇运动特性分析

李敏，曹乐，沈颉

（201620 上海市 上海工程技术大学 电子电气工程学院）

0 引言

船舶在航行过程中会受波浪等因素影响引发大幅横摇运动[1]，导致船上人员无法正常作业甚至造成倾覆事故，带来严重的经济损失[2]，准确分析和预测船舶横摇运动状态具有重要的理论和现实意义，也吸引了众多学者的广泛关注。Oh[3]等人采用纵摇与横摇运动耦合的方法研究参数横摇现象。研究发现，当波浪频率为船舶横摇固有频率的2 倍时，最易发生参数横摇共振现象。同时，当波浪频率接近船舶横摇固有频率时将会引起较大的横摇幅度，使船舶陷入不稳定状态[4-5]；Obreja[6]等人建立了一类垂荡、横摇和纵摇的耦合方程，系统分析了参数横摇现象。其中，平均非线性方法的发展和应用增大了预测船舶参数横摇的可能性，为船舶的运动分析和结构设计提供了实用价值。现有数值仿真工具[7-8]可根据工况下对应的参数直接预测并模拟船舶的运动状态，判断其是否处于参数横摇状态。

船舶稳定性是指其在静水和波浪中保持垂直漂浮位置的能力，也是船舶结构最基本的性能之一，保证了船舶航行过程中的安全性能[9]。Moideen[10]等人分析了Mathieu 不稳定图谱与船舶参量之间的关系，给出不同航速下船舶稳定的判断条件，并对常规波下的初稳心高度进行了估算；Himeno[11]分析了阻尼对参数横摇运动的影响，指出阻尼越大越不容易发生横摇运动；戎海武[12]等人应用改进的变形参数法对Mathieu 方程边界值进行求解，但精度仍需进一步提高；徐亚杰[13]针对船舶的转动惯量进行测量，从而对船舶的横摇运动进行仿真分析，但仿真过程较为复杂。

本文基于船舶结构建立横摇运动动力学方程，采用多尺度法给出近似解析解的表达形式，同时利用Hill 行列式结合运动方程特点绘制船舶不稳定参数图谱，并定性分析了不同阻尼下的船舶状态。基于船舶横摇角的解析解，分析不同小参数下横摇运动的时历变化及相图的收敛性，从而判断船舶稳定性，进一步研究其对船舶横摇运动的影响。另外，对船舶参数不稳定图谱中给定点的横摇运动进行预测，并通过增加阻尼项分析其对船舶恢复至稳定状态的影响程度。

1 船舶运动学分析

1.1 模型建立

复杂海况下，船舶极易发生垂荡-横摇耦合运动，即出现参数共振现象。不同海况下的波浪表征出不同的运动学特性，本文着重分析单频波浪影响下船舶的横摇运动响应，变化情况如图1表示。其中，M0为船舶初稳心；GM0对应船舶在静水中的初稳心高度；B0为静水中的浮心位置；GZ 表示恢复力矩。受海浪因素影响，船舶浮心由B0偏移到B1，产生横摇角φ，φ可表示为以M0为圆心，M0B0为半径的圆弧B0B1所对应的夹角。船舶初稳心高度表示为

图1 船舶横摇运动简图Fig.1 Schematic chart of ship roll motion

式中：α——单位垂荡运动引起的GM 变化；η——垂荡运动随横摇运动恢复力刚度的变化程度；ω——船舶垂荡运动频率。

船舶横摇运动微分方程[14]可表示为

式中：Ix——横摇惯性矩；Mx——横摇附加质量；C1——线性阻尼系数；Δ——排水量。

令τ=ωt，将式（1）代入式（2），并进行无量纲化处理可得

1.2 横摇运动方程的求解

本文采用多尺度法求解船舶横摇运动方程，其主要思想是将关于时间τ的高阶微分方程转换为多重尺度变量Tn的低阶偏微分方程进行求解，能够克服摄动方法一次近似求解方法精度低、二次近似求解方法复杂度高的缺点。

首先，对式（3）引入小参数r，取值范围为0

式中：σ——频率调谐参数，表示垂荡频率与2倍横摇固有频率的相关程度。

将式（4）代入式（3）中，可得

设式（3）通解的形式

式中：T0=τ；T1=rτ；T2=r2τ。

定义微分算子：

将式（6）—式（8）代入式（5），根据所得偏微分方程按r 的阶次进行整理，可得

设式（9）解的形式为

将式（12）代入到式（10）

式中：cc——前面几项的共轭。

为了得到一致有效的展开式，消除方程(13)中的长期项，需满足以下条件：

消除长期项后，式（10）表示为

设式（15）中解的形式可表示为

将式（12）和式（16）代入式（11），可得

消除式（17）中的长期项，可得

根据式（14）和式（18）可分别解得

将A 表示成极坐标形式：

同时，将式（19）、式（20）和式（21）分别代入式（22）中并分离其实部与虚部，可得

因此，式（3）近似解析解的表达形式为

1.3 不稳定区间的确定

本小节利用Hill 行列式[15-16]确定船舶不稳定参数图谱。在确定参数图谱的过程中，过渡曲线的解φ（t）可用如下傅里叶级数表示：

将式（26）代入式（3），可得

基于式（27），式（3）的系数矩阵行列式表示为

当行列式（28）的值为正时，式（3）对应的解收敛到0，船舶运动处于稳定状态；当行列式（28）的值为负时，式（3）对应的解呈发散状态，船舶发生参数共振现象。可通过无限行列式的零解确定上述两种状态的过渡曲线，如图2 所示，其中c 表示阻尼系数。

图2 参数横摇稳定图谱Fig.2 Stability chart of parametric rolling

利用过渡曲线来标定船舶不稳定参数图谱中的稳定区S 和不稳定区U。显然，随着阻尼系数的增大，参数图谱中的不稳定区间减小。同时，观察图2 可知，对于不同的稳定区间，增大阻尼系数c 对过渡曲线极小值的影响尤为显著。

2 船舶横摇运动响应分析

船舶在海上航行时，遭遇的海况复杂多变。当海浪波高小、周期短时，船舶响应较小；当波高大、周期长时，船舶响应增强，从而引发参数横摇现象。本文将基于表1 中某船舶的尺寸参数进行运动学特性分析。

表1 某船舶尺寸参数Tab.1 Parameters of the studied ship

根据1.2 节中的解析解，通过改变r 的取值，研究船舶横摇运动响应。当r=0 时，式（3）为常系数线性齐次微分方程，对应解为正弦信号。基于给定算例，图3 为r=0 时船舶的横摇运动状态图。图3（a）给出分别由通解与所求解析解两种方法得到的船舶横摇运动时历图；图3（b）表示对应相图，呈椭圆状。观察波形，此时船舶横摇角表现为正弦波，没有引起较大横摇运动，可判断船舶处于稳定状态。当r=0.1 时，船舶横摇运动时历记录如图4（a）所示，在给定时间段0～500 s 内，船舶横摇角幅度逐渐增大；图4（b）中相平面轨迹以螺旋线的形式呈现发散状态。

图3 r=0 船舶横摇运动状态图Fig.3 Ship roll motion chart of r=0 state

图4 r=1 横摇运动状态图Fig.4 Ship roll motion chart of r=1 state

根据以上分析，增大小参数r 的值，会改变船舶横摇角的运动趋势。

为验证本文所给解析解的有效性，在船舶不稳定图谱中选取特殊点验证其稳定性，二点分别 为A（0.45，0.4），B（0.25，0.2）。据 图5可知，A 点位于稳定区，B 点则位于不稳定区。

图5 A、B 两点的位置分布Fig.5 Distribution of A point and B point

首先对A 点对应参数下船舶的横摇运动状态进行预测，取r=0.1。图6 为船舶横摇运动状态图，图6（a）表示横摇角在0～500 s 内的时历记录，角幅度控制在0.1 rad 内；图6（b）呈现出一种概周期运动形式。可判断该状态下的船舶处于稳定状态，分析结果与船舶不稳定参数图谱中的状态一致。

保持r=0.1 不变，B 点对应参数下船舶的横摇运动状态图如图7 所示。显然，横摇角随时间迅速增大，同时相平面以螺旋线的形式呈现发散状态，此时船舶已发生参数共振现象。

由以上分析可知，解析解所给出的横摇运动状态与船舶不稳定参数图谱的预测结果一致。

根据图2 可知，增大阻尼可抑制船舶不稳定现象的发生，因此基于图6 与图7 中参数，增大阻尼项c 的值，利用解析解分析阻尼对船舶横摇运动的影响。

图6 r=0.1,c=0 船舶横摇运动状态图Fig.6 Ship roll motion chart of r=0.1,c=0 state

图7 r=0.1,c=0 船舶横摇运动状态图Fig.7 Ship roll motion chart of r=0.1,c=0 state

图8 对应图6 中的船舶运动状态参数，设定阻尼系数c=0.01 。对比图6 船舶横摇时历记录可知，横摇角随时间的增加逐渐减小，相图中的螺旋线在一定范围内呈现收敛状态；图9 对应图7中的船舶参数，设定阻尼系数c=0.01。显然，阻尼系数的增大减小了船舶的不稳定程度，但此刻仍处于不稳定中；继续增大阻尼系数，当c=0.5 时，观察图10 发现，船舶横摇角由0.856 9 rad 逐渐减小，此时可认为船舶恢复到稳定状态。基于以上对比实验，进一步说明阻尼对参数共振的发生与否以及参数横摇共振现象发生后恢复到稳定状态的程度均有重要影响。

图8 r=0.1,c=0.01 船舶横摇运动状态图Fig.8 Ship roll motion chart of r=0.1,c=0.01 state

图10 r=0.1,c=0.5 船舶横摇状态图Fig.10 Ship roll motion chart of r=0.1,c=0.5 state

综上所述，本文所求解析解可以合理地解释船舶运动行为，能够应用于船舶运动状态的实况分析中。

3 结论

本文通过分析船舶结构建立横摇运动微分方程，采用多尺度方法求解其解析解。利用Hill 行列式绘制船舶不稳定参数图谱，分析不同阻尼下对船舶横摇运动状态的影响。基于实际船舶结构参数，改变解析解中小参数r 的取值进而判断船舶的运动状态，并预测船舶不稳定参数图谱中给定点的运动状态，进而判断解析解的有效性。同时，为了减小船舶发生参数横摇的可能性，本文基于解析解考虑了不同阻尼对船舶不稳定状态的影响程度。主要结论如下：

（1）基于文中所得解析解，船舶参数横摇的发生随小参数r 的增大而增大，同时相平面会由椭圆状变为螺旋线，并逐渐呈发散状态；

（2）阻尼越大，船舶不稳定现象发生的可能越小。阻尼对参数横摇的发生与否以及参数横摇现象发生后恢复至稳定状态的程度均有重要影响。

本文得到的解析解可作为分析船舶运动状态的有效手段，并能对横摇运动进行预测。