环R{D,C}的Armendariz性质
2021-10-18任艳丽
任艳丽,王 尧,周 昊
(1.南京晓庄学院信息工程学院,江苏 南京 211171;2.南京信息工程大学数学与统计学院,江苏 南京 210044)
0 引言
本文所研究的环均指有单位元1的结合环.设D是一个环,C是D的一个子环且1D∈C,令
R[D,C]={d1,…,dn,c,c,…|di∈D,c∈C,n≥1},
R{D,C}={d1,…,dn,cn+1,cn+2,…|di∈D,cj∈C,n≥1}.
1 带自同态的R{D,C}的性质
证明只需证明结论(1),结论(2) 类似可证.
充分性.设D是右α-可逆环.由于C是α-不变子环,显然有C也是右α-可逆环.设
(a1,…,an,cn+1,cn+2,…),(b1,…,bm,em+1,em+2,…)∈R{D,C},
且
(a1,…,an,cn+1,cn+2,…)(b1,…,bm,em+1,em+2,…)=(0,0,…).
若n≥m,则有
a1b1=0,a2b2=0,…,ambm=0,am+1em+1,anen=0,cn+1en+1=0,cn+2en+2=0,…
由D和C是右α-可逆环知
biα(ai)=0,(i=1,2,…,m),eiα(ai)=0,(i=m+1,…,n);eiα(ci)=0,(i≥n+1).
于是有
(b1,…,bm,em+1,em+2,…)(α(a1),…,α(an),α(cn+1),α(cn+2),…)=(0,0,…),
即有
证明只需证明结论(1).
f(x)g(x)=0.
又由于
于是有
从而
证明只需证明结论(1).
由
2 环R{D,C}的其他性质
称环R为exchange环[2],如果对任意的a∈R,存在b,c∈R,使得bab=b,c(1-a)(1-ba)=1-ba.
命题2.1S=R{D,C}是exchange环,当且仅当D和C是exchange环.
证明必要性.首先注意到S=D1⨁C1,D1={(d1,0,0,…)|d1∈D},C1={(0,d2,…,dn,c,cn+1,cn+2,…)|di∈D,n≥2,c,cj∈C},显然有D1≅D,即D同构于S的一个直和项,因为exchange环的直和项是exchange环,因此D是exchange环.又由于有S=R{D,C}到C的满同态φ:(d1,…,dn,cn+1,cn+2,…)c,exchange环的商环是exchange环,C同构于S的一个满同态像,于是C同构于S的商环,从而C是exchange环.
称一个环R为强π-正则环,如果任意a∈R都是强π-正则元,即存在相应的b∈R及正整数n,使得an=an+1b且ab=ba.
定义2.1 若对任意的a∈R,都有a或1-a是强π-正则元,则称环R是几乎强π-正则环.如果环R/J(R)是强π-正则环,则称R是feckly强π-正则环.如果R/J(R)是几乎强π-正则环,则称R是feckly几乎强π-正则环.
命题2.2 环S=R[D,C]是feckly几乎强π-正则环的充分必要条件是D是feckly强π-正则环且C/J(D)∩J(C)是几乎强π-正则环.
并且
称环R是Armendariz环,如果对任意f(x),g(x)∈R[x],由f(x)g(x)=0可以推出aibj=0,∀0≤i≤n,0≤j≤m.
定义2.2 称环R是feckly Armendariz环,如果R/J(R)是Armendariz环.
证明必要性.即要证明∀i∈I,Ri/J(Ri)是Armendariz环.取
这表明Ri(∀i∈I)是feckly Armendariz环.
命题2.4S=R{D,C}是feckly Armendariz环,当且仅当D是feckly Armendariz环,C/J(D)∩J(C)是Armendariz环.
设I为R的一个非零右理想,若对R的任意非零右理想,都有I∩K≠0,则称I为R的本质右理想.记Zr(R)={x∈R|rR(x)为R的本质右理想},称一个环R是右非奇异环,如果满足Zr(R)=0.类似文献[4]定理2.3的证明,可以得到:
引理2.1Zr(R{D,C})=R{Zr(D),Zr(D)∩C}.
命题2.5R{D,C}是右非奇异环,当且仅当D是右非奇异环.
证明由引理2.1,结论是显然的.
设I是环R的一个理想,称R中的幂等元模I可提升,如果a2-a∈I,则存在e2=a∈R使得a-e∈I.
命题2.6S=R{D,C}中幂等元模J(S)可提升的充分必要条件是D中幂等元模J(D)可提升,且C中幂等元模J(D)∩J(C)可提升.
称环R是potent环[13],若R中的幂等元模J(R)可提升,且R中不包含于J(R)的任意右理想都含有一个非零幂等元.文献[13]引理1证明了上述定义是左右对称的.
命题2.7 若S=R{D,C}是potent环且C的任意真理想是D的理想,则D和C是potent环.
证明由于S=R{D,C}是potent环,于是S中幂等元模J(S)可提升,由命题2.6知D中幂等元模J(D)可提升,且C中幂等元模J(D)∩J(C)可提升.设ID为D的右理想,IDJ(D),则有R[ID,0]J(S),R[ID,0]为S的一个右理想.由S是potent环知存在非零幂等元(e1,…,en,0,0,…)∈R[ID,0],因此必存在某个这推出D是potent环.下证C也是potent环.由于C中幂等元模J(D)∩J(C)可提升,于是C中幂等元模J(C)可提升.设IC是C的真右理想,ICJ(C),于是ICJ(D)∩J(C).令则由题设知,任意C的真理想都是D的理想,于是为R{D,C}的一个右理想.由于S是potent环,存在中非零幂等元(0,0,…,ei,ei+1,…),因此必然有某个C中的非零幂等元ej,从而C是potent环.