小扭转映射的拟有效稳定性

李 宏 田

(中国刑事警察学院基础部，辽宁 沈阳 110854)

1 引言与主要结果

1977年，Nekhoroshev[1]建立了Hamilton系统的有效稳定性理论，与KAM稳定性[2-4]不同，他指出近可积Hamilton系统的全部轨道在指数长时间内不会发生显著变化，而KAM稳定性是说近可积系统的大部分轨道是永恒稳定的.然而Nekhoroshev提出的这种长时间稳定性依赖于陡性条件以及拟凸条件[1]，这使得证明过程过于复杂.2015年，从福仲等[5]考虑用KAM型非退化条件来代替Nekhoroshev的陡性条件和拟凸条件，并且得到了一个弱于Nekhoroshev有效稳定性的结论，并将其定义为拟有效稳定性.本文继续了上述工作，考虑作用变量与角变量不同维情形的小扭转映射，并且在KAM型非退化条件下得到了高维小扭转映射的拟有效稳定性定理.

考虑实解析映射：Jt：Tn×G→Tn×Rm，

(1)

其中：Tn=Rn/Zn为n维环面；G⊂Rm是有界开集；fε(x，y)=εf(x，y)和gε(x，y)=εg(x，y)为关于x的1周期函数；ω，fε和gε在(G×Tn)+δ，δ>0上解析；ε>0为摄动参数；t∈[0，1]为小扭转参数.

则称映射(1)具有拟有效稳定性.

定理1.1 如果实解析映射(1)满足如下条件：

(A1) 存在M>0，使得

(2)

(A2) Jt在G×Tn上具有相交性；

(A3) 频率ω(y)具有非退化性，

则映射(1)具有拟有效稳定性.

2 近不变环面性质

定理2.1 若映射(1)满足(A1)—(A2)，对于任意给定的y0∈G频率ω(y0)满足Diophanto条件：

(A3*)

|e2πi〈k，tω(y0)〉-1|≥tα|k|-τ，∀k∈Zn0<|k|≤L(κ)，t∈(0，1]，

其中：α，τ>0；

κ

(3)

为常数；L(κ)为截断的阶数.则存在一个仅依赖于M，n，α，K1，τ，δ以及κ的常数ε0>0，使得∀ε∈[0，ε0]，都存在(Tn×{y∈G||y|≤K1})+δ上的坐标变换E：

(4)

以及Tn×{y∈G||y|≤K1}上的近恒等变换(x，y)=Tj(X，Y)，

j=1，…，N(κ)，使复合变换E∘T1∘…∘TN(κ)将(1)式化为

(5)

其中

其中：(x(r)，y(r))=Jr(x，y)；c0，c1，c2>0为常数.

2.1 标准化

(6)

这里

(7)

(8)

其中(x，y)∈(Tn×{y∈G||y|≤K1})+δ.显然f0，g0实解析，并且满足

max{‖f0‖+‖g0‖，|ω(y0)|}

(9)

2.2 KAM迭代

(10)

且

(11)

做变换Tj：(X，Y)→(x，y)，

(12)

(13)

(14)

记

(15)

由差分方程有

vj(x+tω(y0)，y)-vj(x，y)=t[gj]L(x，y)，

(16)

(17)

令

由文献[5]，在Dj+1上有如下估计：

(18)

(19)

这里Ω*=ΩN，f*=fN，g*=gN.

由文献[5]，有

(20)

从而，若κ充分小，

|y(r)-y|≤|y-Y|+|y(r)-Y(r)|+|Y(r)-Y|≤c2κ.

并且

3 小扭转映射的拟有效稳定性

取τ=n2+n.记

类似文献[6]，有

对任意y0∈G*，取

α(y0)=max{α|0<α<1，|e2πi〈k，tω(y0)〉-1|≥αt|k|-τ，∀k，0≠k∈Zn}，

ε(y0)=α(y0)2(τ+n+4)，Dε(y0)=D(y0，ε).

对ε∈(0，ε0]，若0<ε≤ε(y0)，由定理2.1，对任意的(X，Y)∈Dε(y0)×Tn，只要r≤c0exp(ηε-β)，则

|y(r)-y|≤ηεγ，

令

(21)

至此完成了定理1.1的证明.