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李代数sl(2,C)的斜导子

2021-10-18远继霞

关键词:自同构等式代数

易 扬,远继霞

(黑龙江大学数学科学学院,黑龙江 哈尔滨 150080)

0 引言

李代数是现代数学的重要基础,促进了Kac-Moody代数、量子群等新兴分支的出现和发展,和群论、拓扑、微分几何以及理论物理都有密切联系,并在上述领域中有许多的应用.研究者对于李代数的导子做了许多研究工作.[1-9]文献[5]引出斜导子是通常导子的自然推广之一,也是广义导子和时滞导子的一个推广.文献[2-4]中已经得到了一些关于广义斜导子的结果.许多学者对素环和半素环上的偏斜导子做了许多细致深刻的探讨.文献[5]介绍了素环和半素环上的对称斜3-导子的概念.文献[1]将广义斜导子的定义推广到R的右Martindale商环Q上.本文将文献[7]中斜导子的定义推广到了李代数上,并研究了sl(2,C)的自同构所确定的斜导子的形式,得出对sl(2,C)任意的自同构σ,σ-导子空间是1维或3维的.

1 预备知识

本文设C是复数域,所有的向量空间都是在复数域C上的向量空间.设V是C上的向量空间,End(V)为V上的所有线性变换构成的集合.对于一个李代数g,记Autg为g的自同构群.

定义1[7]对于σ∈Autg,令D是g上的线性变换,满足

D([x,y])=[Dx,y]+[σ(x),Dy],∀x,y∈g,

(1)

则称D为李代数的斜导子(或σ-导子).

令Derσg为g的所有σ-导子构成的集合.注意到Derσg对于线性变换的加法和数乘构成一个线性空间,将其称为g的σ-导子空间.显然任意一个李代数的导子是id-导子,因此斜导子是导子的推广.本文将研究典型李代数sl(2,C)的σ-导子.回忆李代数sl(2,C)的结构,sl(2,C)是由迹为零的2×2矩阵构成的李代数,不难验证它有以下的一组基:

而且基元之间的运算满足下面的关系式

[h,e]=2e,[h,f]=-2f,[e,f]=h.

2 斜导子的刻画

下面进行斜导子的刻画,引入如下引理:

谈话前,卢一平表现得漫不经心若无其事。他和郝桂芹回顾了家里的收支状况,感叹物价飞涨,报怨收入微薄,接下来,是感叹孩子借读的开销和老人医护费的攀升。看见郝桂芹连连点头、默认,卢一平知道火候到了,机会来了。他开始分析了,他开始总结了。总结的结果,是这样下去将会坐吃山空。得出的结论,是必须改弦易辙才能扭转局面。

证明由于A可逆,故ad-bc≠0,分成bd≠0和bd=0讨论.当bd≠0时,即为情况(1).当bd=0时,可分为b=0和d=0.若d=0,即为情况(2).若b=0,可分为c≠0和c=0,a≠d以及c=0,a=d讨论.c≠0即为情况(3);c=0,a≠d即为情况(4);c=0,a=d即为情况(5).

引理2[6]对每个可逆阵A,令σA(X)=A-1XA,则σA是李代数sl(2,C)的自同构,且sl(2,C)的所有自同构是映射XA-1XA所组成的集合.

命题1 DerσAi(sl(2,C))=CDAi,i=1,2,3,4.

证明“⊇”关系显然成立,下面证明“⊆”关系.

σA(X)=A-1XA.

σA:h[(da+bc)h+2bde-2acf];

e[dch+d2e-c2f];

f[(-ba)h-b2e+a2f].

设D∈DerσAi(sl(2,C)),且

其中m,n,p,q,s,t,u,r,w∈C.根据(1)式,得到下面的等式:

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

由(2)—(10)式,整理得到以下等式:

2bdu+2acq=0,4bcq-4bdm=0,-4bcu-4acm=0,

-4adr-4acn=0,4dat-4bdp=0,2dcq-2d2m=0,

2bau+2a2m=0,-2dcr-2c2n=0,-2bat+2b2p=0,

(ad-bc)m-(ad-bc)w-b2r-a2s=0,(ad-bc)q+2(ad-bc)p-2bas+2b2n=0,

(-ad+bc)u-2(ad-bc)n-2dcw-2c2p=0,-2(ad-bc)p-b2u-a2q=0,

(-2n-u)(ad-bc)+2bdr+2acs=0,2(ad-cb)m+4bcs-4bdn=0,

(2p+q)(ad-bc)+2bdw+2act=0,-4bcw-2(da-bc)m-4acp=0,

(ad-bc)s-(ad-bc)m+d2w+c2t=0,(cb-ad)q+2dct-2d2p=0,

-4(ad-bc)t-2baq+2b2m=0,(2a2-2ad+2cb)p+2baw=0,

2(ad-bc)n+d2u+c2q=0,4(ad-bc)r-2dcu-2c2m=0,

(ad-bc)u+2bar+2a2n=0,(ad-bc-a2)t-b2w=0,

(d2-ad+bc)r+c2s=0,2(ad-cb-d2)n+2dcs=0.

当A=A1时,由上述等式解得:

于是

同理可得,当A=A2时,等式的解如下:

于是

当A=A3时,等式的解如下:

于是

当A=A4时,等式的解如下:

于是

综上所述,DerσAi(sl(2,C))⊆CDAi,i=1,2,3,4.

上述等式的解如下:

p=-1/2q,s=-dw/a,u=-2n,m=t=r=0.

于是

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