对偶分裂四元数的表示矩阵的棣莫弗定理

孔祥强，赵培臣

(菏泽学院数学与统计学院，山东 菏泽 274015)

分裂四元数是非交换的结合代数，且含有零因子、幂零元和幂等元[1-3].文献[4-5]研究了分裂四元数及双曲型交换四元数的极表示.文献[6-7]定义了新的非交换环并给出2阶实矩阵的棣莫弗定理.文献[8-11]研究了对偶四元数表示矩阵及分裂半四元数的棣莫弗定理.有关对偶分裂四元数的研究已取得部分成果[12-16].本文将对偶分裂四元数的研究转化为对其四阶表示矩阵的研究，通过引入极表示，给出对偶分裂四元数表示矩阵的不同形式的棣莫弗定理，同时得到对偶分裂四元数表示矩阵方程的求根公式.

符号R、D、H、HD分别表示实数集、对偶数集、分裂四元数集、对偶分裂四元数集，I4表示4阶实单位矩阵.

1 对偶分裂四元数

2 对偶分裂四元数的表示矩阵

定理1 任一对偶分裂四元数均可表示为D上的4阶矩阵.

由此可定义对偶分裂四元数集合为D上4阶对偶矩阵集合

3 对偶分裂四元数表示矩阵的棣莫弗定理

3.1 Nq>0，NVq<0时的情形

证明由数学归纳法，设对任意的正整数n，有

故

又

所以

故对任意的整数n，结论成立.

3.2 Nq>0，NVq>0时的情形

则

证明根据归纳法，设对任意的正整数n，有

故

故对任意的整数n，结论成立.

3.3 Nq<0，NVq<0时的情形

且：

(1) 当n为奇数时，

(2) 当n为偶数时，

定理4的证明与定理2—3的方法类似，此处不再赘述.

(1) 当n为奇数时，

(2) 当n为偶数时，

4 对偶分裂四元数表示矩阵的方程的根

其中k为整数.

其中k=0，1，2，…，n-1.

当k=0时，第1个根为

当k=1时，第2个根为

依次可求出其余根.

5 结语

对偶分裂四元数及其表示矩阵是四元数领域研究的重要课题.本文从对偶分裂四元数的极表示出发，分3种情形分别介绍了对偶分裂四元数表示矩阵的棣莫弗定理，推广了欧拉公式.当对偶角为实数角时，得到了表示矩阵方程的求根公式.以本文为基础，可进一步研究对偶分裂四元数的其他问题.