欲速不达，质数合数教学应该徐徐前进

林魏玉

[摘 要]质数与合数是重要的代数概念，也是数论的基础。文章从教育的角度出发，提出“数字这么多，已有奇数偶数，为何还要区分质数合数？”，并给出分类的意义，帮助学生领悟其中的奥妙。

[关键词]质数;合数;概念;因数

笔者初执教鞭时，听到其他数学教师说质数与合数是教学中的难点，很不以为然：不就是一个数学概念吗？要求学生牢记并学会辨别就好了。于是，笔者教学时在课堂上不到5分钟就讲完2个概念，然后要求学生熟记熟背，笔者亲自把关验收，直到所有学生倒背如流。但第二天，就看到学生的作业本上一个个刺眼的红叉。

多年之后，这种“打脸”的情境历历在目，苦苦背诵的学生，刺眼的红叉，让人有苦难言。掩卷而思，问题到底出在哪？概念教学到底如何开展？忽然想起一句话：“严重的误解不如一知半解。”一下子茅塞顿开。于是，笔者重整旗鼓，改变对质数与合数的概念教学观念。

一、写因数，数出个数，为概念搭设骨架

师：请大家依次写出1～20所有数的因数，看谁又快又好。全部完成后，请同学代表展示汇报，其余同学帮助纠错，补足缺漏的因数。

1的全部因数：1。

2的全部因数：1、2。

3的全部因数：1、3。

4的全部因数：1、2、4。

5的全部因数：1、5。

6的全部因数：1、2、3、6。

……

（教师把特殊因数1和该数本身标红）

师：观察各数的因数数量，有什么玄机？

生1：因数个数是不固定的，千差万别。

生2：1只有唯一一个因数，还是1。

生3：就因数数量而言，偶数多于奇数。

生4：我反对！2也是偶数，只有2个因数，和奇数3的因数一样多。

师：是呀！除了2，未必所有偶数的因数都比奇数的因数多吧。

生5：2是个特例，其余的符合这个结论。

生6：我发现数字越大，因数不一定越多。

师：试举一例。

生6：19比10大，但是前者只有2个因数，后者有4个！

二、分类别，下定义，为概念形成铺设桥梁

师：同学们目光锐利，请根据因数个数给这些数分类。（拥有唯一因数的数;有1和原数两个因数的数;多于2个因数的数）

拥有唯一因数的数：1。

拥有1和原数两个因数的数：2、3、5、7、11、13、17、19。

拥有3个及以上因数的数：4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20。

师：请认清这些数（2、3、5、7、11、13、17、19）。数学上把这些特殊数单独划为一类，定义为质数（素数），谁能用通俗易懂的语言解释质数的含义？

生1：拥有两个因数的数就是质数。

生2：表述不严谨，应该加一个“只”字。

师：能举例子吗？

生2： 2、3、5、7、11、13、17、19都只含有2个因数。多一个都没有。

生3：我同意！还可以再详细一些。这些数有2个因数，一个必为1，一个是原数。换句话说，只有1和原数两个因数的数就是质数。

师：观察入微，严谨简练，质数确实就是这么定义的。（课件出示质数的定义）

师：请大家认清这组数（4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20）。这类数又被单独归为一类，谁能用通俗易懂的语言解释？

生4：因数个数多于2个的数称为合数。

生5：倒不如直接说有3个以上因数的数称为合数。

生6：不对！多于两个不代表三个以上。

生7：拥有三个及以上的因数的数是合数。

师：能再精确些吗？

生8：除了1和原数以外，还有别的因数的数就是合数。

师：照这个标准，那数字1该如何归类？

生9：质数只有两个因数，合数有三个及以上个因数，可1只有一个因数，两头不沾边。

三、举例子，做练习题，为深入理解扫清障碍

师：谁能分别试举两例质数与合数？

生1：7是质数。

生2：同意，7除了1和它本身，再无其他因数。

生3：15是质数。

生4：不对！15除了1和15，还有因数3和5，违背了质数的定义。

生5：不用去计算！根据乘法口诀三五一十五，就能判断。

生6：没错，只要这个数是乘法口诀里的积，它都不是质数。

师： 87呢？

生7：87应该是质数，一时想不出还有其他因数。

生8：我反对。漏算了因数3呢！

师：你真厉害！说说你的秘诀吧！

生8：既然87不在乘法口诀表内，就只好从是否含有因数2、3、5着手判断。

师：哦，原来当口诀法无法判断时，就要依次排查这个数是否是2、3、5的倍数……思维缜密，推理严谨。请大家应用此法判别91的身份。

生9：排除了91是2、3、5的倍数的可能，八成是质数。

師：敢打包票吗？

生10：千算万算，漏算了7，它是7的倍数，91是合数。

师：了不起！判别质数合数，如何才能万无一失呢？

生11：我依次排查所有的质数因数，2、3、5、7、11、13……直到逼近原数。

师：那100以内的质数与合数都有哪些？请小组合作列出100以内的质数表。

四、抓起点，顺其自然，为丰富理解夯实基础

整堂课上学生发言踊跃，敢于质疑，在合作探讨中辨明了质数与合数，更令人欣喜的是，作业正确率高得惊人。对比两次“质数与合数”的教学，得到一个结论：看事容易做事难，枯燥的概念理解起来需要百转千回;死记硬背徒劳无功，理解性地运用才是终南捷径。学生只有经历概念的形成过程，才能吃透概念。因此，在概念教学中，教师必须做到：

1.抓准起点，渗透隐伏

所有的数学知识都不是空中楼阁，万丈高楼平地起，打好地基是关键。如果舍弃旧知，单刀直入讲概念，不但不能直捣黄龙，而且容易动摇根本，让学生对概念的理解变成无本之木。这节课上，笔者充分准备，事先设计两个活动：找出1～20各数的所有因数;观察1～20各数因数的个数的特征。通过数学活动实现质数和合数概念与因数知识的无缝对接，为新知的学习找到了“发源地”。同时，在大量的求因数的活动中渗透了分辨质数合数的技巧，在清点因数个数的大量实例中，让学生形成按照因数个数分类的动机。这些学习材料都为推出质数和合数的概念铺平了道路。

2.顺其自然，水到渠成

质数和合数的概念的本质区别在于含有因数的个数。如果直接生硬地呈现概念，忽略形成概念的过程，学生即使倒背如流，最后也只会变成严重的误解。在这节课上，当学生通过观察发现了1～20各数的因数个数具有不同的特点后，笔者循循善诱，顺应学生朦胧的感悟，让学生按心中所想来分类，比较发现三组数之间的异同，根据分好的类别定义质数与合数，那么结论就想当于是学生自己概括出来的。即使学生的语言稚拙，至少是基于理解上的真心话。学生在初步感知质数和合数的基础上，通过观察分析、比较综合、抽象概括，基本都可以用严谨准确的语言表述，教学水到渠成。

3.循序渐进，丰富理解

学生对概念的理解应该遵循具体—抽象—具体的认知过程。在揭示概念后，不宜让学生马上背记。这时，笔者继续故技重施：“请举质数和合数的例子，说说判断方法。”在交流展示中，數字从小到大，难度不断升级，从直觉判断到口诀判断，到最后的程序判断，在反复论证中，学生不但完善认知结构，思维能力和判断力也都得到发展。

前后两次教学对比，使笔者深刻认识到：欲速则不达，徐徐前进才能出奇制胜。只有让学生亲历数学概念的形成过程，学生才能够合理运用，真正理解概念。

[ 参 考 文 献 ]

[1] 余志敏.“质数与合数”教学要解决两个“为什么”[J].小学教学参考，2019（05）.

[2] 王林胜.换一种教学思路，突破学习难点：“质数与合数”教学片断与思考[J].中小学数学（小学版），2019（10）.

[3] 杭惠娟.注重技能  攻克难点：苏教版教材五年级下册“质数与合数”同课异构教学及思考[J].小学教学参考，2018（02）.

（责编 金 铃）