关于二次函数中45°角存在性问题的解法探究

张军

[摘  要] 二次函数中的45°角存在性问题十分常见，问题突破的关键是构造对应角度，然后结合函数与几何知识进行逐步推理论证. 角度构造的解法有很多，下面将剖析问题背景，结合实例具体讲解三种构造策略，并进行方法总结，提出教学建议.

[关键词] 45°角;解法;等腰直角三角形;模型;隐圆

问题背景

二次函数与几何结合是中考重要的考查形式，其中的存在性问题尤其常见，包括线段存在性、面积存在性、几何角存在性等，而几何角存在性问题又可分为一般角和特殊角两大类存在性问题. 45°角有着一定的特殊性，是等腰直角三角形的内角之一，也是直角的二等分角. 二次函数中45°角的存在性问题的解法具有一定的代表性，总结解法可提升学生解决存在性问题的能力，下面深入探究45°角存在性问题的解法.

解法探究

45°角存在性问题属于代数与几何的综合性问题，问题解析需要综合二次函数与几何特性，突破的难点有以下几点：一是问题中往往以动点的形式出现，构建45°角模型是解析的难点;二是问题往往依托45°角探究动点的存在，构建角度与点的关系、转化函数与几何条件存在一定的难度. 下面结合对应例题具体讲解45°角存在性问题的解题策略.

策略一：构造等腰，“改斜为正”

构造45°角是解析的关键一步，解析时可以把握45°角与等腰直角三角形内角的关联，通过构造等腰直角三角形来生成45°角，同时通过几何变换来“改斜为正”，便于后续线段、点坐标的求解.

例1  如图1所示，已知抛物线y=x2-2x-3与x轴的交点为A和B（点A位于点B的左侧），与y轴的交点为C，点D是抛物线的顶点，点Q0，- . 点P是抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交BQ于点E，试分析是否存在点P使得∠PBE=45°？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

解析：审题可知45°角的顶点为定点，所求点P是抛物线上的一个动点，位置不确定，而点E随点P的移动在直线BQ上运动. 解析时可将45°角放置在直角三角形中，可考虑过点P作BQ的垂线，构造等腰直角三角形，然后结合相关条件进行问题解析，分点P位于直线BQ下方、直线BQ上方两种情形进行讨论，其中易得点B（3，0），可求得直线BQ的解析式为y= x- .

情形一：当点P位于直线BQ的下方时，过点P作PM⊥BQ，设垂足为M，构造等腰直角三角形△PMB，此时出现了斜直角，可对斜直角进行“改斜为正”.

过点M作y轴的平行线，与x轴的交点设为点G，再过点P作x軸的平行线，与MG的交点设为点H，如图2所示. 可设点Mm， m- ，易证△BPM为等腰直角三角形，又知BM=PM，可证△BGM≌△MHP，所以BG=MH=3-m，MG=HP= - m，则点P的坐标为 m+ ， m- . 由于点P位于抛物线上，将其代入抛物线的解析式中，整理可得m2-4m+3=0，解得m1=1，m2=3（舍去），所以点P的坐标为（2，-3）.

情形二：当点P位于直线BQ的上方时，过点M作x轴的平行线，并分别过点P和B作该直线的垂线，如图3所示，可构造△PMH≌△MBG，进而可推得BG=MH，表示点M的坐标，由线段长转化点P坐标，代入抛物线解析式即可求得点P的坐标.

过点M作MG∥x轴，再过点B作BG⊥MG于点G，过点P作PH⊥MG，与MG交于点H，如图3所示. 可设点Mm， m- ，易证△PMH≌△MBG，可推得BG=MH= - m，MG=HP=3-m，则可求得点P的坐标为 m- ， - m. 将点P的坐标代入抛物线的解析式中，整理可得9m2-28m+3=0，解得m1= ，m2=3（舍去），所以点P的坐标为- ， .

综上可知，存在点P使得∠PBE=45°，满足条件的点P有两个，坐标分别为（2，-3）或- ， .

评析：上述在探究45°角存在性问题中，充分利用了等腰直角三角形的几何特征，构造了等腰直角三角形，然后通过“改斜为正”构造全等图形，转移线段长表示出关键点的坐标，最后采用代入法完成求解，其中的“等腰构造，改斜为正”是方法的核心.

策略二：构造辅助圆，定理转化解析

45°角存在性问题中也可利用圆的性质来转化构造，即构造辅助圆，利用圆中同弧所对圆周角等于圆心角的一半先构造90°的圆心角，然后再作圆确定关键点的位置，最后结合圆半径相等及相关几何性质逐步突破.

例2  如图4所示，已知抛物线y=x2-2x-3与坐标的x轴相交于点A和B（点A在点B的左侧），与y轴的交点为点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，试分析是否存在点P使得∠APC=45°？若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.

解析：审题可知45°角的顶点P是一个动点，则所求∠APC的两边不固定，无法通过旋转构造全等三角形来转移线段长，此时可尝试以所求角的固定对边为斜边来构造等腰直角三角形△ACF，然后以点F为圆心，FA长为半径作圆，利用圆周角定理即可推得该圆与抛物线对称轴的交点满足∠APC=45°. 后续进行几何推理，表示线段长即可求出点P坐标，具体过程如下.

如图5、图6所示，作AC的中点E，将点A绕点E顺时针旋转90°，得到点F，则△AFC为等腰直角三角形. 以点F为圆心，FA长为半径作圆，与抛物线对称轴x=1的交点为点P，则∠APC=45°，圆与对称轴的交点即为所求点P.

过点F作FG⊥x轴于点G，过点C作CH⊥FG，交GF延长线于点H，可证△AFG≌△FCH，则有AG=FH，GF=CH. 结合抛物线解析式可得点A（-1，0），B（3，0），可求得点C（0，-3）. 设CH=m，则AG=OA+OG=m+1，则GH=2m+1=3，解得m=1，所以点F的坐标为（1，-1），结合勾股定理可求得AF= = ，又知PF=AF，所以点P的坐标为（1，1+ ）或（1，-1- ）.

评析：上述在探究45°角存在性问题时引入了辅助圆，结合圆周角定理构造了90°的圆心角，然后进行位置推导，由勾股定理确定关键点坐标. 其中充分利用了圆的性质求点坐标，由全等模型推导45°角，由勾股定理推導线段长.

策略三：构建等角模型，模型结论调用

实际解题时还可以通过构造“一线三等角”模型，结合三角形相似或全等性质解决问题，常见的模型为“一线三直角”全等模型，则位于中间的三角形为等腰直角三角形，可生成45°角，从而完成角度构建.

例3  如图7所示，已知抛物线的解析式为y=- x2+bx+c，点A（3，2）位于抛物线上，且与直线y=-x+ 交于点B和C，其中点B的坐标为（4，m）.

（1）求抛物线的解析式;

（2）设点M为抛物线的顶点，分析在y轴上是否存在一点Q，使得∠AQM=45°？若存在，请求出点Q的坐标;若不存在，请说明理由.

解析：（1）代入点坐标可求得抛物线的解析式为y=- x2+x+ ;

（2）探究45°角存在，需要构建相应的几何角，可引入“一线三直角”全等模型，利用模型的特殊性即可构造等腰直角三角形，生成45°角，过程如下.

如图8、图9所示，作AN⊥AQ，交直线QM于点N，可推知△ANQ为等腰直角三角形，设点Q的坐标为（0，m），又知点M的坐标为（1，4），则可得直线QM的解析式为y=（4-m）x+m，构造三垂直全等模型，可得△QEA≌△AFN，则AF=QE=m-2，NF=AE=3，所以点N的坐标为（m+1，5），将点N代入直线QM的解析式中，可得（4-m）（m+1）+m=5，可解得m1= +2，m2=2- ，所以点Q的坐标为（0，2+ ）或（0，2- ）.

评析：上述在探究45°角存在性问题时引入了“一线三直角”全等模型，利用模型特点构造了所需角度，后续通过性质推导求出了相应的点坐标. 该类问题中往往存在多解情形，在实际解题时要注意分类讨论，结合题干条件进行选项排除.

总结反思

上述充分把握函数与几何知识关联探究了45°角存在性问题的解法策略，三大解法均围绕45°角进行几何构建，其中策略一直接构造等腰直角三角形，策略二借助隐圆，策略三引入“一线三直角”全等模型，在实际探究时需要关注以下两点.

关注一：关注定理、模型特性，深入理解知识内涵. 教材的定理、定义是模型构建的基础，深刻理解其中的知识内涵，掌握对应的拓展技巧极为重要. 如相似模型中的比例关系、全等模型中的全等关系、将军饮马模型中的轴对称转化等. 教学时注意引导学生关注知识特点，总结定理结论，充分应用拓展，扩宽学生的解题视野.

关注二：注重解析过程，培养解题思维. 考题探究的思维过程极为重要，要引导学生思考问题突破的关键点、难点，探索问题突破的思维方向，从整体上构建问题的解析思路. 实际探究时可采用分段突破的方法，将问题难点进行细化，分阶段逐步转化条件，引导过程合理设问，挖掘问题特点，对比方法特点，从根本上使学生掌握问题解法.