平面几何一题多解问题的探究

摘 要：目前的初中数学平面几何教学中，存在着练习量偏大，教学效果差的不良现象.在初中平面几何中有许多一题多解问题，可以从不同的角度入手解决这些问题.在平面几何教学中有效应用这些一题多解问题，可以使用一道题目训练学生的不同知识体系，激发课堂教学的趣味性，提升课堂教学的效率.本文展示一道典型的初中平面几何问题，探究了十三种不同的解题方法，以供初中数学教师参考.

关键词：初中数学;平面几何;一题多解;问题探究

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）26-0002-02

收稿日期：2021-06-15

作者简介：朱井龙（1982.7-），男，黑龙江省绥化人，本科，中学二级教师，从事初中数学教学研究.[FQ）]

一、一题多解的价值

如果教师在平面几何教学中，注意挖掘和使用一题多解问题，除了可以强化学生的基础知识体系外，更重要的是能够发散学生的思维，提升学生的数学素养.而且在学生合作探究一题多解问题时，还可以发展他们的合作意识，提升他们的团队合作能力.下面这道平面几何问题是典型的一题多解问题，是平面几何教学中难得的好例题.

二、例题展示

例 如图1，已知：BM=MC，∠BAM=∠MDC，求证：AB=CD.

分析 这道题目中的已知条件并不复杂，图形结构也比较简单.但是，此题具有多种解法，每一种解法都针对了不同的知識体系.下面将从不同的角度，以不同方法去探究此题的解法.

三、解法分析

方法1 利用中位线，构造两个等腰三角形，证明两线段相等.

辅助线：如图2，延长BA交CD于G，取BG中点F，联结MF.

易得MF=AF=AG=DG，所以AB=3AF，CG=2MF=2DG，CD=3DG=3AF，所以AB=CD.

方法2 利用中位线，构造两个等腰三角形，由部分相等证明整体相等

辅助线：如图3，延长BA至E使AE=AB，联结CE，AE与CD交于F，易证AM∥CE，得AF=DF，CF=EF，所以AE=CD，从而证得AB=CD.

方法3 利用中位线，构造等腰梯形，通过两腰相等证明两线段相等

辅助线：如图4，延长CD至E使DE=CD，联结BE，因为D、M分别是线段CE、CB的中点，

所以DM∥BE，得梯形ADEB，又易证∠E=∠EBA，得等腰梯形ADEB，所以AB=DE=CD.

方法4 利用三角形中位线证明两线段相等

辅助线：如图5，联结BD，取BD中点E，AD中点F，联结EF、EM，因为BE=ED，DF=AF，

所以EF∥AB，且EF=12AB，同理可得：EM∥CD，且EM=12CD，所以∠EFM=∠BAM，∠EMF=∠MDC，因为∠BAM=∠MDC，所以∠EFM=∠EMF，

所以EF=EM，所以AB=CD.

方法5 由梅氏定理的证明的思想，构造平行线，利用比例线段证明线段相等

辅助线：如图6，延长BA交CD于E，过E作EF∥AM，交MC于F，因为DM∥EF，所以DCDE=MCMF，因为AM∥EF，所以ABAE=MBMF，因为∠BAM=∠DAE=∠ADE，所以AE=DE，又因为MC=MB，

所以AB=CD.

方法6 构造平行线，利用角平分线性质证明线段相等

辅助线：如图7，过A作AF∥CD，交MC于点F.由AF∥CD，得AFCD=MFMC，即MCCD=MFAF，

由AM平分∠BAF，得ABBM=AFMF，即BMAB=MFAF，因为MB=MC，所以AB=CD.

方法7 构造平行线，利用角平分线性质证明线段相等

辅助线：如图8，过D作DE∥AB，交CB延长线于E，由DM平分∠EDC，得CDMC=DEME，

由AB∥DE，得ABMB=DEME，因为MB=MC，所以AB=CD.

方法8 利用三角形等高不等底，面积之比等于底边边长之比

辅助线：如图9，延长BA交CD于E，联结BD，AC，因为三角形ABD与三角形AED是等高三角形，

得ABAE=S△ABDS△AED，

同理可得CDDE=S△ACDS△AED.

又因为三角形ACD与三角形ABD等高等底，所以三角形ACD与三角形ABD面积相等，而易证AE=DE，所以AB=CD.

方法9 构造全等及等腰三角形

辅助线：如图10，作CF∥AB，交AM延长线于点F，易得三角形ABM与三角形FMC全等，

所以AB=CF， ∠BAM=∠F，因为∠BAM=∠D，所以∠F=∠D，所以CF=CD，所以AB=CD.

方法10 构造全等及等腰三角形

辅助线：如图11，延长DM至点F，使MF=DM，联结BF，易得三角形BFM全等于三角形DMC，

可得CD=BF，∠F=∠D，

因为∠BAM=∠D，所以∠F=∠BAM，

所以AB=BF，所以AB=CD.

方法11 构造等腰三角形

辅助线：如图12，在边DM上取点F，使CF=CM，则CF=BM，∠MFC=∠FMC，所以∠DFC=∠FMB，因为∠D=∠MAB，

所以三角形DFC与三角形ABM全等（AAS），

所以AB=CD.

方法12 利用中点构造全等三角形

辅助线：如图13，作CE垂直DM于点E，BF垂直DM于F，垂足分别是E，F，易得△FMB与△MCE全等，所以BF=CE，

因为∠F=∠DEC=90°，∠D=∠BAM，

所以△ABF与△DCE全等，

所以AB=CD.

方法13 利用正弦定理证明两线段相等

设∠BAM=∠D=α，

在△ABM中，ABsin∠AMB=BMsinα，

在△CDM中，CDsin∠DMC=CMsinα.

因为∠AMB+∠DMC=180°，

所以sin∠AMB=sin∠DMC，又因为BM=CM，所以AB=CD.

四、总结

教师可以在平时的教学中注意积累，打造一题多解的教学资源库.在教学实践中，不断地应用一题多解问题，将一个题目的内在价值充分地发挥出来，而不是让学生一味地重复练习.将平面几何内容的趣味性、学科价值等充分地发挥起来，为促进学生的数学素养发展作贡献.

参考文献：

[1]李志成.几何问题的一题多解问题研究[J]

.数学学习与研究（教研版），2017：149.

[2]白雪峰.发展灵动深刻与锐意创新的思维品质——谈一道平面几何问题探究的心路历程[J].数学教学通讯，2017（17）：71-73.

[3]王东明.例谈一题多解的有效性[J].新课程导学，2015（17）：77.

[责任编辑：李 璟]