数量关系的复位让难题不再难

陈扣红

[摘 要]不知什么时候，数量关系式已经悄悄淡出课本，学生解应用题已不再分析数量关系，而是凭借直观经验或者运算性质来解题，因为小学阶段的数量关系很简单，一旦凭借运算意义和性质不管用时，马上有万能的方程来接盘，因此，数量关系式的消亡似乎不可阻挡。正是数量关系的缺位，导致一些本来很简单的题目变成了难题，而数量关系的复位将让难题不再难。

[关键词]数量关系;复位;石油提炼石蜡

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）23-0034-02

笔者偶然读到一篇教研论文《从“石油提炼石蜡”说起》，文中详细地介绍了作者是怎么灵活运用“以退为进”的策略和计谋，借助“列表”的具体手段，来帮助学生厘清“石油提炼石蜡”问题的解题思路的。但区区一个“石油提炼石蜡”问题为何难如登天，破解这类难题的“王牌武器”是什么，似乎语焉不详，非常有必要做进一步的探讨。本文沿循作者的思路继续深入研究这个问题。

一、问题难解原因

“用4吨的石油可以提炼1.6吨石蜡。照这样计算，1吨的石油可以提炼多少吨石蜡？要提炼1吨石蜡需要多少吨石油？”（注：本题数据未经科学考证，石油提制石蜡的出产率约为16%，而题中的出产率高达40%，可能为了便于计算故意为之）这是作者原文中的例子，也是一个让学生抓狂的问题，有的学生直到小学毕业也没有真正掌握。在小学低年级学生的运算程序里，默认了整数，习惯接受整数的输入、输出和运算，而且受平均分除法意义的影响，觉得只有大的数才能作为被除数和被减数，小的数只能作为除数和减数，也就是只能将大的数不断分割出相等的小数（包含除），从大的数里拿出小的数。这种思维方式深植于学生的脑海中，其作为低年级学生直观形象思维产物的代表，有其合理性，因为毕竟生活经验中很多物品在分配分装时的确是每份数不能超过总数，在扣减物品时，也只能拿走比总数少的物品量，这种长期积累的生活经验会作用于直观操作，投射到形象思维中，难以磨灭。但是随着年级的升高，数域不断丰富和扩充，数字家族中不断增加新成员，除了原有的整数序列，又喜迎小数、分数的到来，到了中高年级的分数与除法之间的关系，已明确一个分数可以用来表示除法算式的商，被除数写作分子，除数写成分母，此时，由于真分数的分子小于分母的分数基本意义的推波助澜，小的数除以大的数就变得天经地义、合情合理了，这就突破甚至是颠覆了学生狭隘的生活经验。一下子失去生活经验的对照，学生解决问题时难免就会“瞎蒙”。

二、教材编排疏漏

对于刚刚进入数学殿堂的小学生来说，从整数到小数再到分数，每一次数域的扩充和丰富不单单是一次数域的“充血”，更是眼界的开阔和认知方式的更新升级，是对原有生活经验的一次次解体和重构。

一般来说，教材在例题安排上更偏向于对新数意义的诠释，而忽视对学生已有经验的顺承和改造升级。如“石油提炼石蜡”问题充其量就是一个习题，许多教师不会多加关注，也不会详解，而学生的相关经验仍停留于“整数运算”阶段，没有得到及时解构和重建，这使得“瞎蒙”的现象得不到改变。这种不良现象，在近10年大幅度弱化数量关系提法的背景下，愈演愈烈。与“石油提炼石蜡”问题相似的，还有这样的“行程问题：刘翔[16]小时走了[34]千米。照此算法，他1小时可以走多少千米？他走1千米需要几小时？

三、解决之道

因为是“难题”，又有些刁钻，没有现成的章法可依，亦没有成熟的公式可以套用，所以教学中教师自由发挥的余地很大，纷纷放出“大招”。比如原文中提到的两种解题方法是“妙招”，能速成，但缺点也很明显：对于没有数量关系来辅助理解的学生而言，短时记住不成问题，但时间一久就极易遗忘，或者是在句型语法有变时，同样会张冠李戴。于是，原文作者对这类问题的教学进行改进：将“石油提炼石蜡”问题与苏教版教材的“列表策略”（如表1）有机结合起来。

根据第一行的对应关系，求1吨石油能提炼多少吨石蜡，则将1.6吨石蜡缩小4倍;求提炼1吨石蜡需要多少吨石油，则将4吨石油缩小1.6倍，即用同时缩小的方法分别求得结果。如果将此法嫁接到“行程问题”中，则列表如下：

显然，再用同时缩小的方法求解已经丧失合理性。可见，列表策略有很大的局限性。其实，无论是原文中呈献的两个“妙招”，还是“列表策略”，都是撇开数量关系后另起炉灶，基本模式是按照比例性质将两个量转化成比例，通过同步扩大或缩小比例前后项来达到将其中某一项“归一”的目的。而解决这类问题最能标本兼治、一劳永逸的做法恰恰是分析基本的数量关系。具体到“石油提炼石蜡”问题，可以借助平均数的思想来理解：求1吨石油能提炼多少吨石蜡，就是求“平均每吨石油含有多少石蜡……用总数（石蜡质量）除以石油质量（份数）;求提炼1吨石蜡需要多少吨石油，就是求“每吨石蜡“含有”多少吨石油……，用石油的质量（总数）除以石蜡的质量（份数）。因为之前学生对平均数的算术原理了如指掌，因此可以在已有经验和新经验之间平稳过渡。

这个方法对于时间和路程都是分数的“行程问题”也同样管用。求1小时可以走多少千米，就是求“每小时平均分配到多长的路程”，用路程总数除以小时数;求走1千米需要几个小时，就是求“每千米的路程平均分配到所少时间”，用总时间数除以千米数。涉及小数、分数的提炼石蜡问题和行程问题，与小学生的直接生活经验差距甚大，小学生仅凭有限的、粗浅的生活经验的确难以窥其奥妙。但教师可以另辟蹊径，借助学生已有的求平均数的算术经验，来分析问题，揭示一条定律：无论问题的数据如何设计，小数也好，分数也罢，数量关系是永恒的。正所谓“万变不离其宗”，数学教育就是要抓住恒久不变的支配规律，以不变应万变。

四、教学启示

一是要丰富学生学习经验。学生的经验包括生活经验和数学经验，前者源自他们对生活事件的感受和对事物的观察，后者源自长期训练形成的数学思维能力。小学低年级的许多实际问题的解决主要凭靠直观操作和直接经验，但随着年级的升高，生活经验的效能慢慢消减，而数学经验的效能则慢慢凸显。尤其是每逢数域扩充时，学生认识了新数，不代表其生活经验和数学经验也及时配套跟进。而相对于“石油提炼石蜡”，教师还可以联系“面粉炸油条”“玉米制作淀粉”等，以丰富学生的学习经验。

二是重视分析数量关系。数量关系是解题的行动纲领，各种解题窍门和技法都是遵照这一纲领制订的“作战计划”。只有重视数量关系的分析，学生才能完全掌握解题的诀窍和命门，才能真正做到游刃有余。同时，这也是提升生活经验，使生活经验转型升华为數学经验的必经之路。只有这样，“石油提炼石蜡”的顽疾才会得到根除。

（责编 黄春香）