函数图像表示法在多元函数学习中的应用

唐雪梅

【摘要】函数图像表示法比公式表示法具有更直观的表达函数性质的优点.本文从二元函数、带两个参数的三元曲面函数、微分方程（组）三种情形举例说明了当用图像表示时，函数的性质一目了然.二元函数的图像表达了函数的单调性、连续性、光滑性等性质.含两个参数的三元函数的图像表达了曲面的正则性、奇点、脐点、法向量的变化情况.微分方程（组）的图像表达了当方程（组）取不同的初值时，随着时间的演变其解收敛或发散的情况.

【关键词】图像表示法;二元函数;曲面函数;微分方程（组）

一、引言

变量与变量的关系可用函数表达.函数的表示方法有公式法、列表法和图像法.当函数只有一个自变量时，我们很容易分析其性质，一般用公式法表示，少数情况下如多重复合函数时才考虑借助图形.当函数具有多个自变量时，函数的性质变得复杂，单从函数公式很难理解其特性;函数转化为图形，可以使得分析更直观更容易.本文以二元函数、含有两个参数的三元函数、微分方程（组）为例来说明图形表示在函数特性分析中的作用.

二、在分析二元函数性质时的应用

给定某多元函数，我们要分析其单调性、連续性、光滑性和在某些点的极限.下面给出了几种二元函数的图像.

三、在分析含有两个参数的三元曲面函数性质时的应用

含有两个参数的三元函数在空间中表现为曲面，分析曲面的性质时，我们从其光滑性、某点的切平面、某法截面的曲率、可展性、正则性等方面进行.我们分析某些特性时，如果由数学表达式推导结果，往往比较难懂.如对于正则性的分析，曲面函数是可微的，为同胚映射，微分映射是一对一的;如果从图形上看，那么正则表现为没有尖点，没有边，也不自身相交，图形上每一点的切平面都是有意义的.下面列出了螺旋面、悬链面、Enneper曲面、Mbius曲面四种曲面的图形.

四、在求解微分方程（组）中的应用

在求解线性微分方程（组）时，我们可以根据方程（组）系数矩阵的特性来判定解的性质.当系数矩阵的特征值为正数时，给定初值，一般解呈发散的状态;当系数矩阵的特征值为负数时，给定初值，解呈收敛的状态;当系数矩阵的特征值为复数时，实部的正负决定解的发散与收敛，虚部决定解呈螺旋状或环状.在求解非线性微分方程（组）时，一般无法求出解析解，只能求出数值解.对于高阶常微分方程，可以经过变换将其变为一阶微分方程组.

下面给出了四个微分方程（组）的解的图形，从图可看出对于（1）和（2），从不同的初值出发，解收敛于环形轨道或似环形轨道;（3）的解对于不同的初值，其收敛于不同的点;（4）对于不同的初值，其解最终将在两个似环形轨道上振荡.

五、小结与展望

函数图像可以使函数性质更加直观地体现出来.本文从二元函数、含两个参数的三元函数和微分方程（组）三个方面说明图像在分析函数性质中的作用.对于二元函数，从图像可看出其在某点是否间断，是否有唯一值，是否有突变，是否在多个值之间来回振荡，即可以分析其连续性、光滑性及某点的极限.对于含两个参数的三元函数，通过其曲面图像可看出其是否自相交，是否可展开，是否有突然转折线，是否有尖点，即可分析其正则性、光滑性、曲面的法向量、可展性等特性.对于微分方程（组），可借助图像分析取不同的初值时，其解的收敛、发散等情况.

受空间维数的限制，图像表示法仅限于一维、二维和三维的函数.对于高于三元的函数，一般情况下，我们通过想象来分析函数特性.今后，随着科学技术的进步，我们可能会有更好的手段学习多元函数的特性.

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