血液流速的微分方程模型

刁菊芬

摘 要： 本文通过对血管内血液流速分布情况的分析，认真研究了血液流速与血管半径的关系，然后根据生理学原理建立了微分方程模型，并对该模型进行了求解。

关键词： 微分方程 模型 血液流速

1.问题分析及基本假设

根据生理学可知，人体不同部位的血管粗细是不一样的，所以不同部位的血液流速也是不相等的。并且同一段血管内，管壁处的血液流速与血管管轴处的流速是不相同的。图1是血管和及流动血液的纵剖面，当血液从管壁移向管轴时，流动速度逐渐增加。那么，人体内血液的流动速度与血管粗细之间具体关系可以怎么表示呢？为了便于研究，需要做如下假设：

（1）设血液在血管中的流动是稳定流动的（即流动速度与时间无关，只与位置有关）；

（2）设血管的半径R，长度为L（R比L小得多）；

（3）血液流动的速度为V；

（4）血液的黏滞度为常数η；

（5）单位长度的血管，左端血压力为P，右端血压力为P（P>P）。

2.模型建立

由于各层流体运动速度不同，之间产生摩擦力，则上层液体促使下层液体运动，同时下层液体延缓上层液体的运动。可以设想血液中平放着一块面积为A的平板，根据黏滞流体动力学知识，作用于面积A上的力F等于ηA。

利用微元法，现对血液中的部分血液（看成空心圆柱体状，长度为一个单位）的流动速度进行讨论，此空心圆柱的内半径为r，圆柱的厚度为dr，设它的轴与血管的轴相重合（如图2）。圆柱的内表面面积为2πr，上面受到的力为F=η·2πr。

该力方向与血液运动方向相同，圆柱的外表面上受到相反的力的作用，

F=η·2πr-d（η·2πr）

因而两力之和（摩擦力）为：

F+F=-d（η·2πr）=-2πη（+r）dr

因为血液是稳定流动的，所以摩擦力的大小应该和促使空心圆柱沿着轴流动的力相等。这个促使空心圆柱沿着轴流动的力决定于压力降，就等于：

F′=（P-P）2πrdr

由此有：

-2πη（+r）dr=（P-P）2πrdr

整理得：

+·=-（1）

由此得到微分方程模型。

3.模型求解

令=u，则=，方程（1）可化为

+u=-（2）

利用一阶线性微分方程的通解公式，可得方程（2）的通解为u=-r，即：

=-r（3）

方程（3）为可分离变量的微分方程，通过分离变量、两边积分可得方程（1）的通解为：

V=Clnr-r+C

因为r→0时，lnr→∞，但运动速度是一个有限数，所以C=0；当r=R时，运动速度V=0，所以C=R。综上所得，血液的流动速度与血管半径之间的关系为：

V=（R-r）

4.模型总结

根据模型的求解结果可知，血液流速与其黏滞系数成反比，与血管两端压力降成正比，血管的半径越大则流速越大。血管内血液流速的分布符合医学生理学知识。

参考文献：

[1]周义仓，勒祯，秦军林.常微分方程及其应用[M].北京：科技出版社，2003.

[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学建模[M].高等教育出版社，2005.

[3]吴茵杰，黄敏.医学生理学[M].科学出版社，2004.