常微分方程教学的一些思考

摘 要：常微分方程是数学相关专业的一门重要的专业课程，是现代数学的一个重要分支。如何把教学方法和教学内容同动力系统发展方向相结合，培养学生能够运用动力系统理论知识解决实际问题，这是当今“常微分方程” 教学面临的新课题。

关键词：微分方程 教学内容 教学方法 动力系统

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2017）03-0008-01

1 引言

一个世纪以来，常微分方程理论（动力系统）得到了迅猛发展，极大地促进了力学、物理、生物、化学、自动控制、机械工程、电子科学及航空航天技术的发展。教育部在《教育部关于中央部门所属高校深化教育教学改革的指导意见》中指出“对传统学科专业进行更新升级，用新理论、新知识、新技术更新教学内容，调整专业培养目标和建设重点，优化人才培养方案，推进专业综合改革，提高高校优势特色专业集中度”。李克强总理于2016年4月15日在北京大学数学科学学院考察时说：数学是自然科学的皇冠，是其他科学研究的主要工具；基础数学研究在我国是薄弱环节，对许多领域形成瓶颈制约，需要一批人静下心来把“冷板凳”坐热；一定要把基础数学研究摆在更加重要的位置。李克强总理又于2016年5月31日在全国科技创新大会上再次说到：“世界上科技创新走在前列的国家，很大程度上得益于数学领域的长期领先；要现实科技跨越发展，必须大力加强数学研究和应用，培养更多拔尖人才，加快建设数学强国”。因此在新形式下我们需要培养一批掌握动力系统理论、能够运用动力系统的新理论、新方法解决实际问题，服务于科技的专业人才。这对动力系统及非线性科学的基础核心课程“常微分方程”提出了新的要求。如何运用新的教学思想去改进教学方法，如何将新知识、新方法注入新的教学内容中，这是当今 “常微分方程”课程教学面临的新课题。结合作者这些年的学习和教学经历，本文将从教学方法和教学内容这两个方面出发，探讨新时期“常微分方程”课程的教学。

2 选择适当的教学方法

常微分方程既是数学分析的延续，又是代数学、泛函分析、偏微分方程、微分几何、拓扑学等专业课程的基础，现已经发展成为数学学科的一个重要分支——动力系统。引入先进的教学理念和现代化的教学手段，有利于提升教学效果，培养学生运用数学理论知识解决实际问题的能力。新的教学方法主要有：讲授、讨论、演示、任务驱动、自主学习等。根据常微分方程课本，一般第一章都是常微分方程模型、发展历史、基本问题的介绍，详情请看文献[1-5]。我们以文献[4、5]为例探讨教学方法的选取。依据“讲历史、讲思想、讲方法”的教学理念，第一章宜采用自主学习和课堂讨论的方式进行教学，让学生了解常微分方程的发展历史、研究问题及如何运用所学知识对微分方程模型进行研究。对于第二部分内容——初等积分法、线性方程及常系数线性方程等，宜采用混合教学法：以任务驱动和自主学习为主，结合PPT演示等教学方法进行相关内容的教学，即首先向学生介绍相关内容的重点与难点，要特别关注首次积分的构造、解的结构等，让学生明白自己当前的学习任务，以任务为动力来加强自主学习。最后一部分内容主要介绍常微分方程的定理理论，其内容主要包括微分方程解的存在性、唯一性、解的延拓、解对初值和参数的依赖性、Lyapunov稳定性理论、动力系统的基本概念等。这部分内容是常微分方程的重点、难点内容，也是学生后续学习过程中常用的理论基础。数学的灵魂是思想，只有形成了思想才具备理论上的创新能力。因此这部分内容主要应以教师讲授为主，重点介绍相关理论的数学思想、重要定理的证明思想以及如何运用相关理论对微分方程模型进行数学分析，培养学生运用所学数学理论知识解决实际问题的能力。总之，任何教学方法都将以“突出重点、加强基础、重视能力、强调应用”为教学目的，努力提高教学水平。

3 新形势下教学内容的选取

随着当前教育的改革与发展，选修课程所占比重增加，必修课学时减少，不少学校常微分方程课程的教学学时才48。当前科学发展日新月异，常微分方程的理论和方法一直处于不断完善和发展中。在学时减少的情况下，如何选择合理的教学内容是当前常微分课程教学的新课题。传统的常微分方程课程教学过多偏重于精确求解，事实上很多方程我们无法求解，比如Riccati方程、三体運动方程等，因此精确求解已经不是常微分方程发展的方向。教学内容的选取需保证理论基础的完整性和学习的可持续性。常微分方程的教学内容应偏重于常微分方程定理理论部分，其重点内容包括Picard存在唯一性定理、Peano存在性定理、解的延拓、解对初值和参数的依赖性、Lyapunov稳定性理论、动力系统基本概念等。这些教学内容涉及一些偏微分方程、泛函分析、拓扑学、近世代数等课程的基本思想。这些内容的学习使得学生在以后的专业课程学习中对新知识有初步的感觉，有利于提高他们对新课程学习的兴趣，甚至为研究生阶段打下良好的基础。在今后的常微分方程教学改革中，应该根据教学大纲和教学计划的安排，把重心放在教学内容的选择上，重点加强学生数学思维与数学素养的培养与训练，培养学生运用所学数学理论知识解决问题的能力。

总之， 随着科技的发展，社会的进步，教学必须发生改变。只有这样， 才能提高学生学习的积极性和主动性，提高学生运用所学数学理论知识解决问题的能力，为社会培养高素质的人才。

参考文献：

[1] V.I. Arnold.Ordinary Differential Equations[M]. MIT Press，Princeton，1973.

[2] 张芷芬，丁同仁等，微分方程定性理论[M].科学出版社，1985.

[3] 丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].高等教育出版社，2004. [4] 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].高等教育出版社，2007.

[5] 张伟年，杜正东，徐冰.常微分方程[M].高等教育出版社，2014.

作者简介：吴奎霖，男，博士，贵州大学副教授，研究方向：微分方程与动力系统。