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明晰几何关系简化代数运算

2021-09-22徐勇

中国数学教育(高中版) 2021年6期
关键词:数形结合思维导图

徐勇

摘  要:数形结合是处理直线与圆问题的核心思想. 求解过程中代数方法烦琐或遇阻时转而从形的角度思考,在几何图形中深究几何性质,明晰几何关系后指挥代数运算,常能优化运算路径、简化运算过程.

关键词:直线与圆;数形结合;数学探究;思维导图

几何的优点是直观形象易懂,缺点是灵活多变不易把握;代数的优点是有很多现成的方法可以让学生按部就班地解决问题,缺点是烦琐,遇到不熟悉的问题时可能一筹莫展. 解析几何的本质是用代数方法解决几何问题,高中生在处理解析几何问题时往往重视代数法,而忽视了平面几何基础知识,进而陷入烦琐的运算困境,甚至半途而废.

一、典例剖析

1. 解析几何与向量

例1  在平面直角坐标系[xOy]中,[AB]是圆[O:x2+][y2=1]的直径,且点[A]在第一象限,圆[O1: x-a2+y2=r2][a>0]与圆[O]外离,线段[AO1]与圆[O1]交于点[M],线段[BM]与圆[O]交于点[N],且[OM+O1N=0],则[a]的取值范圍为      .

笔者选用此题作为每日一题让学生求解,批改后发现问题严重,不仅结果不对,而且学生的作图与思考方式也值得商榷. 向量集代数与几何于一身,既有几何属性,又有代数属性. 解题时并非一定要用坐标化的方法,而应善于运用向量数形兼备的特点,必要时思其形,运用几何性质简化代数运算.

(1)图形失真,遮蔽有效信息.

学生画出的草图失真,如图1,不能对条件“[OM+][O1N=0]”进行有效诠释,不能直观看出[OM]与[O1N]平行. 画图太随意,没有连接[ON,] 没能发现四边形[OMO1N]是平行四边形,没有发现定值,即[O1M=1]. 平行四边形看似简单,但很多学生没有想到. 没有得到圆[O1:] [x-a2+y2=r2 a>0]的半径[r=1],思维便被阻断.

二、教学反思

直线与圆的试题中蕴含着丰富的几何性质,解题时要重视数形结合思想. 代数与几何各有千秋,解题时要各司其职. 需要算,把几何变成代数来算;需要懂,把代数变成几何来帮助理解. 明晰几何图形关系,利用几何性质可以优化运算路径、简化运算过程.

1. 画图与识图

南京师范大学单墫教授指出,解析几何题往往需要画图,图形可以帮助学生了解题意,启发思维. 为了节省时间,我们常常徒手画一个或几个草图. 这些草图虽不太准确,却也反映了图形的特征. 如果不能反映特征,再重画一个. 这种能够“神似”而未必“形似”的绘图能力其实也很重要. 在解题中,有些学生画的草图失真,不能反映题目的特征与本意. 有些学生懒得多画几个图,只在一个图上重复画,容易形成干扰而遮蔽有效信息. 必要时可以聚焦局部图形,回归基本图形,选择“经典”图形(如直角三角形、三角形中位线等),重新作一个简图,这样更容易获得解题思路.

2. 数与形贵在结合

代数条件可以翻译为几何图形,几何图形中又蕴含着隐含代数信息. “形”看“数”算,集中图中有关的点、线,使之产生联系,充分发挥作用. 解题之难,常在于抓不住要害. 因为抓不住关键,势必误入歧途,不是行不通,就是在次要的地方徘徊,故难以有所进展. 学生面对代数法与几何法,常不知所措,贸然选之,倘若欠当,不是寸步难行,就是愈走愈偏. 数形结合贵在结合,运用几何关系指挥代数运算,在熟练驾驭的过程中深刻领悟思路的实质和解题的奥妙,从而达到触类旁通、灵活运用的境界.

3. 思维导图让思维可视化

思维导图是一个可以激发、统筹并整理思维,将思维线路图形化、可视化的有效工具. 在审题阶段,要下足功夫,借助思维导图,采用逆向设计,从目标出发,寻求条件中的有效信息放开思维触角进行探究,展开头脑风暴,让分散的条件集中化,让碎片信息有效聚集,这样常能打开思维通道,发现解题路径往往不止一条,于是就有了选择余地,也就为优化思维过程创造了条件. 能熟练使用思维导图,对思维的发散与灵活大有裨益. 思维导图有助于教师的教,便于结构化、层次性分析,学生容易吸收接受. 学生尝试运用思维导图这根自主学习的“拐杖”,可以对问题深入探究,有利于深度学习.

参考文献:

[1]葛军. 高考数学几个基本问题的再认识[J]. 江苏教育(中学教学),2017(5):20-21,25.

[2]单墫. 平面几何的知识与问题[M]. 合肥:中国科学技术大学出版社,2019.

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