明晰几何关系简化代数运算

徐勇

摘  要：数形结合是处理直线与圆问题的核心思想. 求解过程中代数方法烦琐或遇阻时转而从形的角度思考，在几何图形中深究几何性质，明晰几何关系后指挥代数运算，常能优化运算路径、简化运算过程.

关键词：直线与圆;数形结合;数学探究;思维导图

几何的优点是直观形象易懂，缺点是灵活多变不易把握;代数的优点是有很多现成的方法可以让学生按部就班地解决问题，缺点是烦琐，遇到不熟悉的问题时可能一筹莫展. 解析几何的本质是用代数方法解决几何问题，高中生在处理解析几何问题时往往重视代数法，而忽视了平面几何基础知识，进而陷入烦琐的运算困境，甚至半途而废.

一、典例剖析

1. 解析几何与向量

例1  在平面直角坐标系[xOy]中，[AB]是圆[O：x2+][y2=1]的直径，且点[A]在第一象限，圆[O1： x-a2+y2=r2][a>0]与圆[O]外离，线段[AO1]与圆[O1]交于点[M]，线段[BM]与圆[O]交于点[N]，且[OM+O1N=0]，则[a]的取值范圍为      .

笔者选用此题作为每日一题让学生求解，批改后发现问题严重，不仅结果不对，而且学生的作图与思考方式也值得商榷. 向量集代数与几何于一身，既有几何属性，又有代数属性. 解题时并非一定要用坐标化的方法，而应善于运用向量数形兼备的特点，必要时思其形，运用几何性质简化代数运算.

（1）图形失真，遮蔽有效信息.

学生画出的草图失真，如图1，不能对条件“[OM+][O1N=0]”进行有效诠释，不能直观看出[OM]与[O1N]平行. 画图太随意，没有连接[ON，] 没能发现四边形[OMO1N]是平行四边形，没有发现定值，即[O1M=1]. 平行四边形看似简单，但很多学生没有想到. 没有得到圆[O1：] [x-a2+y2=r2 a>0]的半径[r=1]，思维便被阻断.

二、教学反思

直线与圆的试题中蕴含着丰富的几何性质，解题时要重视数形结合思想. 代数与几何各有千秋，解题时要各司其职. 需要算，把几何变成代数来算;需要懂，把代数变成几何来帮助理解. 明晰几何图形关系，利用几何性质可以优化运算路径、简化运算过程.

1. 画图与识图

南京师范大学单墫教授指出，解析几何题往往需要画图，图形可以帮助学生了解题意，启发思维. 为了节省时间，我们常常徒手画一个或几个草图. 这些草图虽不太准确，却也反映了图形的特征. 如果不能反映特征，再重画一个. 这种能够“神似”而未必“形似”的绘图能力其实也很重要. 在解题中，有些学生画的草图失真，不能反映题目的特征与本意. 有些学生懒得多画几个图，只在一个图上重复画，容易形成干扰而遮蔽有效信息. 必要时可以聚焦局部图形，回归基本图形，选择“经典”图形（如直角三角形、三角形中位线等），重新作一个简图，这样更容易获得解题思路.

2. 数与形贵在结合

代数条件可以翻译为几何图形，几何图形中又蕴含着隐含代数信息. “形”看“数”算，集中图中有关的点、线，使之产生联系，充分发挥作用. 解题之难，常在于抓不住要害. 因为抓不住关键，势必误入歧途，不是行不通，就是在次要的地方徘徊，故难以有所进展. 学生面对代数法与几何法，常不知所措，贸然选之，倘若欠当，不是寸步难行，就是愈走愈偏. 数形结合贵在结合，运用几何关系指挥代数运算，在熟练驾驭的过程中深刻领悟思路的实质和解题的奥妙，从而达到触类旁通、灵活运用的境界.

3. 思维导图让思维可视化

思维导图是一个可以激发、统筹并整理思维，将思维线路图形化、可视化的有效工具. 在审题阶段，要下足功夫，借助思维导图，采用逆向设计，从目标出发，寻求条件中的有效信息放开思维触角进行探究，展开头脑风暴，让分散的条件集中化，让碎片信息有效聚集，这样常能打开思维通道，发现解题路径往往不止一条，于是就有了选择余地，也就为优化思维过程创造了条件. 能熟练使用思维导图，对思维的发散与灵活大有裨益. 思维导图有助于教师的教，便于结构化、层次性分析，学生容易吸收接受. 学生尝试运用思维导图这根自主学习的“拐杖”，可以对问题深入探究，有利于深度学习.

参考文献：

[1]葛军. 高考数学几个基本问题的再认识[J]. 江苏教育（中学教学），2017（5）：20-21，25.

[2]单墫. 平面几何的知识与问题[M]. 合肥：中国科学技术大学出版社，2019.