学具开发，助推学生的数学深度学习

张冠兰

[摘  要] 在小学数学教学中，教师要引导学生学会使用学具、开发学具。从“无”到“有”、从“残”到“整”、从“仿”到“创”的学具开发，必将引发一场数学学习的深度变革。学具开发，能有效地提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。学具开发，能有效地助推学生的数学深度学习。

[关键词] 学具开发;助推学习;小学数学

“学具”是学生数学学习的重要辅助工具，是学生数学思考、探究的重要媒介和载体。在小学数学教学中，教师不仅要引导学生学会使用学具，更要引导学生学会开发学具。传统的数学教学，教师往往运用现成的学具，这就遮蔽了学具本身的诞生过程。学生对学具的认知仅仅停留在操作层面上，而没有上升到理解层面。换言之，很多数学学具，如直尺、量角器、圆规等，学生“知其然”，而“不知其所以然”。学具开发，不仅能助推学生理解数学知识，而且能助推学生的数学思维发展，提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

一、从“无”到“有”：开发数学学具

每一个数学学具，都是人类生命实践活动的智慧结晶。作为教师，应当对每一个数学学具的特点、结构、构造原理等有深度把握。只有这样，才能有效引导学生开发学具。学具有高阶和低阶之分，低阶学具如小棒、小圆片、小方块、钉子板、几何模型等，低阶学具往往具有一种“齐性”。高阶学具如钟面、量角器、计数器等，高阶学具往往具有一种“创意性”。从“无”到“有”，引导学生开发、创造学具，能激发学生的数学思维，催生学生的数学想象。

比如教学《长方体和正方体的认识》，笔者没有按照惯常的方式，直接出示长方体、正方体，引导学生认识面、棱、顶点，而是给学生提供了结构性的素材（长度相等的几组小棒），让学生以小组为单位，做一个学具——“长方体”。在个体思考、群体研讨的基础上，学生选择三组小棒，分别借助三通，将三组小棒共十二根联结起来，建构成一个长方体的学具模型。通过这个模型，学生自然地认识到了长方体的棱、顶点的数量及特征等。在此基础上，学生根据长方体中相交于同一个顶点的三条棱的长度，用剪刀剪出了三组相对的面，然后粘贴在长方体框架上，从而自主建构、创造出一个长方体模型。借助这个模型，学生认识了面的数量、特征等。相较于现实世界中的长方体，学生动手制作的长方体特征更为鲜明，更为典型，有助于学生认识长方体面、棱、顶点的名称，探究长方体面、棱和顶点的特征。这样一个从“无”到“有”的学具创造过程，能激发学生的数学学习兴趣，助推学生进行数学学习小组的合作，从而让学生形成对长方体本质特征、属性的深刻认知。

从“无”到“有”开发学具，既能辅助学生的数学探究，引导学生自主建构知识，又能促进学生感受、体验数学的意义。相较于现成的学具，创造的学具更具鲜活的生命力。比起现成的学具呈现，学生更需要亲历学具的制作过程。在制作学具的过程中，学生自然要研究学具的特征、结构原理等，从而深度理解、把握学具所蕴含的数学知识。作为教师，要引导学生大胆猜测、动手实践，让“学玩创一体”“做思学共生”。

二、从“残”到“整”：修复数学学具

数学学具在使用的过程中，会不可避免地出现各种磨损、损坏的情况。作为教师，要引导学生对磨损、损坏的学具进行主动修复，力求恢复学具本来的模样。在这个过程中，学生会主动地研究学具，深度地探究学具、思考学具。修复学具，可以因需改材，可以因序造材，可以因需创材。在数学教学中，有时教师要善于捕捉学生学具损坏的契机，引导学生积极思考、探究、建构和创造，从而助推学生的数学深度学习。

比如教学《认识厘米》这部分内容，在引导学生经历了“厘米尺”的创造过程之后，笔者引导学生用自制的直尺测量物体、图形的长度。在测量过程中，有学生的“雏形直尺”被弄断了。由此，学生测量操作被迫停了下来。笔者捕捉到这一教学契机，向学生提出了这样的一个问题：能否用残缺的尺子测量长度？有学生认为，如果残缺尺子的长度比测量对象的长度长，就可以测量，否则就不可以测量。有学生立刻表示反对，认为即使残缺尺子的长度比测量对象的长度短，也可以一段一段地测量，然后将测量结果相加。这样的教学打破了学生的固化操作、思维模式，打开学生的数学思维通道，让学生的数学学习更加智慧和灵动。为此，笔者又向学生提出了这样的一个问题：在一个直尺上至少要有几个刻度，才能直接测量并计算20厘米以内的所有物体的长度？这样的问题，激发了学生的创造性思维，学生对直尺模型进行刻度简化，创造出了一种简约化的直尺雏形。通过这样的工具优化、创新，学生掌握到问题思考、探究的方法，更加深刻地掌握了相关的数学知识。对残缺学具的加工、优化，能开发学生的数学思维，启迪学生的数学创新。

从“残”到“整”修复数学学具，不是简单地将学具修复好，而是要引导学生对学具进行再加工、再创造。建构主义告诉我们，学生数学知识的建构过程，是无法由他人代替的，而必须经由学生亲身经历、感受与体验。学具是引导学生经历数学知识建构、创造的重要载体，它是辅助学生自主探究的工具，是促进学生思维提升的阶梯。

三、从“仿”到“创”：优化数学学具

传统的数学学具开发，往往就是教师引导学生经历“原始学具”的制造过程。在这样的过程中，学生往往只是重走人类工具制造的简单历程。高质量、高创造性的数学学具开发，不仅是工具的简单模仿，更是工具的优化、创新。从“仿”到“创”，优化数学学具，能激发学生的创意，引领学生创新，让学生真正成为一个“创客”。创造教育、创新教育、创客教育由此开始。

学具是架设“动手操作”与“动脑思考”的桥梁，在小学数学教学中，教师要引导学生在学具开发中学、玩、做、创、悟。比如教学《角的度量》这一部分知识内容时，很多教师都是引导学生主动地创造“量角器雏形”。在测量的过程中，有学生提出了这样的疑问：每一次用量角器测量角的大小，将量角器的中心对准角的顶点，将量角器的零刻度线对准角的一条边尽管比较简单，但往往容易读错数据，将内外圈的刻度混淆，有没有更简单的、更保险的方法？对此，学生展开了深度交流、研讨。有学生认为，可以先判断这个角是钝角还是锐角，然后对读数进行审视、检查，如果发现错了，就读量角器上的另外一个刻度;有学生认为，可以对量角器进行改良、创新，将两圈刻度变为一圈刻度，这样尽管将量角器的零刻度线对准角的一条边可能会慢一些，但绝对不会发生刻度读错这样的事。学生纷纷认为，这样的方法可行。于是，有学生用修正液或修正带将量角器的外圈或者内圈封掉一圈、保留一圈，从而让量角器成为单向度的量角器，這样就保证了测量角时刻度读数的准确性。实践证明，这样的学具优化，有效地提升了学生数学学习的效能。这样对学具进行改良、加工的过程，就是一个创造的过程。

学具开发为学生的数学学习打开了一扇门，不但能让学生的数学学习具有挑战性，更让学生的数学学习具有现实性。学具的开发应当充分发挥学生的主体作用，让学生的天性充分地释放。开发学具，既要引导学生对学具进行改良，也要引导学生对学具进行创新。学具开发，必将引发一场学具创造、再创造的深度变革，从而推动学生的数学深度学习。在这个过程中，教师要将学生放置在主体地位，同时发挥好自身的主导作用，要让学具开发成为提升学生数学学习力，发展学生数学核心素养的重要载体和媒介。