直观想象：引领学生的深度学习

杲平

[摘  要] “直觀想象”是指导学生借助于头脑中的表象获得对数学知识的直观理解，从而有效地解决问题的一种手段。操作能催生学生的直观想象，图示能激活学生的直观想象，模型能引领学生的直观想象。通过直观想象，变学生的被动感知为主动探寻，进而让直观想象成为学生抽象、推理的先导，让抽象、推理成为学生直观想象的深化。直观想象能催生、引领、激活学生的深度学习。

[关键词] 小学数学;直观想象;深度学习

直观想象是数学核心素养之一。借助于直观想象，学生能根据事物的形态、变化等去积极、主动地解决实际问题。在小学数学教学中，学生的直观想象能力的培育常常会出现被忽视、被干扰、被替代等现象。作为教师，要主动催生学生的直观想象、激活学生的直观想象、引领学生的直观想象，让直观想象成为学生数学学习的常态。一般而言，学生的直观想象能力包括感性直观、理性直观和本质直观。直观想象具有整体性、经验性、个体性的特质。引导学生直观想象是教师在数学教学中的应然之举。

一、操作——催生学生的直观想象

所谓“直观想象”，是指导学生借助于头脑中的表象获得对数学知识的直观理解，从而有效地解决问题的一种手段。直观想象，常常依托于学生数学学习中的操作、画图等。对于直观想象，我们不能简单地理解为“直观”与“想象”的简单结合，而更应该理解为借助直观手段去描述问题、分析问题和解决问题。引导学生操作是催生学生直观想象的重要手段。正如美国教育心理学家布鲁纳所说，学生对数学知识的理解有三种模式：其一是直观动作模式，其二是具体形象模式，其三是抽象逻辑模式。引导学生操作，就是要在学生的头脑中建立直观的操作性、映像性的数学表征。

对于学生尤其是低年级学生的数学学习，教师应当引导学生操作，激活学生的动作思维，让学生在头脑中建立直观动作表象，从而催生学生的直观想象。正如瑞士教育心理学家皮亚杰所说，“儿童的智慧在指尖跳跃”。通过操作，学生能自主建构数学知识，自主关联数学知识。比如教学《100以内的加法和减法（二）》（苏教版一年级下册）这部分内容时，笔者在把握学生已有知识经验的基础上，引导学生借助小棒进行操作。不同的学生，其操作的方法、策略是不同的。比如对于“24+6”这样的算式，有学生采用的是“累积法”，即逐步地增加小棒根数;有学生采用的是“拆分法”，即将24拆分成整十数和4，然后将4和6合并;等等。通过学生的自主计算，引导学生建构“满十进一”的计算模型，这样的模型建构，为学生学习竖式计算奠定了坚实的基础。在后续的计算练习中，学生基本上都能将一个数拆分成整十数和个位数，然后将拆分后的数进行合并计算。在这个过程中，学生的操作性的直观想象发挥了重要的作用。借助于操作性的直观想象，学生能感悟、建构“从个位加起，满十进一”的计算法则。

荷兰著名数学教育家赫尔经过研究认为，学生的直观想象水平由低到高可以分为五个层次，即视觉水平、描述分析水平、抽象水平、推理水平以及公理化水平等。显然，积累学生表象是发展学生直观想象的基石。通过操作，能积累学生表象，增进学生直观的感性认识，助推学生的数学化思考、探究。作为教师，要对学生的操作活动进行设计，尽量避免学生数学操作随意性、虚假性，让学生借助直观想象在数学操作与数学理解之间穿行。

二、图示——激活学生的直观想象

操作、图形等是学生的直观想象的载体、媒介。在小学数学教学中，教师不仅要引导学生操作，更要引导学生画图。图示能激活学生的数学想象，能给予学生数学学习感受与体验。借助于图示，学生能将抽象的数学问题转化为形象的、具体的、感兴趣的问题。比如对于一些比较复杂的数量关系，当学生画出线段图表征之后，就能寻获解决问题的思路、策略。通过图示，逐步培育学生的空间观念。

在小学数学教学中，直观想象离不开图形的支撑。引导学生画图，让学生在画图的过程中获得真切的感受、体验，能为学生的直观想象助力。作为教师，要引导学生沟通数与形、式与形，让数形结合、数形互通、数形互译、数形互摄。作为教师，引导学生为抽象的数学知识建立图像、图形的模型，就能让学生的数学思考、探究有了有力的支撑，就能让学生形成数学思考、探究的新视角，从而能让学生有效地解决数学问题。

三、模型——引领学生的直观想象

德国思想家康德说，“思维无感性则空，直观无概念则盲”。直观想象是对直观的一种想象。模型能启发、引领学生的直观想象。美国著名教育心理学家卡罗尔·德韦克深刻地指出，“人与人之间的差距，就在于思维模式的不同”。思维模型不仅仅指向数学知识，更蕴含着数学的思想方法。因此，在数学教学中，教师应当引导学生创建思维模型，以充分展现学生的数学思维过程。

数学模型是丰富的。在小学数学中，一个数学公式、一个规律的概括等都是数学模型，甚至一个数学概念就是一个微型的数学模型。从某种意义上来说，学生数学学习的过程就是建模的过程。正是在这个意义上，东北师范大学史宁中教授认为，学生的数学核心素养就是“抽象”“推理”和“建模”。比如在复习《多边形的面积》（苏教版五年级上册）这部分内容时，笔者充分发挥学生直观想象的作用。引导学生比较“平行四边形的面积公式”“三角形的面积公式”和“梯形的面积公式”，然后根据这些多边形的面积公式直观想象多边形的面积公式的推理过程。在直观、动态的想象过程中，有学生首先提出梯形的面积公式和三角形的面积公式似乎存在着某种关联。有学生则直接提出，三角形的面积公式可以看成是梯形面积公式的特殊情形，也就是当梯形的上底为0时的特殊情形，梯形的面积公式就演变为三角形的面积公式。据此，有学生提出，用梯形的面积可以表示所有的多边形的面积公式，平行四边形和长方形都可以看成是上下底相等的梯形，而正方形则可以看成上下底与高都相等的梯形，等等。尽管这样的想象不一定科学，可能有牵强附会之嫌，但作为学生，能通过自己的直观想象，用梯形的面积公式来统驭所有的多边形的面积公式，不能不说是学生数学思考的一种创新。在这里，梯形的面积公式模型对于学生的直观想象发挥着重要的启发、引导作用。

直观想象是学生数学学习的一种方式。运用直观想象，能让学生的抽象思维获得发展。在引导学生直观想象的过程中，教师要把脉学生的经验，丰富学生的表象，让学生的直观想象有支撑;要精心架构学生直观、表象、推理等之间的关联，进而提升学生抽象化思维的能力;要给学生打造一个直观想象的平台，激发学生的直观想象潜质，让学生能积极、主动地进行直观想象。通过直观想象，提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。