利用“主线”破解立体几何中的垂直问题

摘 要：以高考数学立体几何垂直问题为例，从新的角度去看线线垂直、线面垂直以及面面垂直，抓住本质，采用“一主线，多垂直”的方法分析出证明垂直的关键所在，从而能够快速破解立体几何中的垂直问题.

关键词：立体几何;垂直;一主线;多垂直

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2021）07-0017-03

收稿日期：2020-12-05

作者简介：罗红（1986.9-），女，云南省元阳人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

立体几何在高考中是必考内容，垂直的证明与应用是考题中的热点，对于学生而言，都希望在高考中这道大题能得满分，但是有很大一部分学生不但不能得到满意的分数，还容易陷在此题中耗费过多时间，尤其是遇到证明线线垂直、线面垂直和面面垂直时，有的学生看似在证明，其实不得其法，思路混乱入不了门，完成不了证明.

在立体几何垂直的证明中，无论是线线垂直、线面垂直还是面面垂直，归根结底是要证明线面垂直，下面给大家介绍一种方法：“一主线，多垂直”.所谓“一主线”指的就是到底要用哪条线来证明它与另一个面垂直;“多垂直”指的是我们在图形中能找到的垂直，两者合二为一就能快速解決问题.

一、高中数学几何中常见的几种垂直

二、线面垂直

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.

例1 如图1，已知PA⊥BC，AB是⊙O的直径，C是⊙O上不同于A，B的任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.

求证：AE⊥平面PBC.

分析 要证AE⊥平面PBC，只需要证明AE垂直平面PBC中的两条相交直线即可，题目中已有一条AE⊥PC，另一条要去找垂直多的地方，观察图形，发现底面有一个直径所对的圆周角，左边还有题设给的垂直PA⊥BC没有用，整体“重心”在左方和下方，所以考虑应该找AE⊥BC.证明 因为AB是⊙O的直径，所以BC⊥AC.

因为PA⊥BC，PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC.因为AE平面PAC，所以BC⊥AE.

因为AE⊥PC且PC∩BC=C，所以AE⊥平面PBC.

例2 （2018年全国Ⅱ卷文数）如图2，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.

（1）证明：PO⊥ 平面ABC;

（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离.

分析 第（1）问的证明题目中没有给现成的垂直，但是给了很多的线段长度，这种类型的题要注意数据，看有没有等腰三角形三线合一，有没有满足勾股定理的逆定理，从而得出直角.通过观察，我们发现PA=PC，O为AC的中点，所以有PO⊥AC，要证明PO⊥平面ABC，还差一条线，从图上看底面ABC中还剩下AB，BC，PO与AB，PO与BC是异面直线，显然不是这两条，所以我们要重新找一条能够和PO构成一个平面，又能充分利用已知数据，自然联想连接OB，容易证得OP2+OB2=PB2，从而得出PO⊥AB.

解析 （1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23.

连接OB，

因为AB=BC=22AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=12AC=2.

由OP2+OB2=PB2，知OP⊥OB.

由OP⊥OB，OP⊥AC，知PO⊥平面ABC.

（2）点C到平面POM的距离为455.

三、线线垂直

如果一条直线垂直于一个平面， 那么这条直线与此平面内的任意一条直线都垂直.

例3 （2017年全国Ⅲ卷文数19题）如图4，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD.

证明：AC⊥BD.

分析 要证明线线垂直多用线面垂直，需要找出一条线和一个面，所以要区分到底哪条线是主线，哪条线要放在平面内，在做题之前可用不同颜色标明两条线.下面来看两条线谁的垂直会多一些，因为△ABC是正三角形，AD=CD，出现了等腰三角形和等边三角形，很自然地联想“三线合一”，所以取AC的中点O，连接DO，BO，这样就构成了一个平面，而且还有两个垂直，如图5，所以AC是主线，BD要放在平面内.

证明 取AC的中点O，连接DO，BO.

因为AD=CD，

所以DO⊥AC.

又由于△ABC是正三角形，所以BO⊥AC.

又DO∩BO=O，从而AC⊥平面BOD，故AC⊥BD.

例4 （2020年全国Ⅲ卷文数）如图6，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且2DE=ED1，BF=2FB1.

证明：当AB=BC时，EF⊥AC.

分析 AC是长方体上底面的一条对角线，因为AB=BC，所以上底面是正方形，两条对角线互相垂直，显然AC和EF比较，AC能找到的垂直更多，所以AC是主线，要把EF放在一个平面内，至此，主线与平面已区分开来，只需构造平面即可.

证明 如图7，连接BD，B1D1.因为AB=BC，所以四边形ABCD为正方形，故AC⊥BD.又因为BB1⊥平面ABCD，于是AC⊥BB1.所以AC⊥平面BB1D1D.

由于EF平面BB1D1D，所以EF⊥AC.

四、面面垂直

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

例5 （2018年全国Ⅲ卷文数）如图8，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点.

证明：平面AMD⊥平面BMC.

分析 证明面面垂直，先把两个面分别用不同颜色的笔勾勒出来，观察这六条线，总有一条垂直关联比较多，从题目来看，最明显的垂直就是直径所对的圆周角，另外，由矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直也可得出

垂直，两次重合的位置是DM和CM，所以DM和CM其中的一条均可作主线，以DM为例，现在集中精力去证DM与CM，BC垂直即可.

证明 由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.

因为BC⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.

因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.

又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC.

而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.

例6 （2020年全國Ⅱ卷文数）如图9，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点.过B1C1和P的平面交AB于点E，交AC于点F.

证明：AA1∥MN，且平面AA1MN⊥平面EB1C1F.

分析 先将需要证明垂直的两个平面用不同颜色勾勒出来，再去看题目中的条件，很快能够发现B1C1的垂直最多，所以B1C1是主线.

证明 因为M，N分别为BC，B1C1的中点，

所以MN∥CC1.

又由已知得AA1∥CC1，故AA1∥MN.

因为△A1B1C1是正三角形，所以B1C1⊥A1N.

又B1C1⊥MN，故B1C1⊥平面AA1MN.

又因为B1C1平面EB1C1F，

所以平面AA1MN⊥平面EB1C1F.

例7 （2017年全国Ⅰ卷文数）如图10，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

证明：平面PAB⊥平面PAD.

分析 先将需要证明垂直的两个平面用不同颜色勾勒出来，我们发现有一条线是公共的，那么这条线一定不会是主线，剩下4条线有明显垂直的就是AB，所以AB是主线.

证明 由已知∠BAP=∠CDP=90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.

由于AB∥CD，故AB⊥PD.

从而AB⊥平面PAD.

又AB平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

通过以上例题我们不难看出，立体几何中的垂直证明关键在于找到那条“主线”，而主线的寻找往往依赖于题目中的条件，主线一般会在垂直多的地方，大部分在底面、侧面里，很少是体的对角线（看上去是悬空的线），证明面面垂直时，两个面的公共线不会是主线，所以找出题目中的信息很关键，哪里有垂直，哪里的垂直多，整个题目的条件偏向于哪里，哪里就是这道题的“重心”，我们只需要依着这样的规律，就能够快速地破解这类题，做题时思路就会很清晰，也就能够起到事半功倍的效果！

参考文献：

[1]2017年-2020年高考数学全国卷.

[责任编辑：李 璟]