几何直观能力在格点试题中的表征

姜晓翔 倪金根

摘  要：教学中，越来越重视对学生几何直观能力的培养. 格点试题中渗透着对于几何直观能力的深度考查，通过对格点试题进行多角度分析，剖析几何直观能力在格点试题中的表征，即目标定位和价值导向，能带来更有价值的教学启示.

关键词：几何直观;格点试题;画图操作;图形变换;数形结合;分类意识

近年来，以“格点”为背景的试题以其考查范围广、知识覆盖面大、思维含量高、蕴涵多种数学思想，以及区分度明显等特征，越来越受到中考命题者的青睐. 自2006年以来，浙江省湖州市中考中出现了一大批思维含量较高的优质格点试题. 几何直观即依托、利用图形进行数学的思考和想象，在解决格点试题的过程中，几何直观能力起着至关重要的作用. 笔者以2006年以来浙江省湖州市中考试卷中出现过的格点试题为例，刍议这类试题在考查学生几何直观能力时的目标定位和价值导向.

一、格点试题的发展演变历程

1. 起步阶段的格点试题——方案最优化和最值问题相结合

随着新课程改革的推进，全国各地区的中考试题也在不断创新. 2006年中考浙江湖州卷填空题最后一道题是一道“青蛙跳”格点试题，由此正式拉开了浙江省湖州市中考格点试题发展历程的序幕.

例1 （2006年浙江·湖州卷）一青蛙在如图1所示的8 × 8的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点（小正方形的顶点）上跳跃，青蛙每次所跳的最远距离为[5，] 青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回到点A，则所构成的封闭图形的面积的最大值是     .

解析：如图2，青蛙从点A开始连续跳六次正好跳回到点A，它所跳过的线段组成的图形是六边形，且边长为[5，] 六边形的面积为12.

【评析】此题起点较低，几乎所有学生都能动手尝试，这是命题者的初级考查目标定位. 此题属于方案最优化类型，满足条件的封闭图形有多种可能，然而面积最大方案决定了答案的唯一性，考查了学生直观想象和动手操作实践的能力.

2. 探索阶段的格点试题——几何图形的分类讨论问题

“青蛙跳”格点试题的出现受到了广泛关注与好评，由此湖州市中考格点试题进入了进一步尝试与探索的阶段，开始融入初中阶段的核心几何图形，并尝试结合分类讨论来命制思维含量更高的试题.

例2 （2007年浙江·湖州卷）如图3，点A是5 × 5网格图形中的一个格点（小正方形的顶点），图中每个小正方形的边长为1，以A为其中的一个顶点，面积等于[52]的格点等腰直角三角形（三角形的三个顶点都是格点）的个数是（    ）.

（A）10               （B）12

（C）14               （D）16

解析：由等腰直角三角形的面积等于[52，] 可知直角边长分别为[5.] 分两种情况讨论：（1）当点A位于直角顶点时，存在8种情况;（2）当点A位于45°角的顶点时，同样存在8种情况. 所以一共有16个满足要求的等腰直角三角形. 故此题选择选项D.

【评析】此题作为2007年中考试卷选择题的最后一道题，起到了较好的区分效果. 分类讨论既是此题的亮点也是难点，重复和遗漏是学生的主要丢分原因，因此此题的目标定位是考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力. 学生需要先直观想象出所有可能情形，再按照特定的顺序去找，如此便能不重不漏地解决问题.

3. 生長阶段的格点试题——曲线型图形问题的探索

在经历了前两个阶段的尝试和探索之后，格点试题已逐步被广大师生所重视，随之而来的是对其进一步地探索与研讨. 然而，之前的格点试题所涉及的图形均为直线型图形（即由线段组成的几何图形），于是，命题者开始将格点试题进行拓展延伸——由直线型图形向曲线型图形生长与发展，抛物线、圆等曲线型图形加入格点试题也就势在必行了.

例3 （2009年浙江·湖州卷）已知图4中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，试在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的个数是（    ）.

（A）6               （B）7

（C）8               （D）9

解析：对于此题，发现如图5所示的抛物线[y=12x2-][12x]的图象所经过的格点数最多，即经过的点为整点坐标的个数最多，有8个，故此题选择选项C.

例4 （2010年浙江·湖州卷）试在如图6所示的12 × 12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的          个格点.

解析：此题与例3有些类似，只要通过尝试与操作，找到一个以中间的格点为圆心、5个单位长度为半径的⊙O，就能过最多格点，格点数为12个，如图7所示.

【评析】例3和例4两道题属于同类格点试题，分别为当年中考浙江湖州卷选择题最后一道题和填空题最后一道题，均为难度和区分度较大的压轴题. 面对这样的试题，学生难以快速找到解题思路，只能通过不断地尝试与操作，建立适当的平面直角坐标系. 例3、例4和其他的格点试题略有不同，涉及的图形为曲线图形，学生在进行直观想象和画图操作时都遇到了困难，进行尝试与操作的次数也会增多. 平移变换作为几何直观能力的一种表征，在该类试题中所起的作用较大，利用数形结合思想中的“以数解形”来验证，进而解决问题. 不难发现，该类试题的目标定位增加了利用图形变换的几何直观表征来化归类似相关情形的分析.

4. 深化阶段的格点试题——立意和素养的提升

格点试题发展到生长阶段之后，已逐步涵盖初中阶段所学习的所有图形，但是格点试题的题型仍然较为单一，思维含量也略显不足，数学素养的渗透也很有限，似乎进入了发展的瓶颈期. 然而，新定义的融入标志着浙江省湖州市中考格点试题的发展正式进入了一个质的提升阶段——深化阶段.

例5 （2017年浙江·湖州卷）在每个小正方形的边长为[1]的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点. 从一个格点移动到与之相距[5]的另一个格点的运动称为一次跳马变换. 例如，在4 × 4的正方形网格图形中（如图8），从点A经过一次跳马变换可以到达点B，C，D，E等处. 现有20 × 20的正方形网格图形（如图9），则从该正方形的顶点M经过跳马变换到达与其相对的顶点N，最少需要跳马变换的次数是（    ）.

（A）13   （B）14   （C）15   （D）16

解析：此题的解题思路较多，最自然的解法是先确定尽可能走对角线的方法，然后探究得到走3 × 3正方形网格的对角线最少需要2次完成. 若将20 × 20正方形网格先划分出6个3 × 3正方形网格，剩下2 × 2正方形网格至少需要4次完成，则总共需要12 + 4 = 16（次）;若将20 × 20正方形网格先划分出5个3 × 3正方形网格，剩下5 × 5正方形网格至少也需要4次完成，则总共需要10 + 4 = 14（次），故20 × 20正方形网格最少需要14次完成. 此题也可以用找规律法、坐标法、方程整数解法等来解决.

【评析】例5是2017年中考浙江湖州卷选择题的压轴题，题目通俗易懂，在考查数学知识的同时也兼顾了对数学思想与能力的考查. 虽然给出了新定义“跳马变换”，但阅读量少，图形简单，有利于消除学生紧张、焦虑、畏难等不良情绪. 图形中从点A可以跳到B，C，D，E几点这个信息的给出为学生指明了问题解决的方向，有助于增强学生的解题信心. 此题在解答过程中计算量小，思维含量大，体现了“少算多思”的命题特点. 虽然起点是网格中的线段，但落脚点是图形的变换，生长点是图形的变化规律. 从图形变换的角度来分析，它考查了学生对运动过程中点的运动路径的探索，学生经历了操作、观察、思考、推理等数学活动过程;从图形的规律来分析，它考查了学生对规律的探索，学生经历了观察分析、合理推测、猜想结论等数学思维过程. 无论哪一方面都较好地实现了对过程性目标的考查，如果学生缺乏缜密的思维与扎实的基本功，则不易想到解题思路，这也体现了对学生能力考查的创新性. 综上所述，例5需要学生具备一定的空间想象能力，渗透了数形结合与图形变换等数学思想方法. 学生的几何直观能力在解决此题的过程中得以充分体现.

5. 优化阶段的格点试题——与数学文化等深层次考查相结合

格点试题在经历了起步、探索、生长、深化阶段之后，逐步走向成熟，然而如果用较高的标准来衡量，会发现很多试题中还缺少一些元素. 如果能融入数学文化等素养元素，定能起到优化试题的效果. 接下来看一道经典的格点试题——“格点弦图”.

例6 （2018年浙江·湖州卷）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点. 以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图. 例如，在如圖10所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为[65，] 此时正方形EFGH的面积为5. 问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为[65]时，正方形EFGH的面积的所有可能值是          .（不包括5）

解析：格点试题的最大特性是需要分类讨论，此题需要分三种情况讨论.

情况1：如图11，当[DG=8，CG=1]时，满足[DG2+][CG2=CD2.] 此时[HG=7，] 可得正方形EFGH的面积为49.

情况2：如图12，当[DH=13，CH=213]时，满足[DH2+CH2=CD2.] 此时[HG=13，] 可得正方形EFGH的面积为13.

情况3：如图13，当[DG=7，CG=4]时，满足[DG2+][CG2=CD2.] 此时[HG=3，] 可得正方形EFGH的面积为9.

故此题答案为9或13或49.

【评析】此题中，格点弦图的新定义与弦图数学文化的融入让人眼前一亮，将格点问题推向了一个新的高度——画图操作层面. 可利用“直径所对的圆周角是直角”借助圆规进行画图尝试. 分类讨论层面，更是升级至二级分类，一级分类是对于大正方形的边长AD进行分类，二级分类是对小正方形的边长HG进行分类. 多数学生漏掉了答案“9”，原因就是忽略了对于大正方形的边长AD进行的一级分类. 数形结合层面，勾股定理的计算和验证确保了分类的存在性;图形变换层面，弦图中本就蕴涵着的旋转思想，决定了在变换过程中的四个直角三角形全等. 由此可见，几何直观能力在例6中达到了极高的价值体现.

二、几何直观能力的价值体现与教学启示

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，几何直观主要是指利用图形描述和分析问题. 借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，并预测结果. 几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用. 上述六道格点试题反映了浙江省湖州市十多年来中考格点试题的发展历程，在这些试题中，几何直观能力均有不同程度的体现，从中也能得到相关的教学启示.

1. 鼓励画图操作，展开图形思考

从上述六道典型的格点试题中，不难发现每道试题均需要通过多次画图操作来直观地展开图形进行思考. 然而，画图操作也需要讲究策略，当格点数较少时可直接画图进行分析思考，但是当格点数较多时，可以采用“局部画图 + 联想整体”的画图操作策略，即通过局部分析，再类比联想整体情况进行思考.

总之，画图操作是解决格点试题的基础. 在教学中，帮助学生养成画图的习惯是非常重要的. 可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路带来的益处，能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学过程变得直观，有利于展开形象思维.

2. 关注图形变换，挖掘本质特征

几何变换和图形的运动是数学教学中的重要内容，它既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法. 在上述格点试题中，例3涉及抛物线的平移变换，例2和例6两题涉及三角形的旋转变换，通过对图形变换的渗透与分析，方能做到不重不漏地找出全部正确的情况，进而得出结果.

在教学中，教师要多引导学生发现蕴含在几何图形中的图形变换，具体体现在三个层面：一是图形本身自带的图形变换，如等腰三角形等轴对称图形、平行四边形等中心对称图形;二是在一个图形中的其中两个部分存在着某种变换关系;三是构造出某种变换下的对应图形. 充分利用变换去认识、理解几何图形，并从中进一步挖掘图形的本质特征，进而解决问题，这是培养学生几何直观能力的有效办法.

3. 注重数形结合，精准识别图形

在义务教育阶段，许多重要的数学内容和概念都具有“数”和“形”两个方面的特征，学会从这两个方面认识数学对象是非常重要的，即数形结合是认识数学的基本方法，与其说是方法，不如说是基本要求. 上述格点试题中，例1、例2和例5中都出现了[5，] 即1 × 2矩形的对角线，例3和例4是求将两种曲线放在平面直角坐标系中，所经过的整点坐标，例6是求满足大正方形的边长为[65]时的小正方形面积. 以上这些均需要从数的角度去分析、求解及验证，正所谓“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，“数”需要“形”来展开形象思维，“形”需要“数”来精准的识别和验证.

在教学中，教师应该让学生明白“数”与“形”之间存在着密不可分的关系，并逐渐发展成一种对“数”与“形”之间的转化意识.

4. 加强分类意识，培养缜密思维

分类思想是检验学生数学思维是否缜密的关键要素. 上述六道格点试题中均用到了分类讨论思想，其中，例1、例3、例4和例5需要利用分类思想找到满足条件的答案，例2和例6则需要利用分类思想不重不漏地寻找到满足条件的正确结果.

由此可见，格点试题与分类思想密不可分，因此，格点试题能较好地考查学生数学思维的缜密性. 在教学中，教师应该抓住可以提升学生分类思想意识的教学时机，选择合适的教学方法，培养学生思维的缜密性. 当然，这不只体现在数学的学习过程中，即使推广到学生的终身学习和生活中，分类意识及思维的缜密性也会充分彰显其育人价值.

参考文献：

[1]钟珍玖，金杨建.“小格点”彰显“大格局”：2017年中考数学“格点”试题的价值探析[J]. 中学数学（初中版），2017（11）：70-72.

[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]褚杰新. 网格“跳”出新意  精彩源于簡约[J]. 中学数学教学参考（中旬），2017（9）：43-45.