基于学生发展的复习课设计与实践

张玲

摘  要：初中数学复习课的主要任务是帮助学生将所学知识系统化. 在“正比例函数和反比函数复习课”的教学中，巧妙设计递进问题，在问题解决中关注学生的参与度，旨在让学生在思维互补中进一步掌握正比例函数和反比例函数的解析式、图象和性质，在解决具体问题的过程中经历方法的习得，领会研究函数的基本方法.

关键词：正比例函数;反比例函数;学生发展

根据“以学生发展为本”的基本理念，数学教学不仅要关注学生知识与技能的获得，而且要关注学生在数学学习和解决具体问题过程中方法的习得，还应该重视情感、态度、价值观等育人目标的落实. 基于学生发展的理念，笔者针对“正比例函数和反比例函数复习课”进行了一次教学实践，以下为教学设计及实践体会，与大家分享.

一、内容和内容解析

1. 内容

本节课选自沪教版《九年义务教育课本·数学》八年级第一学期第十八章“正比例函数和反比例函数”，是第一节“正比例函数”和第二节“反比例函数”的综合复习课.

2. 内容解析

（1）内容的本质.

本节课将正比例函数和反比例函数的解析式、图象和性质分别进行类比，抓住这两个函数中的变与不变，体会研究函数的一般方法.

（2）内容中所蕴涵的数学思想和方法.

本节课的内容中蕴涵着数形结合思想和割补的方法. 学生此前已经学习过正比例函数和反比例函数的概念、图象和性质，对解决正比例函数和反比例函数的相关问题有一定的经验. 作为一节复习课，本节课通过设计三组问题，让学生在解决问题的过程中体会数形结合思想.

（3）知识的上下位关系.

学生在六年级已经学习了比例的意义与性质，因此比较容易接受正比例函数和反比例函数. 以它们为载体，帮助学生初步感知变量数学，体会研究函数的基本方法，为一次函数和二次函数的学习打下良好基础.

（4）育人价值.

复习课要充分体现自主原则，即让学生积极主动地参与复习的全过程，让学生主动疏理知识、寻找规律、判断错误. 通过小组合作学习，把学习的主动权交给学生，发挥学生的主体作用，让学生真正成为学习的主人，凸显“以学生为主体”的教育理念.

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：研究正比例函数和反比例函数的概念、图象和性质.

二、目标和目标解析

1. 目标

（1）进一步理解正比例函数和反比例函数的概念、图象和性质，并解决相关问题.

（2）在解决题组的过程中进行观察、对比、分析，体会数形结合、转化与化归等思想方法在解题中的运用.

（3）在小组合作解决问题的过程中，进一步体会研究函数的一般方法，提升分析问题能力和数学语言表达能力.

2. 目标解析

达成目标（1）的标志：能够整理并展示正比例函数和反比例函数的相关知识，在课堂上通过三组题组的练习，体会研究函数的一般思路，从而解决相关问题.

达成目标（2）的标志：能够逐步解决三组题组. 题组1考查函数的定义、图象和性质，体现研究函数的一般方法;题组2是对函数性质的运用，方法由特殊到一般;题组3需要一题多解. 通过问题驱动，时时有思维训练，让学生体会数形结合及割补的数学思想方法.

达成目标（3）的标志：能够在小组合作解决问题的过程中，亲身经历问题解决到方法习得的过程，提升数学学习能力.

三、教学问题诊断分析

1. 学生已具备的认知基础（知识、能力）

学生在六年级已经学习了比例的意义与性质，在此基础上，又学习了函数的概念，从常量数学进入到变量数学，学生已有一个逐步认识和适应的过程. 此前学生已经学习过正比例函数、反比例函数的概念、图象和性质，对解决相关问题有一定的经验，具備了一定的抽象思维能力和推理分析能力.

2. 与本节课目标的差距分析（知识、能力）

学生对整体知识的把握不足，对知识的理解与掌握比较浅显，对知识之间联系的理解不够深刻. 因此，无法自行完成知识体系的建构，不能真正体会研究函数的一般方法.

3. 可能存在的问题（问题、障碍）

在题组3的第（3）小题中，[△AOC]不是直角三角形，并且三条边也不在坐标轴上，对于求[△AOC]的面积，学生可能存在困难.

4. 应对策略（过程、方法）

将题组3交给各小组解决，在讨论、解决问题的过程中把做法呈现在移动白板上，使得小组之间可以更好地相互交流和借鉴，进行思维的碰撞. 对于学生忽略的方法，教师运用几何画板软件进行补充，提升学生的思维能力.

基于以上分析，确定本节课的教学难点是：正比例函数、反比例函数图象和性质的综合应用.

四、教学支持条件

本节课应用移动白板、几何画板软件、学生导学稿进行教学.

五、教学过程

1. 知识回顾

说一说：正比例函数和反比例函数有什么区别？

师生活动：课前，各小组合作整理了正比例函数和反比例函数相关知识点;课上，每个小组派一名代表上台展示，并说一说正比例函数和反比例函数的区别与联系. 其他小组给予补充说明.

【评析】课前各小组通过表格、思维导图的形式梳理正比例函数和反比例函数的相关知识点，课上展示正比例函数和反比例函数概念、图象、性质的区别与联系. 在小组合作中，学生的知识与经验相互补充. 通过类比两类函数的解析式、图象和性质，提升学生的辨析能力，为接下来的练习巩固做铺垫.

2. 练习巩固

题组1：（1）已知函数[y=2xk2-2]是正比例函数，则[k]的值是      .

（2）已知函数[y=2xk2-2]是反比例函数，则[k]的值是      .

师生活动：学生回答，教师板书解题过程，然后师生小结.

【评析】第（1）（2）题旨在让学生体会正比例函数和反比例函数解析式的区别，重视正比例函数和反比例函数的意义建构.

（3）已知函数[y=k-1xk2-2]是反比例函数，则[k]的值是      .

（4）已知反比例函数[y=k-12xk2-2]的图象在第二、四象限，则[k]的值是      .

（5）已知反比例函数[y=k-12xk2-2]的图象在每个象限内[y]随着[x]的增大而减小，则[k]的值是      .

师生活动：各小组交流、讨论，并派一个代表回答问题. 经过观察、对比、分析，学生发现在解决第（3）（4）题时，不仅要考虑[k2-][2=-1]，还要根据反比例函数的定义和性质考虑比例系数的取值情况，进一步体会研究函数的一般方法.

【评析】在解决第（3） ～ （5）题时，学生不仅要考虑函数自变量的指数，还要对比例系数的取值进行检验. 有了第（1） ～ （3）题的解题经验，学生不难想到利用条件“图象在第二、四象限”“图象在每个象限”检验反比例函数的比例系数. 通过解决题组1，学生既能在交流讨论中深入理解反比例函数的概念，又能在分析、解决问题的实践中提升思维能力.

题组2：（1）在正比例函数[y=-4x]的图象上有两点[-2，y1， -1，y2，] 则[y1，y2]的大小关系是      .

（2）在反比例函数[y=-4x]的图象上有两点[-2，y1，][-1，y2，] 则[y1，y2]的大小关系是      .

师生活动：学生回答，教师板书解题过程，其他学生补充不同的方法.

【评析】第（1）（2）题解法较多. 例如，利用解析式直接求出[y1，y2]的值比较大小;根据正比例函数和反比例函数的性质比较[y1，y2]的大小;画出函数的大致图象，在图象上找到对应的点，直观比较[y1，y2]的大小. 学生在解决这两道题目的过程中能促进思维互补与交流，进一步加强对两类函数解析式、性质和图象的应用.

（3）在反比例函数[y=-4x]的图象上有两点[x1，y1，][x2，y2，] 若[x1<x2<0，] 则[y1，y2]的大小关系是      .

（4）在反比例函数[y=-4x]的图象上有三点[x1，y1，][ x2，y2， x3，y3，] 若[x1<x2<0<x3，] 则[y1，y2，y3]的大小关系是      .

各小组交流讨论：以上给出的解决题组2第（1）（2）题的三种方法都适用于第（3）（4）题的解决吗？你们小组是用哪种方法解决问题的？

【评析】在经历了第（1）（2）题的解决后，学生会尝试类比解决第（3）（4）题. 当运用性质不能直接解决这两道题目时，学生会想到借助图象辅助解决，有利于提升学生的抽象思维.

题组3：如图1，直线[y=34x]与双曲线[y=kx][k≠0]交于点[A4，m，] 过点[A]作[AB⊥Ox]，垂足为点[B].

（1）求[k]的值;

（2）求[△AOB]的面积;

（3）若双曲线上有一点[C]，且点[C]的纵坐标是6，求[△AOC]的面积.

师生活动：学生在导学单上完成第（1）小题的求解，并注意解题格式. 做好的小组把解题过程寫在移动白板上，教师巡视.

对于第（3）小题，各小组展示的解题方法如下.

方法1：如图2，把[△AOC]补成矩形EOBD，根据[S△AOC=][S矩形EOBD-S△EOC-S△AOB-S△ACD]来求解.

方法2：如图3，过点[C]作[y]轴的平行线CP，交OA于点P，把[△AOC]分割成[△APC]和[△OPC]来求面积.

方法3：如图4，把[△AOC]补成直角梯形COBD，根据[S△AOC=][S梯形COBD-S△ACD-S△AOB]来求解.

教师利用几何画板软件对学生给出的方法进行归纳，并做适当补充，如图5、图6、图7所示.

小结：当[△AOC]不是直角三角形，且三边不在坐标轴上时，可以通过割补法来求面积，即过点[A]或点[C]作[x]轴或[y]轴的平行线来解决问题. 当然，求[△AOC]的面积还有其他方法，有兴趣的学生课后再探讨，随着所学知识的增多，解决问题的方法也会更多.

【评析】经过前面的复习，学生对正比例函数和反比例函数相关知识有了更深刻的理解，以此题为契机留给小组合作解题并展示的机会. 第（1）小题求[k]的值，是对正比例函数和反比例函数解析式的简单应用，学生在解题中再次比较两类函数解析式，感受两类函数的特征. 第（2）小题要求[△AOB]的面积也较为简单，学生可以通过此题更好地理解反比例函数比例系数[k]的几何意义. 第（3）小题求[△AOC]的面积，学生基于所学知识无法直接求解，从而激发学生的认知冲突，且此题求解方法较多，有利于让学生在交流中发散思维.

3. 归纳小结，反思提高

师生共同回顾、总结、归纳本节课所学知识和所应用的数学思想方法.

【评析】回顾、总结本节课的学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.

4. 作业布置，巩固所学

略.

六、目标检测设计

1. 已知函数[y=2m-4xm2-5]是反比例函数，则[m]的值为      .

2. 在反比例函数[y=-4x]的图象上有三点[-2，y1，][-1，y2， 3，y3，] 则[y1，y2，y3]的大小关系是（    ）.

（A）[y1<y2<y3] （B）[y2<y1<y3]

（C）[y3<y1<y2] （D）[y3<y2<y1]

3. 如图8，直线[y=12x]与双曲线[y=8x]交于点[A4，2，] 过点[A]作[AB⊥Ox]，垂足为点[B].

（1）求[△AOB]的面积;

（2）若双曲线[y=8x]上有一点[C]，且点[C]的纵坐标是8，求[△AOC]的面积;

（3）过原点[O]的另一条直线交双曲线[y=8x]于[P，][Q]两点（点[P]在第一象限内），若由点[A，B，P，Q]为顶点组成的四边形面积为24，求点[P]的坐标.

七、谈磨课体会

在以上呈现的“正比例函数和反比例函数复习课”的教学实践中，基于学生发展的角度，笔者经历了三次磨课，现将磨课过程介绍如下.

1. 一磨教学设计，关注知识的获得

第一次磨课的重点是教学设计的调整，把原本针对知识点设计的几道练习题设计成题组. 初稿是从正（反）比例函数定义、图象和性质、应用三个方面分块设计题目，题目数量较多，且题目之间的联系性不强，不利于学生系统习得知识. 如何将知识浓缩于高质量的题目中，帮助学生高效、系统地掌握知识？在与教研组研讨后，设计了变式题组，目的是让学生在比较中对正比例函数和反比例函数相关知识有整体性和结构化的认识.

2. 二磨教学方式，关注学生的课堂参与

第一次磨课，本意是以教师主导、学生主讲的方式展开课堂教学，但由于部分学生跟不上课堂的节奏，课堂参与度不足，导致教师主导逐步转变成了教师主讲，这更降低了学生的参与度. 因此，在第二次磨课中，对教学方式进行调整，在第二个班级试课时，将全班学生分成四个小组，采取小组合作的方式开展教学. 在知识回顾环节，以小组合作的方式进行知识梳理，形成知识经验的互补，加深学生对知识的理解，提高复习效果. 在练习巩固环节，以小组讨论的方式研究问题，给予学生充足的思考时间，让学生的思维得到释放，在研讨中归纳解题的一般方法. 在问题回答环节，以小组为单位作答，一人作为代表回答，组员及时纠正和补充，确保其他学生听课的专注度.

3. 三磨细节处理，关注学生的情感发展

在第二次磨课时遇到了一个小状况. 在解决题组3的第（3）小題时，其中一个小组提出一种解法后，笔者将其思路板书在黑板上，之后其他小组纷纷表示有不同的解法，但由于笔者的疏忽及当时资源和时间的限制，无法将这些方法一一展示出来，匆匆收场. 教研组教师讨论时认为学生的方法没有得到充分展示是一个遗憾，可以以此题为契机让学生得到展示的机会，让学生获得成就感，激发学生的学习兴趣. 因此，第三次磨课重点对这一细节进行处理，为了能直观呈现各小组的解题方法，笔者准备了一块移动白板，各小组把解题思路写在移动白板上并做展示交流. 同时，笔者预设了学生的解题方法，用几何画板软件呈现学生没想到的方法，进一步提升学生学习数学的兴趣.

移动白板为学生讨论问题、记录问题、相互学习提供了方便. 各个小组的学生之间交流画图、书写解题过程，从“怎么做”到“怎么写”，再到“怎么表达”都有商有量、互补长短，思维碰撞更直接. 学生在“做”中学，在“体验”中学，在愉悦的氛围中解决问题，获得了成就感.

八、实践后的再思考

1. 习题设计符合学生的认知规律

复习课中的习题设计要符合学生的认知规律，让多数甚至每名学生都能在相当程度上实现有效学习，提高课堂学习的效率. 习题容量不宜过多，不能采用题海战术，这容易让学生产生疲惫感;习题内容要有趣味，如一题多变，在变化中引导学生逐步归纳、提炼解题方法;习题难度要由浅入深、循序渐进，符合学生的认知基础，同时要具有一定的挑战性.

2. 教学活动注重学生的体验

数学教学不是单纯地传授知识，而是以学生为主体的教学活动. 学生是学习的主人，数学学习应是主动的、富有个性的活动过程. 教师要通过观察、实验、推理等活动加深学生对数学知识的理解. 在组织教学的过程中，教师可以采用让学生动手实践、自主探索和合作交流等方式，多给学生一些课堂操作和体验的空间和机会，让学生在体验中解决问题，从而更好地理解和掌握基础知识，以及基本技能和方法.

3. 课堂交流关注学生的情感表达

和谐民主的课堂气氛是课堂教学成功的保障. 在教学中，教师要充分调动学生的情感因素，形成良好的课堂氛围. 教师在讲授知识的同时，也应该倾听学生的想法. 在教学中，可以在某些环节留给学生充分思考的时间和空间，鼓励学生勇敢地表达;对学生的言行，要及时给予肯定和鼓励，让学生体会到数学学习的成就感，进而激发学生学习数学的兴趣.

参考文献：

[1]沈敏. 围绕数学核心素养的结构性教学实践：《反比例函数复习课》教学设计与分析[J]. 中学数学研究，2020（8）：12-16.

[2]杨果. 从“一课三磨”感悟核心素养如何落地：以“圆锥曲线中的定点问题”一课为例[J]. 高中数学教与学，2020（1）：18-20.