一次为基础薄弱生授课的启示

张艳馨 连春兴

摘  要：文章以叙事的方式展现了一节给基础薄弱班级讲授的二次函数复习课. 本节课没有沿概念、解析式、图象、性质的脉络展开，而是通过一个简单的问题情境构建二次函数模型，促进了学生的课堂参与度，为改善基础薄弱班级的教学、提升复习效率提供了诸多有益的启示.

关键词：二次函数;复习课;复习效率

一个特殊的机缘，在海南省支教的连春兴老师（以下统称“执教教师”）走进了三亚市某校九年级的一个特殊班，并为他们上了一节二次函数的复习课. 这个班之所以特殊，是因为学生基础普遍薄弱，课堂教学秩序较乱. 面对这样的群体应该如何上课，尤其是复习课，该校教师一直在探索. 大家邀請执教教师为该班上一节课，以便学习和交流. 因此，在毫无准备的情况下，一节“即兴课”产生了.

一、课堂概述

由于事出突然，且学生的学习习惯不好、知识基础薄弱，所以本节课知识含量较少，课堂上更多的是执教教师在组织教学，调动学生的学习积极性. 为不失真，笔者不忍简约，以叙事方式呈现这节二次函数复习课，并扼要概括.

1. 联络感情，提出问题

当执教教师与听课教师一行数人进入教室时，只见全班三十余名学生，有趴在桌子上睡觉的，有嬉笑打闹的，有几个男生竟躺在椅子上，脚放在桌子上，敲出阵阵声响，没有一点上课的意思.

面对此景，执教教师省略了“上课起立”环节，亲切、平静地说：“同学们，请坐好，睡觉的同学请睁开眼睛，看看我这个来自北京的老头，今天我想和大家一起帮你们的家长完成一项设计.”

几句别致的开场白吸引了学生的注意，除几位进入梦乡的学生外，大家纷纷坐好，目光集中到执教教师身上. 这时，执教教师并没有着急叫醒睡着的学生，而是面带笑容继续说道：“你们都在海边长大，都熟悉滩涂荒地. 村里领导为改善土质，发给每户100米扎篱笆墙的材料，扎成平面是矩形的围栏，圈养鸡、鸭，或牛、羊，当然面积越大越好，请同学们探索矩形面积最大时的长和宽.”

执教教师边说边在黑板上写出“100米篱笆墙、矩形面积最大、求矩形的长和宽”几个关键词.

2. 解决问题，概括猜想

此时，学生面面相觑，不知所云. 为了启发学生，执教教师在黑板上画了一个扁长的矩形，标出其长为49米、宽为1米，并问大家这个方案是否可行.

沉寂片刻，一名一直趴在桌子上的学生回答道：“老师，这个方案不行. 您画的矩形面积是49平方米，我设计了一个长48米、宽2米的矩形，面积是96平方米，比您画的矩形面积大.”

看着这名对激发其他学生学习兴趣立下大功的学生，执教教师高兴地说：“你真棒！看来你是装睡啊.”一句诙谐的话语引发学生哄堂大笑，教室里沉闷的气氛一扫而光，学生热烈争论起来. 执教教师及时写出大家的意见，将一串面积一个比一个大的矩形边长先后呈现在黑板上，即1 × 49，2 × 48，3 × 47，…，23 × 27，24 × 26，25 × 25，最后，经过师生共同努力，确认当矩形的长和宽都为25米时矩形面积最大. 此时课堂气氛达到高潮.

执教教师高度赞扬了为找到矩形最大面积做出贡献的学生，表扬他们应用数学知识为家长排忧解难，提供利益最大化的设计方案. 此话一出，又一次引发学生会心的笑声. 只见执教教师凝住微笑，向大家发问：“哪位同学能用一句话概括一下我们发现的结论.”

又是沉寂片刻，一名坐在前排的学生回答：“正方形面积比长方形面积大.”执教教师听到后，在黑板上画了两个面积悬殊的小正方形和大长方形，再次引发学生哈哈大笑. 执教教师说：“从大家的笑声来看，正方形面积比长方形面积大需要一个前提，谁能把这个前提补充上？”另一名学生补上了“周长不变”的前提.

3. 证明猜想，引出主题

随后，执教教师冷静地分析道：“刚才同学们通过矩形长、宽的此消彼长，发现了‘当矩形周长不变时，正方形面积最大’，但这个发现仅仅建立在计算少数几个矩形面积的基础上. 在周长不变的前提下，矩形的长和宽可以随意改变，如24.9 × 25.1，24.99 × 25.01等，我们很难凭计算一一验证核实矩形的长和宽相等时面积最大，所以我们此处的发现只是个猜想，不能算是正确的命题，而数学中的真命题是需要经过严格证明的. 请问，哪位同学能证明周长是100米的矩形，长和宽相等时面积最大？”

大概是执教教师预感到学生解决这个问题会有困难，于是在黑板上画出一个矩形，提示道：“这个矩形的周长是100米，面积随边长的变化而变化. 因此，我们可以设矩形的长为x（宽由几名学生附和着说出是50 - x），那么，矩形的面积[S]能否由[x]来表示？”

当一名学生在黑板上写出[S=x50-x=-x2+50x]，并识别出[S]是关于x的二次函数后，执教教师又启发道：“利用二次函数解析式可以证明矩形是正方形时，即当x = 25时，面积[S]取最大值. 那么，谁能来解决这个问题？”

见学生相互对视，无一人回答，执教教师解释道：“解决这个问题时，可能有学生想到利用二次函数图象确定顶点坐标，然后直接回答当横坐标x = 25时，纵坐标[S]的最大值为625.”执教教师随手画出如下图所示的示意图，继续说道：“但这涉及如何画函数图象、确定顶点坐标及为什么二次函数图象的顶点最高等一系列二次函数的性质. 这些知识大家可能遗忘了，我们明天复习. 今天我们解决此题不需要函数的性质，只需要运用八年级学习的配方法就足够了，即[S=-x2-50x=][-x2-50x+252-252=-x-252+625.]观察此式，只有当625 - 0时，[S]取最大值. 因为当625减其他正数时，[S]的值都不是最大的，625减负数时结果更大些，但完全平方数不可能为负，所以当[x-252=][0，] 即当[x=50-x=25，] 矩形为正方形时，矩形面积[S=625，] 为最大值. 于是，命题得证. 利用这种方法寻找最大（小）值，是二次函数有别于其他函数的独有特征. 当二次函数解析式的系数a，b，c比较简单时，大家可以利用配方法解决问题. 如果你们有兴趣，不妨仿照此法，推导一下一般二次函数的顶点坐标公式，为明天的复习课做些准备.”至此，恰好下课.

二、课后反思

课后，笔者与执教教师进行了深入交流，当问及他上课的感想时，他表达了两个意思. 第一，这是一个特殊的班级. 首先，缺乏正常的家庭、学校管理教育，如上课之初许多学生的行为不规范;其次，数学基础薄弱，如课堂上利用配方法解决最值问题时，教师被迫唱了“独角戏”. 面对这样的班级，我们要满腔热情、想方设法拉近与学生的情感距离，并实时给予恰当的鼓励，以让学生摆脱破罐破摔的心态，增强学好数学的自信心. 第二，在中考复习课中，基础薄弱的学生由于遗忘、基础不牢等原因，可能复习课形同新授课. 这种情况下，凭借概念罗列、例题选讲这些传统做法，学生很难参与其中，效果微乎其微. 而如何促进学生的课堂参与度，提升复习效果，把学科育人的目标落到实处，执教教师在课堂教学中似乎给出了回答. 认真回味执教教师的话，反思本节课各个环节，除了包括他细腻的精神抚慰在内的适切教学行为外，在课堂设计上，至少有如下三个方面值得借鉴.

1. 教师要准确评估学生的认知水平

一位初来乍到的教师上的“即兴课”，难免存在这样或那样的遗憾. 但从整体上看，本节课进行得还是比较顺利的，这很大程度上得益于执教教师对学生基础相对准确的预判. 在与执教教师的交流中，得知他确信学习是少年儿童的天性，只要遇到感兴趣的问题，且没有超出他们的认知范围，他们一定会热衷参与、探究解决. 在本节课之初，执教教师预判这个班的学生不会反感帮家长设计围栏，应该能计算两位数的乘法，知道矩形包括长方形和正方形，矩形面积等于长乘以宽，懂得比较数的大小，通过试数运算对比，得到“矩形的长和宽分别为25和25时，矩形面积最大”. 因此，这样带有激趣性质的问题情境，为本节课中学生顺利进入状态、积极参与课堂活动奠定了良好的基础. 当然，一个好的问题情境的创设，不仅要符合学生的认知基础，更重要的是随着问题的解决，要逐步揭示知识主题. 正像本节课中，由“一个矩形周长不变，面积何时最大”的讨论，生成猜想及证明，把学习活动一步步推向高潮，顺利进入二次函数的主题，这是课堂教学的重心所在.

2. 尽力追求自然平实、逻辑贯通的教学境界

准确预判学生的认知基础，只能帮我们确定课堂的思维起点，更重要的是，教师要创造条件，促使学生思维在课堂上合理延伸，而这恰恰是基础薄弱学生的软肋. 我们观察数学成绩不佳者在解决一个陌生问题时的思维状态，发现其共性特征是对基础知识理解不到位而造成的思维无序. 最大限度地解决好“思维无序”问题，促成思维的合理延伸，追求自然平实、逻辑贯通的教学境界，是一个重要的教学策略. 反观执教教师的课，从在滩涂荒地上设计定长围栏开始，到引导学生归纳猜想，发现正方形面积最大，再到构建二次函数模型，进行论证猜想正确，整个过程自然平实、逻辑贯通，没有大起大落的思维转换，学生只需沿着问题合理的发展走向持续思考，即使遇到二次函数最值这样似乎关联函数性质的问题，课堂上也没有复习性质，而是利用二次三项式可以配方变形的独有特质，顺利解决问题. 这样始终沿着一个线索思考问题、训练解决问题的能力，对那些因基础知识理解不到位而思维无序的学生来说，可谓“对症下药”.

3. 关于“演绎式”复习与“归纳式”复习效率的思辨

在关注“思维起点”“思维延伸”等问题后，我们自然进入对复习模式与效率的思辨. 一般而言，在单元复习之初，有的教师习惯先利用PPT展示本单元知识的逻辑结构、思维导图等，然后再进行例题、练习题的训练，我们不妨把这种复习方式称为“演绎式”复习. 这样做的好处是有利于学生整体把握知识. 对于优等生来说有一定的合理性，但对于学困生来说，本就对平时学习的知识理解不到位，现在一起展示出那么多数量、位置、逻辑关系，学生对于这些结论是怎么来的，早已遗忘. 若由学生现场推演，显然时间不允许，而不知来龙去脉的知识内容很难记忆，即便暂时记住，也不可能灵活运用. 因此，这种复习方式将大大减损复习效果. 这可能也是许多教师的教学困惑所在.

观察本节课，没有沿二次函数的概念、解析式、图象、性质的脉络展开教学，而是从确定矩形的长和宽、计算面积出发，不给问题贴任何知识的“标签”，把学生推至解决问题的前沿，只要求他们利用自己原有的知识经验解决问题，一步步形成猜想. 这种方式解决了“演绎式”复习的知识罗列使学生无从参与的弊端. 当然，与新授课相比，此处的知识生成节奏要尽量快一些，以学生能承受为主，我们不妨把这种复习方式称为“归纳式”复习. 这种方式对于优等生来说似乎没有必要，但对于学困生来说，可以弥补平时学习的漏洞，在不断解决问题中复习概念、归纳知识，在不断归纳中穿插演绎，最终实现对知识的结构性把握，从而达到复习目的. 两种复习方式的效率对比，优劣立判.

三、结束语

教育关系着民族的未来，而数学教育在提升人的素养方面承担着独有的育人功能. 本节课是为基础薄弱学生授课的实践，局限性很大，执教教师也无力改变什么，但他在改善基础薄弱学生的学习状态、提升學习效率方面所做的努力，却给我们留下了一些有益的思考. 衷心希望广大同行指正，并参与我们的讨论.

参考文献：

[1]连春兴. 再论“问题导学”[J]. 中小学数学（高中版），2015（3）：1-6.