深度理解几何概念，促进学科关键能力的形成

金雯雯 易良斌

摘  要：概念教学对于培养学生的高阶思维能力具有重要意义. 文章以“认识三角形”的教学内容为载体，基于范希尔几何思维水平研究，从信息、定向、解释、自由定位和整合五个阶段开展几何概念课的教学研究，由此提出培养学生高阶思维能力的策略：情境引入，从感知和共情中培养数学抽象;活动探究，从探索与合作中培养几何直观;难点突破，从批判与思辨中培养逻辑推理;改编题目，从创新与检验中培养问题解决;思维导图，从构建与整合中培养整体思维.

关键词：深度理解;关键能力;高阶思维;几何概念

一、缘起：几何概念课教学中的学生数学思维现状

数学是一门概念性很强的学科，概念是发展思维、培养数学能力的基础. 作为数学三大核心领域之一的几何学，研究几何概念课具有十分重要的启示意义. 而三角形作为初中阶段学生接触最频繁、最为熟悉的几何图形，教学中又存在很多难点. 故笔者选择浙教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）八年级上册“认识三角形”一课进行概念课教学研究.

在几何概念课教学中，教师往往会因为过于注重题目分析，而缺乏数学思维性教学，使得学生顾此失彼，无法深入学习.

1. 学生疲于应付课堂习题，缺乏必要的思考时间

教学中，部分教师为了提升学生的成绩，在课堂上着重针对习题部分进行教学. 学生忙于做题、修改订正，注重题目的完成率，遇到有思维含量的题目，也没有时间进行深入思考.

对于“认识三角形”一课，教师容易忽视对三角形概念的教学. 其实，该几何概念中蕴含着丰富的内容，教师应该深度挖掘，不能只注重题目的训练，引导学生认识概念的自然形成与落实更加重要.

2. 学生对知识理解模糊，缺乏应有的思维支点

初中生的思维具有片面性和表面性，在分析问题时，经常被事物的个别特征或外部特征所困扰，难以深入分析事物的本质. 在一个关于儿童和青少年获得几何概念的实验中发现，学生一般都能归纳出某几何概念较为明显而重要的性质，但也容易遗漏.

本节课是章节起始课，也是初中阶段几何学的开端. 如果学生的思维不能立足于整体概念进行建构，则会导致对知识内容理解不到位和记忆困难. 因此，在数学几何概念课中培养并提升学生的高阶思维是十分有必要的.

二、架构：高阶思维导向下的几何概念课教学思路

发展学生的高阶思维是数学课堂教学的应有追求，目的在于提升学生的数学学科核心素养. 笔者认为，指向高阶思维培养的几何概念课，应该落脚在数学抽象、直观想象、逻辑推理三个方面. 数学抽象體现了数学的本质，获得数学概念和规则是高阶思维所要求的. 在三角形的概念概括中，需要通过构图落实三角形的概念要点，提升学生的直观想象素养. 在三边关系的证明中蕴涵了逻辑推理素养.

范希尔夫妇提出的“几何思维五阶段”和几何概念课的高阶思维培养相通，其认为学生需要在教师的引导下通过信息、定向、解释、自由定位、整合五个阶段，才能达到新的思维水平，即培养高阶思维. 几何思维五阶段对应了本节课的课堂环节，在每个环节要注重培养学生对应的关键能力，目的是通过高阶思维的培养，落实数学学科核心素养.

几何概念课教学流程框架如图1所示.

阶段1：信息. 在本节课中，该阶段处在课堂刚开始的环节，学生需要理解三角形的概念，教师要了解学生的概括能力和思维水平，从而引导学生进行数学抽象，理解概念的本质.

阶段2：定向. 该阶段处于本节课的知识点讲解环节，学生在教师的引导下进行探究，并得到本节课的重点——三角形任何两边的和大于第三边. 利用数形结合，将未知概念转化为已知概念.

阶段3：解释. 教师在该阶段讲解本节课的难点，由于学生没有学习过不等式的基本性质，无法完整给出证明过程，教师可以在讨论的过程中进行引导.

阶段4：自由定位. 教师在该阶段引导学生在练习的基础上改编题目，允许学生有不同想法，教师要对其正确性进行判断.

阶段5：整合. 该阶段是课堂小结阶段，采用思维导图的形式，帮助学生归纳、整合知识，形成三角形学习的整体框架.

三、实践：指向高阶思维培养的几何概念课教学

1. 信息阶段——情境引入，从感知与共情中培养数学抽象

数学抽象是数学的基本思想之一，是培养理性思维的重要构成要素. 在学习“认识三角形”一课之前，学生已经对三角形有了初步的认识，但是对于三角形的概念，学生仍无法完整回答或者并没有完全理解其内涵. 在本节课的初始阶段，笔者设计了回顾旧知、描述概念等活动，以便帮助学生进一步认识三角形的概念，感受数学学科的严谨性. 以下是笔者在情境引入阶段通过提问引发学生高阶思维的教学片断.

师：大家回忆一下，我们在小学阶段学习过关于三角形的哪些知识？

生1：计算三角形的面积，三角形的内角和为180°，按角可以把三角形分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形，三角形的两边之和大于第三边.

师：谁能描述一下什么是三角形？

生2：由三条边组成的图形叫做三角形.

师：图2是三角形吗？

生3：图2不是三角形，由三条边组成的封闭图形叫做三角形.

师：图3是三角形吗？

生：不是.

师：封闭图形？能不能用一个更加形象的词进行描述.

教师引导学生归纳出“首尾顺次相接”.

师：图4满足“首尾顺次相接”，但它是不是三角形？请继续完善定义.

生4：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.

师：大家在教材上划出概念，圈出关键词.

练习：在纸上随意画一个三角形.

在信息阶段，通过多次追问帮助学生透彻理解三角形的定义，而不是简单的定义教法. 这是课堂起始阶段，学生的思维刚刚转换到上课状态，注意力不集中，故要设法在本阶段通过追问吸引学生的注意力. 追问要注意如下几点.

（1）问之有据——规范性和科学性.

教师应该在教学过程中对学生的思维方式和接受程度进行较为深入地了解. 初中生的思维水平处于形象思维到抽象思维的过渡阶段，以形象思维为主，抽象思维刚开始发展. 为此，教师在设计提问时要化隐为显，将思维可视化.

（2）问之有序——逻辑性和层次性.

教师要结合课程内容的知识点和重、难点，并借助最近发展区理论设计提问. 建议教师对提示性提问进行深入挖掘，力求做到层层设疑、步步递进、由点入面、举一反三. 设计提示性提问时，需要关注学生几何思维水平的不同阶段，立足学生进行设问，帮助学生梳理证明过程的依据，培养学生的逻辑推理能力，归纳、总结出概念，完成概念精致的过程.

（3）问之有趣——趣味性和艺术性.

使用形象、幽默的语言设计提问可以提升学生的注意力，引发学生的好奇心，提升学生的课堂学习兴趣，将学生引入课堂并成为课堂的主体. 提问要能引发学生积极思考，从而将思维从低阶向高阶提升.

2. 定向阶段——活动探究，从探索与合作中培养直观想象

探究活动的设计是否合理直接影响学生对知识的掌握程度. 笔者通过多次课堂教学实践，发现以下两种策略可以在活动探究阶段有效促进学生的合作学习，以便更好地培养学生的直观想象能力.

（1）在发现式学习中自主探究.

数学概念的生成往往需要学生经历探索和发现的学习过程. 教师应该精心设计活动环节，引导学生通过自主探究发现其中的奥秘，形成合理猜想，并通过验证得出结论.

（2）在合作式学习中掌握知识.

合作学习可以促进学生之间产生思维碰撞，有利于高阶思维的培养. 教师需要在合作学习前期做好充足的准备，将学生按照思维水平进行合理分组，以确保合作环节的流畅性.

笔者在教学中设计了关于理解三角形边长的内容，意在引导学生经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，让学生有条理地、清晰地阐述自己的观点，理解并掌握“三角形任何两边的和大于第三边”的性质.

探究活动：有四根长度分别为11 cm，9 cm，5 cm，4 cm的小棒，从中任取三根，有几种取法？在不同的取法中，哪几种可以组成三角形？猜想三角形的两边之和与第三边有什么关系？尝试证明你的猜想.

师：从四根小棒中任選三根，怎么选？有几种选法？

教师引导学生逆向思考去掉一根小棒，防止遗漏.

生5：一共有四种选法，其中有两种选法可以组成三角形.

学生搭建的三角形示意图如图5所示.

师：为什么有的情况做不到“首尾顺次相接”？怎样的三条线段可以做到“首尾顺次相接”呢？

教师引导学生猜想：三角形任何两边的和大于第三边.

师：可以运用学过的哪个性质证明该猜想？

生6：两点之间线段最短.

教师进行展开说理，同时使用符号语言表示.

师：我们已经知道了三角形任何两边的和大于第三边. 反过来，给出三条线段的长，你能判断其能否组成三角形吗？

例  判断下列各组线段中，哪些能组成三角形，哪些不能组成三角形，并说明理由.

（1）a = 2.5 cm，b = 3 cm，c = 5 cm;

（2）e = 6 cm，f = 6 cm，g = 12 cm.

【评析】大部分学生会在验证任意两条边之和都大于第三边之后才进行判断，教师要肯定这种做法. 同时还要展示优秀做法，引导学生学会利用直接比较两条相对短的边的和与最长边长度的方法解决问题. 在这个过程中要提问学生为什么这样做，这样做的依据是什么.

通过探究活动，让学生感受三角形存在的条件，同时让学生经历数学实例、猜想、验证的探究过程，掌握证明问题的基本思路和基本方法. 在探索中，学生通过小棒搭建三角形感受几何直观. 利用反例排除、正例验证、严格推理，引导学生经历观察、猜想、证明的命题探究过程，不仅可以帮助学生发展空间想象能力，还可以锻炼学生综合运用图形和空间想象解决问题的能力，进而提升数形结合能力.

3. 解释阶段——难点突破，从批判与思辨中培养逻辑推理

该阶段是难点突破阶段，主要培养学生的逻辑推理能力. 该环节的难点是让学生理解“三角形任何两边的差小于第三边”，学生此前没有学习过不等式的基本性质，缺乏证明两边的差和第三边关系的能力. 所以教师要指导学生突破难点，促进高阶思维的形成.

师：猜想三角形任何两边的差和第三边的关系，并尝试证明.

学生猜想三角形任何两边的差小于第三边.

生7：可以采用叠合法进行验证. 如图6，设△ABC的三边长分别为a，b，c. 以点A为圆心、AC为半径作弧，交边AB于点O，则OB = c - b. 以点B为圆心、OB为半径作弧，与边BC有交点，则可以确定[a>c-b，] 即三角形的任意两边之差小于第三边.

师：非常好，这样的想法很不错. 但是这并不是理论证明的过程. 谁能证明该结论成立？

生8：可以列举几个边长试一试.

生9：通过列举进行证明是概括不了所有情况的. 应该采用严格的逻辑推理，对不等式的两边同时减去某一项来进行证明.

由[a+b>c，a+c>b，b+c>a，] 得[a>c-b，c>b-a，b>a-c.]

练习：三角形的三边长分别是3，5，x，求x的取值范围.

变式：已知三角形的三条边长分别是a，b，x，其中[a>b，] 求x的取值范围.

【评析】利用三角形任何两边的和、两边的差与第三条边的之间关系，可以确定第三条边的取值范围. 在这里分别设置一道练习题和变式题，目的是基于学生的最近发展区展开思维训练，以提升学生的逻辑思维.

数学知识具有严密性，思维具有批判性. 新、旧知识相辅相成，学生认知活动的展开要以已有经验为前提. 在教学中，教师要利用学生已有的知识来搭建桥梁，引导学生将未知转化为已知、能知，在获取新知的过程中发展高阶思维. 批判性思维意味着积极质疑，不盲从权威，推理合乎逻辑和基本事实，实事求是.

4. 自由定位阶段——改编题目，从创新与检验中培养问题解决

在自由定位阶段，教师要选择合适的问题进行提问，鼓励学生采用不同的解题方法，引导学生对问题及解法进行反思和说明，以培养学生的问题解决能力，提升学生的思维水平. 笔者在该阶段开放课题，让学生对题目进行改编或创新，并自行进行解答. 学生热情参与，引发了课堂的高潮.

师：试对前述练习题进行改编和创新. 同桌之间可以相互交流.

改编题1：△ABC的三边长分别为[a，b，c，] 且满足[a-9+b-22=0，] 若[c]为奇数，则[c]的值为     .

改编题2：已知一个三角形的两条边长分别为3 cm和4 cm，若第三边为整数，则第三边的长可以是    .

改编题3：已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且满足[a-4+b-12=0，] 求c的值.

开放性问题具有研究价值，改编题目可以促进学生思考命题者的用意. 在改编题目的过程中，学生要思考问题可以如何进行改编，以及改编是否有效，这个过程的本质就是高阶思维. 让学生参与评价可以引发学生对题目的合理性进行验证和思考，既可以检验学生对知识的掌握程度，又有利于提升学生的学习兴趣.

5. 整合阶段——思维导图，从构建与整合中培养整体思维

思维导图融文字与图形于一体，是一种开发思维潜力、提升思维能力的工具. 学生在制作思维导图的过程中需要将知识融会贯通，并进行整合. 思维导图有圆圈图、气泡图、树状图、括号图、流程图等多种形式. 数学课堂中经常使用的有括号图和流程图，这两种思维导图的优势在于能够简洁、直观地体现思维过程. 将思维导图融入课堂教学可以更好地培养学生的高阶思维.

基于路径学习的数学课堂是目前的研究主流. 通过三角形的学习路径，可以明确本章知识点，提高学生的学习效率.

师：本节课我们从三角形的概念展开研究，从三角形的组成要素进行概念划分，用高效的合作学习探究三角形边的性质，形成了对三角形的整体研究框架，体会了平面几何的研究方法，即“定义—表示—划分—性质—应用”，为将来研究四边形奠定了基础.

师生共同完成如图7所示的学习路径图.

（1）教学要注重思维的延续性.

思维的延续性指的是在数学课堂教学过程中，教师要尊重学生的思维过程，通过循序渐进的引导，在学生已有知识和学习经验的基础上，保持学生思维顺畅，这符合“以学生为主体”的理念.

（2）教学要注重思维的整体性.

思维的整体性指的是系统地学习，将新、旧知识串联起来. 利用思维导图可以帮助学生整体地理解知识，构建起知识体系. 有利于学生通过思维类比将三角形的学习框架延伸到四边形和特殊四边形的学习中.

四、结束语

本文是笔者在高阶思维导向下的一次探索与反思，基于几何思维水平，设计了有关三角形学习路径的课堂. 教学时，在信息阶段，进行有思维梯度且有利于突破难点的设问，完善概念的精致过程;在定向阶段，设计问题引导、高效合作的活动探究，引导学生感受问题解决的一般路径;在解释阶段，设计认知冲突、批判反思的论证环节，进行重、难点的落实突破;在自由定位阶段，设计形式新颖、启发思维的改编活动，测评教学目标的精准落实;在整合阶段，启发构建框架、整合知识的思维导图，促进学生整体思维的提升.

在今后的教學中，希望能继续将此项研究推广到代数领域，以及初中数学的其他课堂中，进而改善教学现状，落实对学生高阶思维的培养.

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