让学生学会建立方程模型解决实际问题

刘璇

摘  要：以“实际问题与一元二次方程（3）”一课为例，在实际问题情境中，引导学生利用波利亚的数学解题步骤分析问题结构，抽象出一元二次方程模型. 得到方程的解后，通过实际意义的解释最终解决问题，并回顾、反思、总结解决问题的一般步骤，以及建立方程模型解决问题的思路. 通过这种教学活动的设计，发展学生的数学模型思想，提升学生分析问题和解决问题的能力.

关键词：一元二次方程;实际问题;模型思想

方程是刻画现实问题中数量关系的有效数学模型，应用广泛. 模型思想是数学的基本思想之一. 把数学模型应用于现实问题的解决过程中，内化为思考指南并作为思维的工具在实际问题情境中自觉运用，就是模型思想，它是学生需要具备的关键能力之一. 让学生真正形成模型思想，需要通过实际问题解决中的数学建模活动及其反思、总结，让学生总结、提炼分析问题和解决问题的一般步骤，积累解决问题的数学活动经验，发展模型意识，提升分析问题和解决问题的能力. 利用波利亚的“怎样解题表”中的思考步骤指导学生建立数学模型解决问题，是一种可行的教学策略. 本文以“实际问题与一元二次方程（3）”一课为例，阐述如何让学生学会建立方程模型解决实际问题.

一、内容和内容解析

1. 内容

本节课选自人教版《义务教育教科书·数学》九年级上册“21.3 实际问题与一元二次方程（3）”.

2. 内容解析

本节课沿用“引入—定义—解法—应用”的方程内容主线展开一元二次方程的教学，其与已经学习的一元一次方程、二元一次方程组、分式方程研究主线相同，因此采用与前面相同的研究方法——方程建模、化归求解，体现知识安排的螺旋上升，以及内在逻辑的一致性和思想方法的一致性.“實际问题与一元二次方程”的内容注重建立一元二次方程解决实际问题，而本课时强调在设计情境下解决实际问题，属于一元二次方程知识的实际应用. 因此，本节课的教学重点是：在方程和模型思想的指导下，建立一元二次方程模型解决实际问题.

二、目标和目标解析

1. 目标

本节课的教学目标设定如下.

（1）能在实际情境中建立一元二次方程模型解决问题.

（2）进一步体会方程建模思想.

（3）体会分析问题和解决数学问题的一般步骤.

2. 目标解析

达成目标（1）的标志：能把实际问题转化为一元二次方程，得到方程的解后，通过实际意义的解释最终解决问题. 能系统分析数量关系，寻找相等的两个量的决定要素，设未知数，用含未知数的代数式表示相关量，用等号连接相等的两个量，最终列出一元二次方程.

达成目标（2）的标志：学生能在解决实际问题的过程中应用方程思想，在解决问题后对解题过程和方法进行反思总结，进一步体会方程的应用价值.

达成目标（3）的标志：学生能通过问题的解决和反思总结，提炼出分析问题和解决问题的一般步骤，即“理解问题—制定计划—实施计划—回顾”.

三、教学问题诊断分析

学生之前对实际问题的解决经历较少，不知道从哪里着手，朝哪个方向思考，这是学习的难点. 另外，虽然学生在小学阶段接触过“线段比”，但这个内容在初中阶段安排在“图形的相似”中，此时学生还没有形成对线段比含义的深刻理解，导致学生在分析等量关系时存在困难，而且找等量关系列方程一直是学生学习的难点. 因此，本节课的教学难点是：在实际问题情境中分析等量关系、列方程.

用波利亚“怎样解题表”中的步骤指导学生选择解题方法，指导学生建立方程模型，这是帮助学生突破难点的有效策略.

四、教学过程设计

1. 创设情境，呈现问题

情境：每一本书都有精美的封面设计. 探究：如图1，要设计一本书的封面，封面长27 cm、宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形. 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计这个封面四周边衬的宽度？（结果保留小数点后一位.）

师生活动：教师介绍问题的背景，引导学生初步阅读问题.

【设计意图】体会情境的意义与价值，激发学生解决问题的兴趣.

2. 理解问题

问题1：上述情境中，我们要解决什么问题？有哪些约束条件？

师生活动：教师引导学生通过阅读问题明确目标和约束条件.

目标：给出设计方案，求出封面的左、右边衬和上、下边衬的宽.

约束条件：封面是长、宽分别为27 cm、21 cm的长方形，中央长方形的长是封面的长减去上、下边衬的宽度，中央长方形的宽是封面的宽减去左、右边衬的宽度，两个长方形的长宽比相等，中央长方形的面积是封面面积的四分之三.

【设计意图】引导学生明确问题的目标与约束条件，进一步理解问题.

3. 制订计划

问题2：根据情境的目标和约束条件，你准备用什么方法解决问题？

师生活动：教师引导学生进一步分析问题中的目标与约束条件，明确问题的结构，选择适当的方法，规划解决问题的思路.

选择方法：决定面积的要素是长方形的长和宽，虽然长方形的长和宽不是等量变化的，但是这种变化可以用“两个长方形的长宽比例相同”这一约束条件来确定. 因此，可以设上、下边衬或左、右边衬中的一个为未知数，或根据比例关系设未知数，再根据中间长方形的面积和封面的面积关系列方程解决问题.

规划思路：教师引导学生回顾建立方程模型解决问题的一般思路，如图2所示.

[实际问题][方程问题][实际问题的解][方程的解] [设未知数，列方程][解释实际意义][解方程][图2]

【设计意图】引导学生分析目标与约束条件之间的关联结构，并选择适当的方法和思路制定解决问题的计划.

4. 实施计划

问题3：现在大家能独立解决这个实际问题了吗？

师生活动：学生独立解题，教师巡视并帮助思路受阻的学生.

分析：因为封面长方形的长、宽比为27∶21 = 9∶7，所以中央长方形的长宽比也是9∶7. 设中央长方形的长和宽分别是9a cm和7a cm，由此得到上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是[1227-9a ∶ 1221-7a=][9∶7.]

学生列方程步骤如下.

步骤1：合理设未知数.

设左、右边衬的宽为7x cm，上、下边衬的宽为9x cm，则中央长方形的长为[27-18x cm]、宽为[21-14x cm].

步骤2：根据等量关系列方程.

列方程[27-18x21-14x=34×27×21].

步骤3：解方程得到方程的解，解释实际意义得到实际问题的解.

整理，得[16x2-48x+9=0]. 解出两个根，舍去不符合题意的根，最后根据实际意义得到左、右边衬的宽约为1.4 cm，上、下边衬的宽约为1.8 cm.

【设计意图】学生通过独立思考，学会用数学模型表达和研究问题.

5. 回顾

教师用如下问题引导学生反思、总结问题解决的过程，积累分析问題和解决问题的活动经验.

问题4：你还能列出不同的方程解决这个问题吗？

问题5：在解决这个问题的过程中你是怎样想的？

问题6：能说说你是怎样列出方程的吗？

师生活动：首先，引导学生回顾和反思解题过程，检验解一元二次方程的正确性，检验方程的解与实际意义是否符合;其次，思考是否有不同的解决问题的方法，进而总结实际问题情境下如何将方程模型作为分析问题和解决问题的工具，总结出解决实际问题的一般思路（理解问题—制定计划—实施计划—回顾），以及建立方程模型解决问题的一般思路（实际问题—设未知数、列方程，把实际问题转化为方程问题—解方程，得到方程的解—解释方程解的实际意义，得到实际问题的解），让学生体会到，在解决实际问题中，往往需要将模型思想作为重要的工具嵌入到分析问题和解决问题的活动中. 在这个过程中，要留给学生充足的时间，让学生经历用不同方法解决问题并进行评价的过程.

【设计意图】通过反思总结，提炼解决问题的一般步骤，深化学生对模型思想的理解，为今后用模型思想解决问题积累可迁移的数学活动经验.

6. 迁移应用

对一幅画进行装裱更能体现出协调美. 现要在一幅长为120 cm、宽为60 cm画的外周装裱白色的边衬. 如果边衬的左、右宽是上、下宽的一半，且边衬面积是原画面积的四分之一，试给出设计方案（数据精确到0.1 cm），画出设计草图，并标上数据.

要求学生独立思考，求出边衬的宽，并画出设计草图.

【设计意图】把提炼出来的解决问题的步骤和建立方程模型的方法迁移应用到相关联的情境中.

7. 课堂小结

在小结时，教师提出如下问题引导学生反思回顾.

（1）本节课我们解决了哪些问题？

（2）是按照怎样的步骤解决这些问题的？

（3）解决问题的过程中是怎样建立方程模型的？

五、教学反思

运用方程模型解决实际问题，能融合发展学生的模型思想，提升学生分析问题和解决问题的能力. 在解决实际问题情境的过程中，由于情境并非直接指向用方程来解决，所以需要分析情境，明确目标和约束条件，在进行问题结构和目标导向分析后发现需要用方程刻画问题中的数量关系，确定解决问题的基本方向.

那么，什么因素决定了要利用方程模型解决问题？事实上，含有未知量的代数式之间有相等关系时适合用方程模型来解决问题. 要知道问题中是否有这种特征，需要在分析问题的数量结构，明确构成要素、决定要素（位置数）、目标要素的基础上，从而确定是否选择用方程模型解决问题.

在实际问题解决的过程中，用波利亚“怎样解题表”中的步骤引领学生分析问题的结构，明确用方程模型解决问题的方法，让学生经历“理解问题—制定计划—实施计划—回顾”的过程，在制定计划的过程中嵌入方程模型解决问题，在回顾阶段总结、提炼步骤方法，并进行迁移应用，这是在用方程模型解决实际应用教学中比较可行的教学策略.

参考文献：

[1]李杰. 初中数学课例研究与典型课评析[M]. 福州：福建教育出版社，2016.

[2]林革. 波利亚和解题表[J]. 中学数学杂志（初中），2016（1）：65.

[3]于虹. 初中数学建模教学研究[D]. 呼和浩特：内蒙古师范大学，2010.