指向高阶思维的数学问题设计

翁学进 何娜

摘  要：發展学生的高阶思维是当前初中数学解题教学的重要价值取向. 这种高层次目标的达成，需要以高标准、高质量的教学活动为支撑. 以“二元一次方程（组）”的复习课的数学问题设计为例，阐述其对改进数学课堂结构、教学形态和发展学生高阶思维的作用和价值.

关键词：高阶思维;复习教学;问题设计

高阶思维是指发生在较高认知水平层次上的心智活动或认知能力，主要指创新能力、问题解决能力、评价能力和批判性思维能力. 在数学复习课中，学生高阶思维的发展过程需要教师给予充分关注. 传统的初中数学复习课教学往往采用“知识梳理—例题讲解—反馈练习—归纳小结”的模式;教学内容过分注重学生对数学概念的记忆及对数学规律的应用，而忽视了教学过程中对学生分析、评价、创造等高阶思维能力的培养;教学活动以学生机械记忆、模仿操练为主，学生学习缺乏主动性. 这种过于侧重对知识的记忆、典型例题的讲解和常规变式的操练的教学方式，导致学生头脑中无法形成网状的有序知识结构，从而分析问题、解决问题、批判性思维和创造性能力等高阶思维能力得不到发展.

教师要尊重学生的主体地位，以学生的认知发展水平和已有经验为基础，处理好思维层次与知识探究的关系，注重知识发生、发展的形成过程，留给学生足够的时间和空间经历观察、猜测、计算、推理、验证的学习过程，以自主探究、合作交流的方式找到条件和结论的逻辑通道. 文章以“二元一次方程（组）”的复习课为例，通过创设“编制开放性问题实例，交流评价问题实例，拓展问题实例探索”等序列化的教学任务，完成“根据概念编制准确的问题实例，根据命题解释所编制的问题实例，以及增设条件完成一些带有认知冲突的问题”的学习过程，促进学生高阶思维能力的发展，提升复习教学的有效性.

一、编制问题实例是培养高阶数学思维的基础

传统复习课中，教师对数学概念、规律的复习，往往是通过选择题、判断题等理解类思维层次的教学任务加以完成，学生只需在若干个实例中，辨析出符合命题要求的例子，即可完成任务. 复习课上，学生更多的是回忆已有的知识和经验，重复操练，学习效果并不理想. 教师可以通过编制开放性问题实例，为培养学生的高阶数学思维奠定基础.

1. 编制实例要融合学生的知识与经历

编制开放性问题实例，是指学生根据教师给出的某个初中数学概念或有规律的开放性问题，创造性地编制、提出切合自己的实例，这个过程就需要融合学生的已有知识、生活经验、学习经历等，从而增加思维的深度，使高阶思维能力得以锻炼.

2. 编制实例要紧扣知识的链接

教师在设计开放性问题的编制任务时，需要捕捉本单元的核心概念、规律，以此发散，逐步递进，形成能够涵盖整个单元重点知识的编制任务. 通常，教师可以通过“捕捉核心概念、规律—寻找概念群、规律群的连接点—遴选实例”的方式，有效创设适切复习课教学目标的任务.

3. 编制实例要注重生成资源与能力发展

在开放性问题实例的编制中，教师要注重课堂生成资源，将学生有特点的实例和有错误的实例及时进行讨论、辨析，进一步巩固学生对核心概念的理解.

“二元一次方程（组）”是浙教版《义务教育教科书·数学》七年级下册第二章的内容. 在“二元一次方程（组）”的复习课中，复习的知识点为二元一次方程（组）的概念及解，体会消元思想. 二元一次方程（组）是对一元一次方程的延伸，也是多元一次方程组的基础. 二元一次方程组的通用解法是利用消元（加减或代入）的数学思想方法进行求解. 因此，教师可以设计一个开放性问题，让学生根据自己的理解写出一个二元一次方程组.

问题1：写出一个关于x，y的二元一次方程组.

教学分析：学生回顾、思考后，写出如下几组二元一次方程组.

第1组：[3x+y=10].

第2组：[2x+y=1+2y2].

第3组：[2x-3y=1，x+y=2;] [2x-3y=1，x=75;] [2x-3y=1，x+y=2，3x-2y=3.]

第4组：[3x-2y=x+3y=6].

第5组：[2x-3y=2，x+z=1.]

第6组：[x+y=2，x2-xy-2y2=6.]

让学生写出一个关于x，y的二元一次方程组，能有效唤醒学生对二元一次方程组的定义的理解，并分析其与二元一次方程的区别. 这比让学生直接回忆二元一次方程组的定义，或教师直接给出题目“选出下列哪些是二元一次方程组”更能吸引学生的参与性. 教师还可以根据学生给出的答案，了解学生对二元一次方程组的掌握情况，了解学生对概念的内涵与外延的认识是否精准，并对出现的答案进行分类. 这些课堂生成也是后续课堂学习的重要资源.

二、评价实例是培养高阶数学思维的关键

在传统教学中，教师在学生回答问题后往往以“对、错、很好、真棒”等话语对学生的学习情况给出粗线条的评价. 这类笼统的评价方式缺乏多元化和多样化的特征，无法激发学生的学习兴趣，也无法促进学生高阶思维的发展. 通过开展小组交流、相互评价，在交流评价中进一步理解概念的内涵，可以培养学生的高阶思维能力.

1. 评价实例要突出对比与切合

评价实例，即让不同的学生对编制实例任务中的生成性资源加以评价. 在评价过程中，凸显出评价内容和数学知识之间的关联，并总结评价事物的基本模式和方法. 评价过程应突出和体现数学问题解决的优劣对比、多元对比，以及对数学概念、规律的理解，实例切合程度等方面.

2. 评价实例要体现精致与思维

研究表明，辨析和评价实例是帮助学生理解核心概念的有力工具，对学生是否真正理解概念的内涵和外延是个考验. 通过辨析，达到去伪存真、去粗取精、概念的精致化效果. 同时，在学生评价环节中，通过有效追问引导学生从不同角度思考问题，运用多种方法解决问题，从而提升学生思维的灵活性. 有效追问应指向学生的思维，帮助学生搭建思维发展的“脚手架”，在思维发展的生长处追问，在思维发展的疑难处追问，促进学生思维水平的提升.

3. 評价实例要渗透依据与框架

开展小组内交流、评价，要针对实例提出其亮点在何处，是否有错误，是什么原因造成这样的错误. 通过错误的归因分析，让学生在修正错误的过程中渗透依据、学会分析和评价，进一步理解概念的内涵.

在“二元一次方程（组）”的复习课中，在学生分别写出一个关于x，y的二元一次方程组后，教师要求学生在小组内进行交流分享、相互评价.

问题2：以上给出的6组关于x、y的二元一次方程组对吗？为什么？如果正确，试求出它的解.

教学分析：学生对以上给出的6组二元一次方程组判断如下.

第1组是二元一次方程，它有无限多组解.

将第2组进行化简后，发现是一元一次方程，它的解是[x=14].

第3组都是二元一次方程组，虽然它们形式不同，但它们的解都是[x=75，y=35.]

第4组是二元一次方程组，它的解是[x=3011，y=1211.]

第5组是三元一次方程组.

第6组是二元二次方程组. 通过对方程[x2-xy-2y2=][6]左边进行分解，可得[x+y=2，x+yx-2y=6.] 可以转化为[x+y=2，x-2y=3.] 从而可得原方程组的解为[x=73，y=-13.]

给出第1组，说明学生没有理解方程组的概念;对于第5组，说明学生对二元一次方程组的“元”理解不到位;对于第6组，说明学生对二元一次方程组的“次”理解不到位.

采用学生自己写的二元一次方程组这一生成性资源，容易让学生产生亲切感，对实例的评价产生期待. 教师先让学生在小组内进行实例交流、相互评价，并写出自己评判的依据. 学生在评价实例的过程中会不断修正自己的评判依据，加深对二元一次方程（组）定义内涵与外延的理解. 然后，通过求解自编方程组的任务，激发学生的学习兴趣，通过辨析有效促进学生数学思维的灵活性和敏捷性. 同时，回顾二元一次方程组及求解的基本思路和基本方法，并针对学生给出的多样化的方案，及时进行分析、梳理，形成整式方程（组）单元的知识结构思维导图，如下图所示.

三、拓展实例是培养高阶数学思维的重点

美国学者瑞斯尼克曾指出，高阶思维具有不规则性和复杂性，能够产生多种解决方法，需要多种应用标准，自动调节，且包含不确定性. 在传统教学中，教师为了顺利完成教学任务，往往提供给学生的问题是条件完备、结论唯一的良构型问题，这种做法在很大程度上限制了学生思维的灵活性和批判性，忽视了对学生高阶思维的培养.

1. 拓展实例要聚焦层次与冲突

在编制和评价实例之后，教师可以对实例进行调整，设计条件或结论不完备、解题策略多元、能反映学生能力差异的开放性问题，让学生经历观察、分析、猜想、推理等探究活动，通过增设条件对问题进行加工、补充、完善，形成具有层次性的问题链，使学生在问题的探究过程中产生认知冲突，从而形成强烈的学习动机，以触发高阶思维的训练.

2. 拓展实例要建立成分与失衡

认知心理学研究表明，一旦实际情况与预想不一致时，人们会设法通过各种调整来减少所产生的不适感. 根据逻辑关系，一个数学问题的成分可以划分为“必要成分”和“充分成分”，教师在分析出数学问题的结构成分之后，就可以针对每个成分内容，创设“充分成分缺失、必要成分限定、解决途径多元”的认知失衡任务，以激发学生的学习动机，促进学生的高阶思维水平的发展.

3. 拓展实例要进行增设与创新

在复习课的教学中，针对开放性实例，教师还需要对其进行适当拓展，对问题的条件进行增设与创造，以促进学生深度思考，促进数学思维层次的提升.

例如，在以上“二元一次方程（组）”的复习课中，在学生写出方程组并交流分享、相互评价后，教师还要进行追问和拓展，提供让学生创造的机会.

问题3：对于方程[3x+y=10]和方程组[2x-3y=2，x+z=1，] 分别添加一个什么条件后，它的解是有限组，并求出它的解.

教学分析：（1）将方程[3x+y=10]添加一个条件，学生给出以下两种添加方案.

方案1：增设解为正整数的条件，即求[3x+y=10]的正整数解. 由尝试法可求得满足条件的解为[x=1，y=7;] [x=2，y=4;] [x=3，y=1.]

方案2：增设一个二元一次方程，如[x-y=1]，组成二元一次方程组[x-y=1，3x+y=10]来求解. 由消元法可以求得它的解为[x=114，y=74.]

（2）对于方程组[2x-3y=2，x+z=1，] 只需再增设一个一次方程，如[x+y-z=1，] 从而组成三元一次方程组[2x-3y=2，x+z=1，x+y-z=1.] 通过消元法可以求得它的解为[x=1，y=0，z=0.]

问题4：已知关于x，y的二元一次方程组是[ax-2y=6，3x+y=10，] 你能求出a的值吗？

问题4给出的题干“故设漏洞”. 学生思考片刻后发现要求出a的值还缺少条件，从而产生认知冲突. 此时，教师再引导学生增设条件，编制具有层次性、个性化的问题链.

问题4改为：已知关于x，y的二元一次方程组是[ax-2y=6，3x+y=10，] 且满足      ，求出a的值.

教学分析：学生思考后，纷纷写出了增设的条件. 下面列举部分学生增设的条件.

方案1：增设方程组的一个解，如[x=3，y=1]是方程组的解.

注意：由于解必须满足3x + y = 10，因此个别学生会发现添加的这个条件是多余的.

方案2：增设方程组的部分解，即给定x或y的一个值，如x = 3.

注意：在方案1的基础上，发现可以精简条件，只需给出x或y其中一个值即可.

方案3：增设一个关于x和y的关系式，即增设关于x和y的一个二元一次方程，如x + y = 0.

注意：增设的关系式必须和3x + y = 10构成的新方程组有唯一解.

方案4：增设一个关于ax和y的关系式，如ax = y.

注意：在方案3的基础上，学生发现增设的条件与ax - 2y = 6构成新方程組能消去ax，就能求出y的值.

……

学生从“增设方程组的一个解”“增设方程组的部分解”“增设关于x和y的关系式”等不同视角发现问题、提出问题，激活了二元一次方程组与相关知识的串联与重组. 在学生的对话和思维碰撞中，教师要引导学生回归二元一次方程组的本质——消元思想，从而顺利解决认知冲突，同时提升学生的批判性思维.

问题5：已知关于x，y的方程组[x+3y=4-a，x-y=3a，] 其中[-3≤a≤1]，你能提出什么数学问题？

教学分析：学生思考后，纷纷提出许多数学问题. 下面列举了部分学生提出的问题.

提问1：判断方程组的解及解的范围. 例如，判断[x=3，y=1]是原方程组的解吗？

将[x=3，y=1]直接代入即可判定其不是原方程组的解.

提问2：给定[a]的值，求原方程组的解及解的特征. 例如，当[a=-2]时，求原方程组的解.

当[a=-2]时，方程组转化为[x+3y=6，x-y=-6，] 由消元法可以求得解为[x=-3，y=3.]

提问3：给定x的取值范围，求y的取值范围. 例如，当x ≤ 1时，求y的取值范围.

由消元法解得[x=2a+1，y=1-a.] 又因为[-3≤a≤1]，且x ≤ 1，所以得到[-3≤a≤0]，从而得1 ≤ y ≤ 4.

……

学生提出的问题呈现多样化、多元化和多层次性.通过提出问题，学生内化了方程知识，拓展了思考方法.

在初中数学复习课中，教师可以设计低起点、宽入口、重探究的开放性问题，顺应数学知识的形成过程，顺应学生思维发展的规律，促进学生深度学习，从而促进学生高阶思维的发展.

参考文献：

[1]章建跃. 章建跃数学教育随想录[M]. 杭州：浙江教育出版社，2017.

[2]姜晓翔. 指向高阶思维的“六环”解题教学法探析[J]. 中国数学教育（初中版），2020（10）：26-30.