“生态课堂”视角下的高中数学概念课的教学思考

苏永强

[摘  要] 21世纪以来，基础教育改革的浪潮席卷全国. 新课程改革背景下的课堂教学不再是学生被动接受知识的活动. 华东师范大学叶澜教授提出了“从生命的高度用动态的观点看待课堂教学，课堂应呈现生命态，是发展生成的，具有创生性”的要求. 将生态理念引入课堂教学实践，把课堂还给学生，可以让课堂焕发出生命的活力. 本文以笔者一堂“送培送教”课《抛物线及其标准方程》为例，谈谈“生态课堂”视角下的高中数学概念课如何进行有效的教学设计.

[关键词] 生态课堂;概念课设计;有效教学

[?]生态课堂的基本内涵

特级教师詹明道在《走向数学生态课堂》中说道：“数学生态课堂是以生命教育与教育生态观为基础，以实现生命发展为价值追求，让师生在本真、自然、和谐的环境里富有个性地、自主地实现课程、师生、知识、社会多元多向多层次的互动，不断地开发潜能，开启智慧，创造自我，改善和发展生命，取得数学素养和生命质量整体提升的课堂. ”

[?]数学生态概念课的初步探索

波利亚指出“学习最好的途径是自己去发现”. 中学数学是由概念、命题和推理组成的逻辑体系. 概念、命题和推理是逻辑思维的三大基本形式. 其中概念是逻辑思维的细胞，是反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维过程. 数学概念的发展历程是一个自然生长的过程. 因此，笔者认为，“生态课堂”视角下的概念课教学，应注重创设实际情境，提供活动体验过程，引导学生在问题驱动下思考，在合作探究中感悟，在合作讨论中思辨，通过直观感知、数学抽象进行知识建构，从而促进自身主动发展. 具体课堂实施过程可围绕以下环节展开：

（一）导疑——情境导入，提出疑问，创设数学生态课堂的“软环境”

在高中数学学习中，最重要的就是学生的学习兴趣，只有对数学学习充满兴趣，学生才能自觉主动地学习. 在已有生活经验和知识储备的基础上创设贴合生活、富有悬念、生动活泼的教学情境，有利于激发学生探究欲望和学习好奇心，有利于学生问题意识的形成. 因此在导疑这个环节中，让学生明确学习本课的三维目标后，笔者出示了以下问题：

【创设情境，提出问题】

1. 出示生活中一些熟悉的抛物线，观察赵州桥桥拱的形状是什么曲线. 通过赵州桥的“陷阱”，激化学生的认知冲突，激发学生的探索欲望，并由此提出问题.

2. 提出问题1：具备什么几何特征的曲线才可以称做抛物线呢？你能写出它的方程形式吗？

设计意图：通过学生回答和图片展示，使学生对抛物线有感性认识，引发学生思考，让学生体会到“抛物线在生活中有广泛的应用”，激发学生学习抛物线的兴趣.

（二）引探——自主学习，探究问题，凸显数学生态课堂的“生本性”

【活动探究，描绘图形】

学生动手，在图1中，按步骤找出相应点并描绘图形轮廓.

图形说明：F是定点，l是定直线，KF⊥l，在直线l上依次取出点H（i=1，2，…，6），过H作l的垂线，如图1.

作图步骤：

1. 连接HiF（i=1，2，…，6）;

2. 作HiF的中垂线交相应的垂线l于点M，并用光滑的曲线将M点连接起来.

学生作图完成后，用几何画板展示成图过程.

设计意图：培养学生的动手能力，从作图中直观感受动点到定点、定直线之间的关系.

【特征分析，尝试定义】

问题2：（1）曲线是由哪个点运动产生的？

（2）点M运动过程中，哪些几何图形没有发生变化？

（3）怎么用等量关系刻画点M的运动？

（4）MH位置始终在变化，但它与直线始终保持怎样的位置关系？

（5）|MH|实际上就是动点M到定直线l的________？

由学生尝试概括抛物线的“定义”：

我们把平面内与一个定点F和一条定直线l距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

（三）释疑——主动展示，阐释疑点，凸显数学生态课堂的“生动性”

生态课堂的“生动性”是指教学方法的多样化，体现学习方式的多样性与主体性、协作性与交流性、体验性与感悟性. 在这个环节中，教师应紧扣凸显学习目标的共性问题，鼓励学生阐释问题，教师适当点拨. 学生获得新知识的同时，通过优化内容、巧妙设疑、激发想象等方式，不断激发学生提出高质量的问题，从而让学生的一切表现因精彩而使课堂变得生动.

【问题探究，完善定义】

问题3：（1）如果改变定点F和定直线l的距离，即改变

KF

的大小，抛物线会发生什么变化呢？

（2）如果

KF

继续变小至0，即定點F在定直线l上，这个时候形成的曲线是什么图形？

完善抛物线的定义：（动画演示）

我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线. 点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线，

定点F到和定直线l的距离用字母p来表示，即p=

KF

.

【类比探究，推导方程】

1. 小组讨论，拟订方案

问题4：

（1）求曲线方程的基本步骤是什么？

建系—设点—列式—代入—化简—证明.

设计意图：回忆前面所学知识，做好知识准备.

（2）求抛物线的方程，关键是建立适当的坐标系问题. 借鉴椭圆、双曲线的建系方案，如何选择合适的坐标系会更好呢？

学生容易提出如下三种方案（预案）：

方案一：以l所在的直线为y轴，以K为原点建立直角坐标系（其优点是“好想”）;

方案二：以KF所在直线为x轴，以F为原点建立直角坐标系（其优点是“好算”）;

方案三：以KF所在直线为x轴，以中点为原点建立直角坐标系（其优点是结果简洁）.

2. 分工合作，推导方程

学生在以上三种方案下得出三个不同的方程：

方案一：y2=2px-p2（p>0）;

方案二：y2=2px+p2（p>0）;

方案三：y2=2px（p>0）.

设计意图：让学生亲身经历抛物线方程的推导过程，加强学生对坐标法的认识，培养学生主动学习、合作学习的精神，有利于难点的突破.

3. 师生共议，确定标准

对比研究，确定标准方程：y2=2px（p>0）.

特征：开口向右，焦点坐标为F

，0

，准线方程为x=-.

4. 类比探究，完成建构

问题5：由前面学过的知识，我们知道椭圆和双曲线的标准方程的两种形式实际上是由焦点的位置确定的. 那么根据抛物线的焦点可能所处的位置，能否写出其他形式的标准方程呢？

设计意图：用类比的方法，鼓励学生进行发散思维，培养知识迁移的能力.

问题6：（1）四种标准方程的左边和右边次数是怎样的？

（2）如何由方程确定抛物线的焦点位置及开口方向？

设计意图：培养学生观察、类比、概括的能力，突出抛物线方程和焦点、准线的内在联系，有利于学生知识的掌握.

5. 回顾小结，思考提升

一个定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线.

两种思想：数形结合思想;分类讨论思想.

三项注意：①定义的前提条件：直线l不经过定点F;

②p的几何意义是焦点到准线的距离;

③求抛物线焦点坐标、准线方程、标准方程时应“先定位，再定量”.

四种形式：抛物线的标准方程有四种形式.

设计意图：培养学生梳理知识点，总结知识内容，建构知识体系的能力.

（四）精练——当堂训练，提升能力，凸显数学生态课堂评价的“生命性”

生命性是生态课堂的前提. 师生共同获得欢乐，学生收获信心，让生命自由成长是生态课堂追求的终极目标. 因此在精练这个环节，教师应更多关注学生的个体差异和不同的学习需求. 通过例题讲解示范，方法总结提炼，合理分层训练，进行及时反馈和自我评价，让学生在运用新知识解决实际问题的同时能加以融会贯通，从中收获成功的喜悦，享受学习的乐趣.

【例题解析】

例1：（1）已知抛物线的标准方程是y=x2，求它的焦点坐标和准线方程;

（2）已知抛物线的焦点坐标是F（-2，0），求它的标准方程和准线方程.

例2：已知抛物线的焦点在x轴正半轴上，焦点到准线的距离是，求抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程.

学生总结思路：第1步：将抛物线方程化为标准形式;第2步：求出的值;第3步：确定焦点位置，画出草图;第4步：求出焦点坐标和准线方程.

设计意图：题目的设计由易到难，层层深入. 通过对解题方法的总结，使学生形成解题技能，提高解题能力.

【巩固练习】

1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

（1）y=-4x2;（2）y2=4x.

思路：先将抛物线方程化成标准形式，数形结合求出焦点坐标和准线方程.

2. 根据下列条件求抛物线的标准方程：

（1）焦点F（-1，0）;（2）准线：y=2.

思路：先定型，再定量. 由焦点位置或准线方程确定抛物线的形式，然后求出p的值.

设计意图：当堂检测，反馈效果，总结方法，提升解题能力，感受成功的喜悦.

【拓展提升】

3. 求顶点在原点，经过点P（4，2），且焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程.

设计意图：满足层次较高学生的学习要求，渗透数形结合的思想和分类讨论的思想.

[?]數学生态概念课教学的反思

数学概念的形成是在一定背景下探索，自然生长和再创造的过程，最终以定义的形式揭露其本质特征. 正确理解数学概念并能加以运用，首先必须明确这个数学概念的内涵——所有对象的共同本质属性，及其外延——所有对象的范围. 核心素养导向下的新高考，不再是对单一知识点的强化记忆和简单运用，而更多关注知识的基础性、综合性、应用性和创新性，关注知识的交汇和迁移，光靠机械模仿训练，生搬硬套公式，高考注定失败. 可如今一些数学课堂，教师满堂灌，忽视概念教学，靠刷题的现象屡见不鲜. 由于学生没有对概念的本质和外延有足够的理解、把握，知其然不知其所以然，遇到新情景题、变式题，就束手无策. 因此在高中概念课教学中，数学教师应遵循学生数学学习的认知发展规律，注重知识的预设和生成，深入挖掘知识的内涵与联系，还原数学概念自然生长的过程，让学生在知识的获取过程中感到一切都来得那么自然和原生态.