一种基于附加重力场的铸件拓扑优化方法

马 晶， 亢 战

(大连理工大学 工程装备结构分析国家重点实验室，大连 116024)

1 引 言

连续体拓扑优化研究可追溯到Cheng等[1]关于实心弹性薄板刚度最大化设计这一近代布局优化的先驱性工作。目前，拓扑优化已发展成为众多工程设计领域支撑结构创新设计的关键技术之一[2,3]。但是，不同制造工艺的约束建模，仍是拓扑优化方法研究关注的一个重要方向。铸造工艺广泛应用在汽车机械、航天航空和土木工程等领域的金属结构及零件制备中。不同类型的铸造(金属铸造、砂型铸造和熔模铸造等)对铸件拓扑和形状设计提出了不同的限制。本文仅考虑永久性铸模的工艺约束，要求在凝固后铸模应可拆卸,而不会损坏铸件或模具[4]。在不使用型芯的情况下，铸件满足一定的几何特征才能避免脱模时铸件卡住模具。铸件的这种可成型条件称为铸造约束。

铸造约束要求铸件具有两个特征(图1)，一为单连通性，即无内部孔洞(internal cavity)；二为可脱模，即无侧凹(undercut)。

图1 铸件脱模

为了将拓扑优化应用在铸件设计中，学者们针对不同的优化方法提出了多种处理方式，主要分为基于单元密度的方法、基于方向矢量点积的方法和基于标量场的方法三类。

基于单元密度的方法是最早提出的铸件拓扑优化方法，其直接对设计结构的单元密度进行约束。Zhou等[5]最早提出，通过约束单元密度在脱模方向上单调减小可以抑制内部孔洞和侧凹。Harzheim等[6]将该思路应用于基于模拟生物生长规则的密度法，通过限制单元由外向内生长以及仅允许在生长方向上增减单元等，得到了可铸造的优化解。这种单元密度约束方法还扩展到了多个任意生长方向[7]，并且运用到动力学结构优化中[8]。Gersborg等[9]将每排单元的密度转化为控制实体和空隙界面位置的单个设计变量。类似地，映射方法(Projection schemes)利用给定的映射函数控制设计的几何特性。Guest等[10]将铸造视作铣削的逆过程，给出了一种类似铣削头形状的映射函数，同时实现尺寸控制和铸件优化。Vatanabe等[11]利用映射方法实现了铸造、锻造和冷轧等多种工艺约束下的结构拓扑优化。

水平集模型能更清晰描述结构边界，可用来定义铸造约束。Xia等[12]最早提出，从可行解出发，约束水平集演进速度方向为分型方向，可以得到可铸造的优化结构，随后又将分型方向作为设计变量[13]。Allaire等[14]认为该约束是过度约束，并提出了一种新的点约束形式，限制从边界点出发沿着分型方向的线与结构相交。Wang等[15]提出了一种积分形式的约束，即要求脱模方向与水平集梯度方向单位矢量的点积在水平集与其偏置形成的窄带上的积分小于0。Qian[16]采用类似思路，在密度优化法框架下通过约束密度场梯度和指定方向矢量的点积的积分实现了悬垂角和侧凹的控制。

第三类方法通过引入虚拟物理场对铸造约束进行描述。Liu等[17]提出了虚拟温度场法(VTM)，将孔洞设为自发热高导热材料，通过设计域的温度识别增材制造结构的封闭孔，并在后续工作中通过约束人为设定的最高温度实现脱模约束[4]。受此启发，Wang等[18]提出了基于静电场的铸造约束方法，同时实现了分型面的控制。在这两种基于标量场的方法中，无论是温度场还是静电场分析都需要求解与位移场分析不同的偏微分方程。

本文提出一种基于附加重力场的铸造约束方法，利用逆结构的柔顺性函数，将内孔及侧凹抑制表达为柔顺性这一积分量的约束，从而实现铸件的拓扑优化。该方法的优点是，只需基于位移场的解构造单个铸造约束，并且无需计算铸件边界法向方向，便于数值实现。

2 附加重力场方法

图2 优化结构及其逆结构

附加重力场方法是利用逆结构的力学解对优化结构的可铸造性进行量化，逆结构与待优化结构的位移场是独立求解的。逆结构的部分边界固定，承受由其相对密度决定的附加重力载荷。逆结构可以类比于模具，而附加重力场方法会使逆结构中不可脱模的部分产生较大的变形。固定边界和重力载荷方向由预定的分型方向决定，其中分型(脱模)方向即模具移除的方向；固定的边界可以承受载荷，即模具可以沿着该边界垂直向外移除。如 图2 所示，以上下分型设计为例，对上下边界进行固定，并施加竖直向下的重力载荷。同理，若希望铸件左右分型，则固定左右边界并施加横向的重力载荷。

需要指出的是，本文没有指定分型面，只给定了分型方向，且要求分型方向与设计域边界垂直。以图2(b)的逆结构为例，左上角部分可以向上或者向左脱模，但是内部孔洞和右下角的部分在上下和左右方向都不可脱模。当设定单个脱模方向的时候，与其固定边界相对的边界就是分型面(可参见4.2节)；当设定多个脱模方向时，优化结果的分型面不一定是平面。

2.1 无内孔约束

图3 含内孔铸件及其逆结构

2.2 无侧凹约束

如图4所示，类比VTM[4]，本文引入参数α<1，令逆结构的材料剪切模量G*=αG0，G0为各向同性材料的剪切模量。

图4 有侧凹的铸件及其逆结构

3 铸件拓扑优化

3.1 材料插值

(1)

式中Emin和E0分别为弱材料和结构材料的杨氏模量,q为惩罚因子，本文取为3。

3.2 优化列式

本文以最小化结构柔顺性为目标，对铸件进行拓扑优化。考虑的拓扑优化数学模型如下，

(2)

结构的刚度阵、逆结构的刚度阵和载荷向量分别为

(3)

为了避免棋盘格并减少灰度单元，得到清晰的拓扑结果，本文采用密度过滤以及保体积的 Hea-viside过滤[21]。密度过滤表达式为

(4)

其中权重w(xi)=R-‖xi-xe‖，R为过滤半径，Ne={i|‖xi-xe‖≤R}为以单元e为中心的过滤半径内包含的单元。

物理密度表达为

3.3 灵敏度分析

采用伴随法可得到柔顺性对于设计变量的灵敏度

(5)

经过类似的推导可以得到铸造约束的灵敏度,

(6)

4 数值算例

4.1 二维结构算例

4.1.1 平面梁结构的优化

图5给出了左角点受力的某平面梁结构。

图5 平面梁结构

表1 不同约束下的平面梁优化结构

Tab.1 Optimal structures of planar beam

under different constraints

Case 1Case 2Case 3Case 4Topology designCompliance78.84130.77168.70108.21NotesWithout casting constraintα=1,f∗yα=0.1,f∗yα=1,f∗x

图6给出了Case 2结构优化的迭代历史，Heaviside过滤的斜率β增加时，目标和约束值会出现突变，随着结构逐渐清晰，迭代趋于稳定。考虑铸造约束的三种结果都满足约束，但结构柔顺性有明显差异。引入了弱剪切条件之后，逆结构中与左边界相连的部分(图6(b))明显减小。这是由于逆结构中该部分弱剪切材料受到向下的重力会产生较大的剪切变形，而与上下边界相连的部分不会受此影响。

图6 平面梁结构Case 2的优化迭代历史

表2 三种构型的逆结构在不同的载荷和剪切模量下的柔顺性

Tab.2 Compliance of the inverse structures with different loads and shear moduli

4.1.2 四角简支板的优化

图7 四角简支板结构

分别给定上下左右四个方向和仅上下方向脱模的边界条件，得到了图8两个优化结果，都符合给定的脱模条件。

图8 不同脱模条件的优化结果

4.2 三维结构算例

本文在Comsol 5.6实现了三维算例的优化。图9给出了某四点简支三维结构，上表面中心点受集中载荷F=1，结构离散为500个边长为0.4的正六面体常应变单元。

图9 三维结构

在无铸造约束时最小化结构的柔顺性，得到 图10 的优化结果，从沿x方向的截面图10(c)以及侧视图10(b)可以看出，在结构的中心部分存在不完全封闭的孔洞，不满足可分型条件。

图10 无铸造约束的优化结果

采用本文方法，分别设置只能向上脱模和上下方向皆可脱模的边界条件，分别得到图11和图12的优化解。这两个优化结构没有内孔和脱模方向上的侧凹，因此满足可铸造约束。

图11 向上脱模的优化铸件结构(显示密度阈值为0.7)

图12 上下方向皆可脱模的优化铸件结构(显示密度阈值为0.7)

5 结 论

本文提出了一种基于逆结构概念和附加重力场的铸造约束方法。该方法对优化解的逆结构(可以看作是模具)施加重力，仅引入单个约束限制逆结构的最大柔顺性，即可实现对优化解中内孔和侧凹特征的抑制。二维和三维算例验证了方法的有效性。该约束作为一个独立约束，还适用于多种目标性能的结构拓扑优化问题。

与已有的虚拟标量场铸造约束方法相比，本文方法不是对设计域内响应的最大值进行约束，而是对积分型表达式(逆结构的柔顺性)进行约束。因此，该方法有利于优化求解过程的稳定收敛。

实际工程的铸件优化设计问题更为复杂。一方面，除了铸件本身，模具、型芯和浇铸凝固系统的设计也需要优化；另一方面，铸造工艺在持续发展，如结合3D打印技术的砂模铸造(3DSP[24])降低了对铸件的工艺约束要求，引入型芯也能提高铸件的复杂度。这些都为拓扑优化真正与铸造这一传统工艺紧密结合提出了新的问题。将本文方法拓展用于复杂铸件分型面和分型方向的优化，将是一个有意义的研究方向。

参考文献(References):

[1] Cheng K T,Olhoff N.An investigation concerning optimal design of solid elastic plates [J].Interna-tionalJournalofSolidsandStructures,1981,17(3):305-323.

[2] 边炳传,隋允康.多约束作用下连续体结构的拓扑优化 [J].计算力学学报,2010,27(5):781-788.(BIAN Bing-chuan,SUI Yun-kang.Topology optimization of continuum structures under multiple constraints[J].ChineseJournalofComputationalMechanics,2010,27(5):781-788.(in Chinese))

[3] 陈 峰,陈飙松,周大为,等.结构拓扑优化中变量连接算法研究与软件实现 [J].计算力学学报,2016,33(2):158-164.(CHEN Feng,CHEN Biao -song,ZHOU Da-wei,et al.Research and software implementation of variable connection algorithm for structural topo -logy optimization[J].ChineseJournalofComputationalMechanics,2016,33(2):158-164.(in Chinese))

[4] Li Q H,Chen W J,Liu S T,et al.Topology optimization design of cast parts based on virtual temperature method [J].CADComputer-AidedDesign,2018,94:28-40.

[5] Shyy Y K,Thomas H L.Topology Optimization with Manufacturing Constraints[A].World Congress of Structural & Multidisciplinary Optimization[C].2001.

[6] Harzheim L,Graf G.A review of optimization of cast parts using topology optimization [J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2006,31(5):388-399.

[7] Lu J N,Chen Y H.Manufacturable mechanical part design with constrained topology optimization [J].Procee-dingsoftheInstitutionofMechanicalEngineers,PartB:JournalofEngineeringManufacture,2012,226(10):1727-1735.

[8] Xu B,Han Y S,Zhao L,et al.Topology optimization of continuum structures for natural frequencies considering casting constraints [J].EngineeringOptimization,2019,51(6):941-960.

[9] Gersborg A R,Andreasen C S.An explicit paramete -rization for casting constraints in gradient driven topology optimization [J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2011,44(6):875-881.

[10] Guest J K,Zhu M.Casting and milling restrictions in topology optimization via projection-based algorithms [A].Proceedings of ASME 2012 International Design Engineering Technical Conference and Computers and Information in Engineering Conference [C].2012.

[11] Vatanabe S L,Lippi T N,de Lima C R,et al.Topo -logy optimization with manufacturing constraints:A unified projection-based approach [J].AdvancesinEngineeringSoftware,2016,100:97-112.

[12] Xia Q,Shi T L,Wang M Y,et al.A level set based method for the optimization of cast part [J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2010,41(5):735-747.

[13] Xia Q,Shi T L,Yu W M,et al.Simultaneous optimization of cast part and parting direction using level set method [J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2011,44(6):751-759.

[14] Allaire G,Jouve F,Michailidis G.Casting Constraints in structural optimization via a level-set method [A].10t hWorld Congress on Structural and Multidisciplinary Optimization[C].2013.

[15] Wang Y G,Kang Z.Structural shape and topology optimization of cast parts using level set method [J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering,2017,111(13):1252-1273.

[16] Qian X P.Undercut and overhang angle control in topology optimization:A density gradient based integral approach [J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering,2017,111(3):247-272.

[17] Liu S T,Li Q H,Chen W J,et al.An identification method for enclosed voids restriction in manufacturability design for additive manufacturing structures [J].FrontiersofMechanicalEngineering,2015,10(2):126-137.

[18] Wang C,Xu B,Meng Q X,et al.Topology optimization of cast parts considering parting surface position [J].AdvancesinEngineeringSoftware,2020,149:102886.

[19] Andreassen E,Clausen A,Schevenels M,et al.Efficient topology optimization in MATLAB using 88 lines of code [J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2011,43(1):1-16.

[20] Stolpe M,Svanberg K.An alternative interpolation scheme for minimum compliance topology optimization [J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2001,22(2):116-124.

[21] Xu S L,Cai Y W,Cheng G D.Volume preserving nonlinear density filter based on Heaviside functions [J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2010,41(4):495-505.

[22] Svanberg K.MMAandGCMMATwoMethodsforNonlinearOptimization[M].2007.

[23] Wang F W,Lazarov B S,Sigmund O.On projection methods,convergence and robust formulations in topology optimization [J].StructuralandMultidisciplinaryOptimization,2011,43(6):767-784.

[24] Wang J Y,Sama S R,Manogharan G.Re -thinking design methodology for castings:3D sand-printing and topology optimization [J].InternationalJournalofMetalcasting,2019,13(1):2-17.