乘方的指数与其幂的位数的关系

刘耕滔， 谢子康

(1.浙江师范大学 数学与计算机科学学院，浙江 金华321004；2.浙江师范大学 物理与电子信息工程学院，浙江 金华321004)

1 引 言

众所周知，bn(b>1，n∈)中随着n的增大，其幂呈爆炸式增长.但经过研究发现，对应于某些底数b，随着n的增大其幂的数位呈某种周期循环规律(如附录中的例子)，目前尚无理论明确指出其间到底存在怎样的规律.于是我们由此展开研究，探究了其背后的理论体系，并将其推广到了更一般的情况.

2 预备知识

定义1位数：一个自然数数位的个数. 进制：即进位计数制，带进位的计数方法.

定义2定义一种函数：取位函数(长度函数)

f(x)=lenA(x) (A为大于1的常数，x∈+).

该函数表示在A进制下x的整数部分的位数为f(x).

根据定义，当x∈[1,+∞)存在取位函数恒等式： lenA(x)= [logAx]+1.

定义3在A进制下，若以b为底的幂bn的整数部分位数相同的乘方的个数是其指数的一个周期函数时，则称A进制下bn的进位定律存在.在该周期函数的最小正周期内统计每一个位数所对应的指数的个数，将其数字按先后顺序记下，便构成了一个进位循环组.进位循环组中每一个数字(自然数)为进位循环段.表示进位循环组时，数字以西文逗号隔开，写在括号内.(如附录中的例子)(A,b∈且A,b>1，n∈).

进位循环组表示进位定律存在的乘方的幂的整数部分的周期性的进位模式.

例1(100.3)n(n∈) 随n增大时存在进位定律，进位循环组为 (4,3,3).

3 两个定理

定理1(满进定理) 设A,a>1，n∈，当且仅当A=a时，lenA(an)=n+1.

该定理结合数学归纳法易证.称A进制下an=An这种进位的模式为“满进”.由定理指出，一种进制下只存在一种满进情况.同样结合数学归纳法，可以由定理1推得以下五个等价命题：A,a∈且A,a>1，n∈.在A进制下，

(i)an为满进；

(ii)A=a；

(iii)an的幂的位数等于其乘方的指数+1；

(iv)an的进位循环组为(1)；

(v)an的幂分别为“1，10，100，…(A进制)”.

实际上遇到的更多情况并非是满进的，下面给出一条描述“非满进”(即b≠A)情况的定理.

定理2(非满进定理) 设A,b∈且A,b>1，n,l∈且l≥2，在A进制下：

若b>A，则存在n，l，使得lenA(bn+1)=lenA(bn)+l；

若b

证当b>A时，设A=a，r,m∈+，则∃r(r>1)，使得b=r·a，进而有b0=r0·a0，bn=rn·an.又因为r>1，所以rn>1且rn单调递增.显然，∃m∈，使得rm>10(A进制)，则有bm>10·am(A进制)根据鸽巢原理与定理1，∃n≥m，使得lenA(bn+1)=lenA(bn)+l(l∈且l≥2).

同理可证b

4 指律因子

定义4在A进制下，对于底数为b的乘方，将logAb称为指律因子.

由定义可知，在A进制下的指律因子与乘方的底数是一一对应的.

定理3(进位定律存在判别法) 在A进制下，bn进位定律存在的充要条件为指律因子logAb为有理数(A,b∈且A,b>1).

证必要性.若进位定律存在，则由定义该周期循环关系必可被一个固定的进位循环组描述，且该进位循环组的两个参数：进位循环组中数字的个数=g，进位循环组中数字之和=k，为两个有限大的正整数.由进位循环组的定义可知，g为经历一个进位循环组时数位的增加量，k为经历一个进位循环组时幂的指数的增加量，即Ag=bk(在A进制下，An满进).

对于必要性的证明可逆，因此充分性可证.定理3证毕.

推论A进制下，bn进位定律存在的充要条件：互质的两参数g(进位循环组中数字的个数),k(进位循环组中数字之和)惟一存在且不为无穷.

根据上述理论，有以下求进位循环组的方法.

在A进制下，设指律因子α为有理数.

求解p·α<1(p∈)中p的最大取值p1，则进位循环组中第1个进位循环段为p1+ 1；

再求解p·α<2(p∈)中p的最大取值p2，则进位循环组中第2个进位循环段为p2-p1；

再求解p·α<3(p∈)中p的最大取值p3，则进位循环组中第3个进位循环段为p3-p2；

…… ……

依此类推，进位循环组中除第1个进位循环段为p1+ 1外，其余第m个进位循环段为pm-pm-1.

该方法可整理为如下方程组

其中p∈，xi∈(i=1,2,3，…，g)，xi为进位循环组中第i个进位循环段.

注 当指律因子为无理数时，进位循环组不存在，但亦可将进位循环组看作是周期为无穷大，再由上法求出足够多的进位循环段，以提高精确度，达到应用目的.

5 相关性质

设A,b,d∈且A,b,d>1，n∈，A进制下bn进位定律存在，则有以下四条性质：

性质1(周期循环性)bn的整数部分位数相同的乘方的个数是其指数的一个周期函数.

性质2(组合性质) 在A进制下，若bn，dn都存在进位定律，则(b·d)n也存在进位定律，且其指律因子为logAb+logAd.

推论(i)在A进制下，若bn存在进位定律，dn不存在进位定律，则(b·d)n不存在进位定律；

(ii)在A进制下，若bn，(b·d)n存在进位定律，则dn一定存在进位定律；

(iii)在A进制下，若(b·d)n不存在进位定律，则bn，dn至少有一个不存在进位定律.

性质3(进位循环段的有界性) 进位循环组中，第j个进位循环段xj(j∈{2,3,…，g})仅有2个可能的数值：xj=x1或xj=x1-1.

证此性质的证明过程借助以下引理.

引理1对于第3部分中求进位循环组的方法中的条件，有以下等价形式

引理1可将第3部分中求进位循环组的方程组改写为如下形式(其它条件相同)

取j∈{2,3,…，g}，则由方程组有

(1)

以及

(2)

联立(1)，(2)两个不等式可以得出结论-1

性质3证毕.

性质4(进位循环组的弱对称性) 设进位循环组为(x1,x2,…,xg)，则有x1=xg+1且x2=xg-1，x3=xg-2，…成立.

证bk=Ak·α=Ag为g+1位数，b0=A0=1为1位数，因此第3部分中求进位循环组的方程组中p∈[0,k)∩.去除左端点，则p∈(0,k)∩，(0,k)为关于对称的区间，对应方程组的解中x1应改为x′1=p1=x1-1

又由该方程组等价形式可得另一等价形式

两等价形式的解相同.而后一等价形式的解的意义依次为：在区间(0,k)上的进位循环组中由末至初的进位循环段，与前一等价形式的解的意义恰好相逆(前一等价形式的解依次代表对称区间(0,k)上进位循环组中由初至末的进位循环段)，因此有x1=xg+1且x2=xg-1，x3=xg-2，…成立.

性质4证毕.

6 结 论

本文研究了在一定进制下，乘方的指数与其幂的位数的相关规律.其中定理1和定理2描述了乘方的指数与其幂的位数之间规律的框架，在定义了指律因子后便对规律的存在性以及规律的求解方法进行了讨论，最后给出四条规律存在时的相关性质，在某些情况下，判定进位定律存在后，可以直接根据性质求出进位循环组.本文研究方法基于初等数论，采用数论中的方法，可对本文内容继续拓展延伸.

致谢感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵建议，感谢浙江师范大学数学与计算机科学学院朱伟义教授的细心指导！

附 录

以(100.3)为底的乘方当指数n=0,1,2,…时，其对应幂如下表

表1 (100.3)n的指数与其幂的数字位数的关系表

除上表所列可以继续向下验算，不难发现，从n=0至n=9十个数可以作为一个最小正周期，其中整数部分为一位数的有4个、两位数的有3个、三位数的有3个，则其进位循环组为(4,3,3)，此进位循环组中有三个进位循环段，分别为“4”“3”“3”.另外，当以2为底时，虽然大多数也为“4,3,3”的规律，但在n=103，n=196，n=299等(len10(2103)=32，len10(2196)=60，len10(2299)=91)情况下失去了规律.

由前文定义可知进位循环组、进位循环段的意义：进位循环组代表了一个幂的整数部分位数与其乘方的指数之间的规律性关系，进位循环组中每一个数字为进位循环段，表示整数部分同处于某一对应位数下的幂的个数，进位循环段的个数表示经过一个进位循环幂的整数部分所进的位数，进位循环组中数字之和表示一个进位循环所占的乘方的指数的个数.