高等代数与解析几何一体化教学探索——以新疆大学为例

胡 琳， 杨晓梅， 聂麟飞

(新疆大学 数学与系统科学学院，乌鲁木齐830046)

1 引 言

从上个世纪50年代开始，数学分析、高等代数和解析几何就是高等院校数学专业学生的三门基础课程.通常它们是三门相互独立的课程，开设时间均在大一至大二期间.数学各专业均以这三门课为基础安排后续专业课程内容和教学体系，因此它们在教学中占有极其重要地位，并有很大的课时比例.但随着新课程的开设及其学时的增加，分别开设高等代数与解析几何两门课占用课时较多的弊端已初现.同时，众所周知，高等代数是将几何抽象化，解析几何是以代数的方法研究几何，几何与代数互为问题，互为方法，互相交融，因此将高等代数与解析几何合并为一门课程是非常必要的.这也得到了陈省身、杨中道等数学家的倡导，并在南开大学、西安交通大学等高校开始实施.将其合并后，从某种意义上讲，这两门课程均得到了加强.因为不仅节省了学时，而且还能将代数中某些高度抽象的概念借助于几何工具具体化，使得学生更易于理解.这一点对于新疆大学这样的西部地区综合性大学更为重要.由于我校混合编班教学，部分基础较差学生对一些概括抽象名词的理解还存在一定偏差，因而我校自2012年开始在数学学院所有专业中，对高等代数和解析几何实施课程合并，以华东师范大学陈志杰教授主编的《高等代数与解析几何》为教材.本文就高等代数与解析几何合并后，为了培养出更高质量的人才，逐步缩小中西部学生教育差距，努力为提高西部地区的教育水平发展做出贡献，在教学内容的互补性、教学手段的合理性、教学模式的多样性和课程中的思政四个方面进行了初步探索.

2 高等代数与解析几何一体化教学的探索

本节将从教学和思政两个方面，进行初步探索.

2.1 重视“数、形”结合，相辅相成，相互渗透

从几何和代数的发展历史看，它们一直秉承着“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”[1]的关系.尤其是在高等代数与解析几何一体化教学后，几何的研究为代数提出问题，而代数的讨论结果又可以适时地运用到几何中去.对此，刚刚进入大学的一年级新生，并不能很好地理解.由于他们对微积分的认知程度较低，尤其是一些来自边远学校的同学，他们在中学阶段的数学学习本就有些欠缺，对于高等代数的抽象性更是心理准备不足，从而在学习该课程时缺乏信心.因此，在整个教学过程中，应充分注重“数”“形”之间的相互交融，从学生的认知角度考虑，用“数”助“形”，以“形”辅“数”，可以帮助他们很好地化解学习高等代数抽象概念时的困难，进一步达到形象思维与逻辑思想同步发展的目的，更好地起到“数学是思维的体操”的作用.例如，两个向量线性相关，从代数的角度看，即存在不全为零的数，使它们与两个向量的线性组合值为零.学生对此理解并不透彻，但当教师给出空间中的向量图形后，学生们顿时明白空间中两个向量线性相关也就是“共线”，从而将一个模糊的代数概念转化为具体的几何图形.在课堂上，通过“形”的展示，使学生在互动中解决了“数”的问题，从而即可使学生对抽象的代数有了更直观的感觉.又如，利用线性方程组的解的情况分析判断空间平面、直线的位置关系时，学生们在“数”“形”的互相交流中逐渐自己去发现诸如“两直线异面”“两直线平行”“三个平面平行”“三个平面两两相交成一个三棱柱状”“三个平面交于一点”等直观问题的理论描述.这样就将一个看似较为棘手的几何问题转化为简单的代数问题，培养了学生用代数方法解决具体的几何问题的能力.

2.2 降低认知难度，实施小组“分层”教学

本课程作为数学专业的基础课程之一，教学分为主讲课、习题课和课后自学三部分.教师既要教给学生知识，还要培养他们的数学素养，从而使他们成为符合新世纪建设需要的高素质复合型人才.本课程的教学对象主要是大学一年学生，一部分同学在从中学学习到大学学习的转变过程中，不适应每节课知识容量增加、概念抽象等情况，导致学习积极性不高，遇到问题时更欠缺分析问题和解决问题的决心.究其原因，首先，他们不能完全摆脱中学的学习模式，更倾向于以被动的方式来接纳新知识.其次，新疆地处祖国西部边陲，是多民族聚居区，随着西部建设步伐的加快，迫切需要培养各民族大学生，但是部分边远地区学生相对同期入校的其他学生，中学数学基础较薄弱，理解能力较弱，这些都或多或少影响着这部分学生的学习积极性和学习效果.主讲教师根据学生的特点和实际水平，讲授教材中较难理解的内容时，在坚持科学性的前提下，把通俗性与科学性有机地结合，降低理论的认知难度.例如，关于行列式按行(列)展开的教学，教材上通过证明给出两个极为相像的等式，如何区别记忆？某一行(列)元素均乘自己的代数余子式的和是行列式的值，就好似每个人回自己家，在父母允许的情况下可以带走家里的“所有”物品，即行列式的值；而去他人家里就什么也不可以取，即某一行(列)每个元素乘其他行(列)对应元素的代数余子式的和为“0”.通过这样的类比，学生们立刻顺利地记牢了此知识点.

整个教学过程中，在教师主导学习的基础上，实施小组合作的分层教学方式也是必不可缺的.学生有不同的层次结构，兴趣不同、目标不同、投入精力不同，因此在习题及课后自学阶段，可以采取孔子提出的“深其深，浅其浅，益其益，尊其尊”的“分层教学”方法，因材施教，因人而异.在实际教学中，将一个自然班分为三层.一层同学有较好的数学基础，对数学感兴趣，有志于继续深造；二层同学数学基础一般；三层同学数学基础相对薄弱.再根据个人喜好，不同层次的学生三人一组，实行小组协作式学习.课堂上，教学过程中有“合”有“分”，即有面向全体的统一讲授，也有分层次的自学、答疑环节.改变传统的教师包讲，学生包听，少数学生跟随，多数学生“旁观”的状况，调动每个同学的学习积极性，使他们都能真正成为学习的主人.

华罗庚先生在维诺格拉夫的《数论基础》的中文译本序言中曾说：“读该书而不做该书的习题无异于‘入宝山而空返’.”由此可见习题对数学学习的重要性.习题选择上，不同层次的学生有不同的选择：对一层的同学，在基础题之外，还需留有一些拓展和加深某些知识的思考题；对二层和三层的同学，则选择侧重基础知识和基本技能的题.除此之外，还可以在三人小组中安排所有习题的讨论.由于经验背景的差异，学生对问题的理解不同.充分利用学生之间这种差异的资源，开展互补互助性学习模式，使他们在自主探究、合作交流中，利用他人想法激发自己的灵感，创造出更好的方法.与此同时，通过交流也有效地将学生“被动”学习变为“主动”学习，更好地促进不同层次学生之间的沟通、互动，最终达到“一层、二层”提高和“三层”达标的目的.此外，三人小组还要进行知识归类、整合.在每一章结束后，各小组派代表汇报本章的总结，小组成员接受教师和其他同学的提问，进行知识的查漏补缺，自我矫正.

2.3 引入混合教学，提高学习效率

混合教学模式被誉为颠覆性的教育创新模式[2].它结合了线上学习和传统课堂学习的双重优势，在拓展学习空间、丰富学习资源、合作学习和及时促进师生交流反馈等方面卓有成效.笔者结合所在院系学生特点，选用了清华大学与学堂在线共同研发的，集教学、学习、管理功能于一身的“雨课堂”网络平台.在该平台上，教师根据授课进度，以分层教学中的小组为单位，发布小组作业或个人章节测试，学生在规定时间内上传.教师及时给出改进意见和相应分数，并对优秀的小组作业在课堂上组织汇报.这种示范效应在学生中形成了良性循环，使更多人参与到了教学活动中.在讨论区还可以设定相关主题，教师与学生均可参与其中，实时解决学生在学习中出现的问题，做到“今日事今日毕”.在教学实践中将传统教学方式的优点和学习平台的师生互动交流充分结合，既发挥了教师在教学过程中引导、启发、监控的主导作用，又能让学生积极、自主地参与到学习过程中，发挥学生地创造性.通过一年多的实验，笔者发现学生学习的积极性明显提高，已基本养成了自觉通过在线资源获取学习资料的习惯，提问和交流讨论次数明显增加，最终成绩显著提升.

2.4 融入课程思政，传递家国情怀

在高等代数与解析几何课程的讲授中，主讲教师将学生的价值塑造融入到知识传授中来，结合具体人物作为学习榜样，引领学生感受数学的美；继承老一代数学家的家国情怀，树立为民族复兴，祖国强盛而努力读书的职责和使命.通过向同学们介绍新疆大学数学学科奠基人——陈德璜先生的经历：在建国初期怀揣“到新疆去，为祖国培养少数民族人才”的理想与信念，放弃清华大学的讲师职位，响应国家号召，来到新疆民族学院(新疆大学前身)工作.从亲自编写民族学生的汉语课本，到添置教学用具；从选拔汉语水平相对较好的民族学生作为实习助教，到自学维语，陈老一步一个脚印、手把手地培养了一批批各族的数学工作者.使各族同学们深刻感受到陈德璜先生所具有的胡杨精神，同时自己作为新一代新大人要传承这一优秀作风，与各族同学像石榴籽一样紧紧抱在一起，接力拼搏，以丰富的知识为兴疆固边服务，为新疆社会稳定与长治久安勇于开拓、无私奉献.

3 教学效果

通过上述措施的具体实施，在我校合班模式下已取得了良好的教学效果.首先，学生成绩从之前及格人数占70.24%，平均分65分，上升到目前的及格人数占86.16%，平均分上升到70分.特别是西部地区同学的及格率从62.52%上升到82.43%.

图1

其次，从学生反馈的调查问卷上看，62.5%的同学更为喜爱这样的教学模式.从“雨课堂”后台的记录看，近24%的同学课后会去观看课程回放，近80%的同学能通过弹幕等方式积极参与到线上讨论之中，尤其是对部分基础比较薄弱的西部地区同学，通过线上随时随地与教师讨论及分组研究的教学模式，他们的学习主动性与成绩都有很大提高.

图2 图3

图4 图5

最后，通过课程中不断融入的思政元素，学生们对数学的热情不断提升，对自己肩负的责任也更加明确.从考研数据表明：2016级同学中有54.6%的人参加了全国研究生入学考试或是被保送至各高校科研院所继续深造，其中西部同学占22.8%.2020级同学的调查问卷显示，66.3%的同学想要毕业后继续深造，其中西部同学占41.3%.经过了解，绝大部分同学考研的目的不仅仅是自我的提升，更是想要为家乡的建设做出点贡献.

图6 图7

4 结 论

“高等代数与解析几何”作为数学专业的基础课程，其教学效果直接影响学生后续课程的学习.从对本课程的教学情况看，与以往只是在教室中教师一人进行“数与形”分离的“独角戏”模式相比，融入思政元素及混合模式的分层教学模式，使学生们完成了从“让我学”“听老师安排”到“我要学”“自己找题目做”的华丽转身，引导他们尤其是西部地区的同学们培养了好的学习方法和学习习惯，从而增强了自信心，提升了学习能力，为继续深造打下了坚实的学习基础，进而为家乡的稳定与发展做好充分准备.

不可否认，这几种探索还有不足之处，如在课堂上由于合班教学的模式，不能关注到每一位学生的学习状态，线上讨论时部分学生仍旧不愿参与其中，这就不能很好地了解到每一位同学对所学知识的掌握程度.因此，我们将继续进行更深入地探究， 将更多地挖掘出“高等代数与解析几何”一体化教学的优势所在.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.