基于层次分析法的大学生高等数学成绩影响因素分析

连高社， 陈小彪

(太原工业学院 理学系，太原030008)

1 引 言

高等数学是理工科专业普遍都会开设的一门重要的基础课程.高等数学不仅仅对于学生学习专业课程有一定的重要基础作用，而且对于学生学习能力的培养、理性思维的创建、应用意识的提高、创新意识的培养等同样有着不可估量的作用.

然而，近几年来很多高校大学生在学习高等数学的过程中出现了很多的问题.比如，部分学生学习高等数学的效果差、考试挂科现象屡见不鲜，更有甚者，有些高校的某些班级考试通过率竟然不到50%.从出现的各种问题来看，无论是各个高校，或者高等数学老师，还是学习高等数学的大学生，尽可能充分了解高等数学学习成绩的影响因素已经成为当下的首要任务[1]，只有这样，才能找准病因，对症下药，帮助大学生提高高等数学的学习成绩.同时，对传统课堂下影响成绩的因素进行分析，也可以为后续高等数学课程教学改革的明确主要方向[2-3].通过数学模型对高等数学成绩影响因素进行量化分析，可以帮助老师和学生找到提高成绩的主要因素，提高教学质量，一些专家学者进行了相关研究.钱超[4]采用分层线性模型分析了高考数学成绩和高等数学成绩的关系.孙茜，蔡择林[5]选取学生性别、学生对高等数学学习的兴趣、数学学习对专业的有用性、高考成绩等 12 个因素，建立了多元线性回归分析模型进行线性回归分析.吴国荣等[6]通过多重响应分析高等数学成绩影响因素，主要包括学习兴趣、课上听课状态、课下学习状态、学习计划、学习习惯.线性回归模型可以分析变量之间的相关关系和影响系数，但对于变量之间的因果关系缺乏深层次的理解.层次分析法[7]可以根据研究目标的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，相较回归模型能更好结合老师的教学经验和学生的切身感受进行有效的问卷调查和权重的设计，真实的反映学生自身的学习状况和困扰，判断影响因素对于目标层的影响方式.

2 高等数学学习成绩影响因素

以太原工业学院在校2018级大一学生为研究对象，对大学生学习高等数学的情况进行问卷调查.设计问卷时按照主题明确、结构合理、通俗易懂、适当控制问卷长度、方便资料的校验、整理和统计[8]等原则进行.

针对于高等数学学习成绩的影响因素进行问卷调查，总共分为五个层次，分别是个人、班级、学校、家庭和社会，每个层次里边设置相应的各个具体影响因素，数量不等，本次问卷调查设置的问题内容，如下表1.

表1 问卷调查问题表

问卷主要从五个方面进行调查，每个方面包含大学生高等数学学习影响的具体因素，一共有24个问题因素.

本次调查共回收问卷225份，经过后期对数据的统计与整理，筛选出25份无效试卷，最终有200份数据可以作为本次调查的数据来源，对问卷数据进行了信度和效度检验，表现良好.

3 高等数学成绩层次分析模型的建立和求解

3.1 高等数学成绩影响因素层次结构的建立

将大学生高等数学学习成绩的影响因素按照层次结构划分为3个层次：目标层A、准则层Bi和子准则层Cj.目标层为大学生高等数学成绩的影响因素，准则层分为五个因素，即为个人、班级、学校、家庭以及社会对大学生学习高等数学的影响因素，对五个准则层分解出更多的子准则层，例如个人层次考虑性别、专业类别、课程接受度、课堂上是否做笔记、对高等数学这门的兴趣度等；班级层次考虑宿舍的学习风气、学风建设以及互帮小组的成立是否有效，学校层次考虑高等数学课程的授课模式、学校的学术氛围、课程学习资料的共享程度、奖励机制等；家庭层次中家风建设、家庭经济水平以及父母的期望；社会层次中社会就业压力、考研压力以及政府的教育政策.如下表2.

表2 影响大学生高等数学成绩因素层次表

准则层中的因素对上一层的因素有影响，子准则层中的所有因素对于目标层都有影响，但是对于上一层来说，只对从属于上一层的因素有影响，但是子准则层中的各个因素相互独立，互不影响.

3.2 判断矩阵一致性检验及层次单排序

通过对大学生高等数学影响因素的分析，对五个准则层即个人、班级、学校、家庭和社会，以及相对应的子准则层的因素分析，分别建立准则层对目标层、方案层对准则层的判断矩阵，利用数学软件 Matlab计算出判断矩阵的最大特征值及特征向量，将特征向量进行归一化，最后再做一致性检验:

(i) 判断矩阵A-Bi

该矩阵的最大特征值λmax=5.1984，其对应的特征向量为

W1=(0.8388，0.4649，0.2332，0.0856，0.1362)T.

将W1归一化可得到对应的权重为

WA=(0.4769，0.2643，0.1326，0.0487，0.0774)T.

一致性检验，一致性检验的指标：

平均一致性指标为

一致性比率CR1<0.1，矩阵A-Bi通过一致性检验.说明矩阵A-Bi构造合理，无需二次构造.

根据以上归一化的权重WA可知：特征值0.0487最小，即家庭因素对于大学生学习高等数学的影响程度最小；特征值0.4769最大，即个人因素对于大学生学习高等数学的影响程度最大.

(ii) 判断矩阵B1-Cj

由以上矩阵能够得出

λmax=7.6323，W2=(0.0692，0.1356，0.2595，0.3829，0.5017，0.5683，0.4353)T.

归一化后可得到的向量为

WB1=(0.0294，0.0576，0.1103，0.1627，0.2132，0.2416，0.1851)T.

进而得到一致性检验指标

一致性比率CR2<0.1，矩阵B1-Cj通过一致性检验，说明矩阵B1-Cj构造合理，无需二次构造.

根据以上归一化的权重WB1可知：特征值0.0294最小，即性别因素对于大学生学习高等数学的影响程度最小；特征值0.2416最大，即考前复习因素对于大学生学习高等数学的影响程度最大，其次是权重占0.2132的课程兴趣，学习兴趣同样对大学生学习高等数学有着重要的作用.

(iii) 判断矩阵B2-Cj

由以上矩阵能够得出

λmax=3.0735，W3=(0.3943，0.1722，0.9027)T.

归一化后可得到的向量为

WB2=(0.2683，0.1172，0.6144)T.

进而得到一致性检验指标：

一致性比率CR3<0.1，矩阵B2-Cj通过一致性检验.说明矩阵B2-Cj构造合理，无需二次构造.

根据以上归一化的权重WB2可知：特征值0.1172<0.2683<0.6144，由此可知班级内部的互帮小组对于大学生学习高等数学的影响程度所占比重最大，宿舍的学习风气次之，班级学风建设对于班级层次的影响程度最小.

互帮小组不仅将学生个体间的学习竞争关系改变为“组内合作”“组间竞争”的关系，还将传统教学中的师生之间的单向或双向交流改变为师生、生生之间的多向交流，学生有更多的机会发表自己的看法，为他们提供一个较为轻松、自主的学习环境，提高了学生创造思维的能力，而且还将学生课内学习延伸到课外，使他们在参与学习的活动中得到愉快的情感体验，从而更有利于高等数学的学习，对于提高高等数学的学习成绩有很大的影响.

(iv) 判断矩阵B3-Cj

由以上矩阵能够得出

λmax=7.1067，W4=(-0.8703，-0.3073，-0.2807，-0.1383，-0.1357，-0.1357，-0.1159)T.

归一化后可得到的向量

WB3=(0.4387，0.1549，0.1415，0.0697，0.0684，0.0684，0.0584)T.

进而得到一致性检验指标：

一致性比率CR4<0.1，矩阵B3-Cj通过一致性检验.说明矩阵B3-Cj构造合理，无需二次构造.

根据以上归一化的权重WB3可知：特征值

0.0584<0.0684=0.0684<0.0697<0.1415<0.1549<0.4387，

由此可知学校层次中学风建设所占权重最大，老师的授课模式次之，其次是考试时的资源共享程度，而学校的设备资源对于大学生学习高等数学的影响程度最低.

(v) 判断矩阵B4-Cj

由以上矩阵能够得出为

λmax=3.0889，W5=(0.8500，0.4287，0.3061)T.

归一化后可得到的向量为

WB4=(0.5363，0.2705，0.1931)T.

进而得到一致性检验指标：

平均一致性指标为

一致性比率CR5<0.1，矩阵B4-Cj通过一致性检验.说明矩阵B4-Cj构造合理，无需二次构造.

根据以上归一化的权重WB4可知：特征值0.1931<0.2705<0.5363，由此可知：在家庭层次中，家风建设对于大学生高等数学学习成绩的影响程度最高，其次是家庭的经济水平，而父母的期望反而对于大学生高等数学的学习影响程度较低，所以一个家庭的家风建设也是尤为重要的，对于学生学习的状态也有一定的影响.

(vi) 判断矩阵B5-Cj

由以上矩阵能够得出为

λmax=3.0889，W6=(0.8500，0.4287，0.3061)T.

归一化后可得到的向量为

WB5=(0.5363，0.2705，0.1931)T.

进而得到一致性检验指标：

平均一致性指标为

一致性比率CR6<0.1，矩阵B5-Cj通过一致性检验.说明矩阵B5-Cj构造合理，无需二次构造.

根据以上归一化的权重WB5可知：特征值0.1931<0.2705<0.5363，由此可知：在社会层次中，社会就业压力对于大学生高等数学学习成绩的影响程度最高，其次是考研压力，而政府政策对于大学生高等数学的学习影响程度反而较低，而且根据权重占比，社会就业压力所占比重基本一半还多，可见社会就业压力对于大学生学习高等数学的影响程度有着不可估量的作用.

综合对以上六个矩阵的计算，可得到如下高等数学大学生影响因素的层次单排序及一致性检验：

从表3可以看出，6个层次单排序的CR值均小于0.1，该六个层次单排序都通过一致性检验.其中矩阵B3-Cj的一致性检验比率最低，最高的比率是0.0775；特征值最大的为矩阵B1-Cj，同样，一致性指标最大的也为矩阵B1-Cj.

表3 层次单排序计算及一致性检验

由上面的的单层次排序可知，单层次的权重排序比较单一，不能整体全面对大学生高等数学学习成绩影响因素进行分析，还需要经过层次总排序才能直观了解到所有的因素对于大学生学习高等数学的影响程度.

3.3 层次总排序及其一致性检验

构造成对比较矩阵，利用Matlab求得矩阵的最大特征值和对应的特征向量，将特征向量进行归一化处理，进而得到权重W，WA是准则层对于目标层即高等数学学习成绩影响因素的权重，WB是子准则层对于其相对应的准则层的权重，WC是所有的子准则层对于目标层的权重，计算各层次所有因素对高等数学学习成绩的合成权重，将各层次进行总排序，各个矩阵的CR值都小于0.1，一致性检验通过.进行层次总排序后的合成权重结果见表4.

表4 高等数学学习成绩影响因素的合成权重表

经层次总排序后发现：在个人层次中考前复习时间的权重值最高；班级层次中互帮小组的权重值最高；家庭层次中家风建设的权重值最高；社会层次中社会就业压力的权重值最高.

4 结果分析与建议

根据上述层次结构分析结果，对于影响大学生高等数学学习成绩的影响因素，提出如下结论和改进学习成绩的具体措施：

(i) 在个人层次中，对于高等数学学习成绩的影响因素，最重要的是每次考试前的复习时间(权重：0.2012)，考前复习对于一个考生来说，可谓是有着巨大的促进作用.平时的学习都是像盖房子一样，一砖一瓦慢慢堆积而成的，是一个基础，如果地基打不好，那么最后的房子装修的再华丽，都没有用，也就是说，平时学习再多，如果考前不复习，不对所有的知识进行梳理的话，那么最后的结果还是不尽如人意.由此考前复习对于大学生学习高等数学也有着及其重要的作用.其次是学生对于高等数学的学习兴趣，兴趣是点燃智慧的火花，是探索知识的动力，如果学生慢慢培养起学习高等数学的兴趣，那么学习高等数学将不再仅仅只是一件学习知识的枯燥无趣的事，更是一件充实自己的事情，在学习中找到乐趣，培养学习的主动性，从而提高大学生学习高等数学的成绩[3]，学生的课程兴趣(权重：0.1144)、课堂接受度(权重：0.1105)、课堂笔记(权重：0.1065)和上课座位选择(权重：0.0876)也对高等数学学习成绩有一定影响.

(ii) 在班级层次中，互帮小组(权重：0.1423s)对于大学生学习高等数学有着重要的作用，平时上课都是一位老师讲课，下面一个班级的学生听课，这样的一对多教学，要想做到针对性很难.如果给一个班级成立几个互帮小组，每个小组选取一位负责人，只负责该组成员的高等数学，给高等数学老师减压，同时提高效率，方便学生一对一辅导学习，查漏补缺，自觉主动的去学习.所以大学生学习高等数学的过程中，在班级中成立互帮小组也是尤为重要，对提高学生的学习成绩有很大的促进作用.班级的学风建设(权重：0.0563)也影响着高等数学的学习成绩，如果一个班级有着良好的学习氛围那么学生也会主动自觉的去学习，如果一个学校每个班级的课堂出勤率都是100%的话，学生的学习通常会很好，但是如果一个班级的到课率都不到50%，那么老师看着稀稀拉拉的座位，会降低老师授课的热情，同样，学生也没有一个很好的学习氛围体验，在这样的状态下，学生的学习效率一定不会很高，进而高等数学的学习成绩也不会很高，这样会陷入恶性循环，结果是越来越差.

(iii) 在学校层次中，学习资源的丰富程度和学习资源的共享程度对高等数学成绩有一定影响.

(iv) 在家庭层次中，家庭的家风建设对于大学生学习高等数学起到一定的促进作用.家庭是每个人的第一个课堂也是终身学堂，父母是孩子的第一任老师.家庭是教育的起点，家庭教育涉及很多方面，但最重要的是品德教育，是如何做人的教育[9].在学好做人的前提下，养成良好的学习习惯，积极主动地学习，那么把这种好习惯运用到学习高等数学上，最后的结果一定不会差强人意.

(v) 在社会层次中，大学生的社会就业压力对于大学生学习高等数学同样起着举足轻重的作用.随着每年大学毕业生的增加，大学毕业生的就业压力越来越大，部分应届毕业生选择继续深造，读研，还有部分毕业生直接选择进入社会，步入工作岗位，但是面对岗位少，择业人多的情况，大学生的压力也越来越大，同等条件下，毕业生上交单位的成绩单也占很大的比重，所以需要大学生在上学期间，认真学习，努力提高高等数学的学习成绩.由此，虽然就业是大学毕业之后的事情，但是在上大学期间，甚至从大一开始，就需要大学上努力学习高等数学，为之后的就业提前做好准备.

(vi) 在目标层中，占比最高的是准则层中的个人层(权重：0.4769)，其次是班级层(权重：0.2643)，排名第三的学校层(权重：0.1326)，家庭和社会层影响较小(权重均小于0.1).

5 结 论

提高高等数学课程的教学质量，需要重视影响教学质量和学习成绩的因素，本文的研究表明，个人、班级、学校、家庭和社会，对于大学生高等数学的学习成绩都有影响，其中起主要作用的是学生个人和班级层面.个人因素中关注学生对课程的兴趣、课堂接受度、课堂笔记和上课座位选择，班级因素中关注互帮小组和班级学风.高等数学任课教师可以在课程教学组织和课堂教学管理方面参与、组织和改进这些要素，提高教学质量.研究结论为今后进行高等数学的教学改革提供了思路和方向.

致谢本文的出发点在于研究影响大学生高等数学成绩的因素，为改进高等数学教学质量提供帮助，感谢太原工业学院2015级数学与应用数学专业本科生武文娜和赵志新同学在调查问卷发放、数据搜集和初步整理等方面的给予文章的帮助，感谢本文审稿专家提出的宝贵意见.