数学基础课程图论的课程思政探索与实践

史永堂， 雷 辉， 李佳傲

(1.南开大学 组合数学中心，天津300071； 2.南开大学 统计与数据科学学院，天津300071； 3.南开大学 数学科学学院，天津300071)

1 引 言

立德树人是新时代中国特色社会主义教育理论体系的重要组成部分，把立德树人作为高等教育的根本任务，是适应新时代、新形势的需要.全面推进课程思政建设是落实立德树人根本任务的战略举措，高等学校应深化课程思政改革，充分发挥各门课程的育人功能，实现全员、全过程、全方位育人的教育目标，提高人才培养质量.教师始终处在教育教学、课程建设、育人育才的第一线，是课程思政落实落地的关键所在，要充分挖掘梳理所授课程中的思政元素，促进思政资源与人才培养各环节的有机融合，使思想政治教育贯穿于教育教学的全过程.目前不少学者和教师已将课程思政融入到大学课程的教学中[1-9].例如，于歆杰结合负责的“电路原理”课程，从如何立德树人，开展价值塑造同时进行能力培养等不同层面加以阐释了理工科核心课中的课程思政为什么做怎么做[1].吴慧卓以高等数学课为例，阐述了课程思政的内涵，探索了如何以知识为载体，将传授知识与立德树人相融合的有效方法，为新时期在高等数学教学中实施课程思政提供一定的参考[2].陈航分享了在全方位育人导向下，将思想政治教育元素融入微分几何课程教学过程的探索和实践[3].彭双阶和徐章韬从师德建设、课程思政教育元素挖掘、寻找不同课程的思政切入点、更新教学手段等方面，探讨了在课堂教学中落实课程思政的有效路径[4].公徐路以离散数学课程的思政教育为出发点，从“课程思政”的含义、开展“课程思政”的必要性、可行性以及实施方案四个方面进行了分析，同时结合具体的成果形式，为离散数学的“课程思政”课堂教学提供了素材[5].俞能福和闵杰分析了现行高等数学课程教学中存在的问题，在此基础上研究如何创新教学理念，挖掘数学文化内涵，构建基于数学文化的教学内容与教育方式，把高等数学教育提高到数学文化教育的层面，以起到高等数学教育的价值引领作用，实现数学知识传授和文化育人的有机结合[6].

笔者自2009年至今一直讲授研究生专业基础课——图论课程，图论作为现代应用数学的一个重要分支，是一门有着悠久历史而又应用非常广泛的课程，其中既有四色问题、拉姆齐理论等重要的理论问题，也有中国邮递员问题、货郎担问题等经典的应用问题，近年来更是在机器学习、人工智能、数据科学、网络安全等新兴领域有着丰富的交叉应用.新时代的大学教育更加关注专业教育和拔尖创新人才的培养，在教学实践中，笔者初步探索了将思政元素引入课堂教学的方法，重视学生数学核心素养的培养，让学生不仅掌握扎实的专业理论，具备认识问题、分析问题和解决问题的能力，而且还要有探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的科学精神，树立正确的人生观、世界观和价值观，争做德才兼备的高层次人才.

2 思政元素与教学内容的融合

南开大学是教育部直属重点综合性大学，2019年习近平总书记视察南开大学，高度肯定南开师生的爱国情怀.南开大学数学学科创建百年来，坚持立德树人根本任务，秉承陈省身先生“立足南开、面向全国、放眼世界”的宗旨，以培养具有家国情怀、世界一流的数学拔尖创新人才为目标，着力构建全员全程全方位育人大格局.课程思政的关键是挖掘梳理课程中的思政元素，将思政元素与教学内容、知识传授有机地结合起来.下面笔者将以研究生图论课程为例，来介绍在数学教学中课程思政方面的探索.以课程的教学大纲、教学内容为抓手，把马克思主义哲学原理的教育与科学精神的培养有机结合起来，努力培养学生的数学核心素养.

2.1 唯物辩证法在数学问题研究中的应用

唯物辩证法是马克思主义哲学的核心组成部分，是一套世界观、认识论和方法论的思想体系.唯物辩证法对教育科学研究具有重大的指导意义，数学与唯物辩证法之间有着内在的、本质的联系.在数学教学中，渗透辩证法思想，引导学生运用辩证的思想组建认知结构、解决问题、开展研究，是提高课堂教学效率的有效途径.将围绕唯物辩证法的三个核心观点展开讨论，即认识源于实践、对立统一、普遍联系.

2.1.1 数学方法源于实践，并指导于实践

马克思主义认识论告诉我们，实践是认识的基础和源泉，又是推动认识发展的动力.正如恩格斯所阐述的“科学的发生和发展一开始就是由生产决定的”，数学的产生和发展源于实践，同时又指导于实践，著名的数学大师华罗庚先生，把数学方法应用于实际，筛选出以提高工作效率为目标的优选法和统筹法，取得显著经济效益.

图论的产生和发展也是源于实践的.人们将哥尼斯堡七桥问题看作是图论的起源.

案例是否能从四块陆地中的任一块开始，通过每座桥恰好一次再回到起点？

图1 哥尼斯堡七桥问题转化为数学问题示意图

教师结合教学内容，通过将实际问题转化为数学问题，让学生明白很多数学方法都源于实践，然后又指导于实践，激发学生学习兴趣.

1847年德国的基尔霍夫将树的概念和理论应用于工程技术的电网络方程组的研究，上世纪三十年代以来，由于生产管理、军事、交通运输、计算机和通讯网络等方面大量问题的出现，大大促进了图论的发展.特别是近几十年来随着计算机的快速发展，大量大规模的实际问题得以求解，其中电网络、交通网络、电路设计等问题中都涉及到图论的问题.这些问题的求解极大地促进了图论的发展，以及不同分支、理论的产生，如算法图论、代数图论、极值图论，以及匹配理论、网络流理论、有向图理论等.这些都是认识和发展源于实践的真实体现.

2.1.2 研究问题的方法存在着对立统一的关系

马克思主义的哲学认为，“对立统一规律是宇宙的根本规律”，数学和图论中处处都存在着对立统一的关系，比如有限图与无限图、无向图与有向图、子图与母图、顶点染色与边染色、独立集与团、单色子图与彩虹子图等等.这些看似对立矛盾的关系，实则是统一的，是可以相互转化的.比如，无向图通过添加方向可以变为有向图，独立集在补图中是团，等等.正如恩格斯所说：“这种从一个形式到另一个相反形式的转变，并不是一种无聊的游戏，它是数学科学的最有力的杠杆之一.”总之，它们之间是彼此对立统一、相互依存、相互区别的.另外，研究方法上也是对立统一的，部分与整体的统一是数学中极为常见的.在讲授过程中，总是由点到线，由线到面，逐步讲解，比如讲解基本概念时，先讲一般图的概念，再讲超图的概念；在讲解匹配理论时，先讲二部图的匹配，然后是一般图的匹配；在介绍拉姆齐理论时，先介绍对角拉姆齐数，再介绍一般拉姆齐数；在介绍图兰定理时，先讲限制三角形的极值问题，再讲限制一般团的极值问题；等等.

2.1.3 数学知识之间及与其他学科之间都存在着普遍联系

唯物辩证法认为，世界上一切事物都处在普遍联系中，这一观点在数学教学中也得到了充分的体现.首先，数学的知识之间是相互联系的.其次，图论与其他众多学科之间也是相互联系、交叉应用的，可以说图论是现代应用数学中应用性非常广的一门学科，在运筹学、计算机科学、编码理论、化学、生物信息、统计物理、人工智能、数据科学等领域都有着非常深刻的应用.

以图论为例，知识点之间是相互联系的，是由浅入深、循序渐进的，先讲树，其次是连通性，再到匹配和独立集、欧拉环游和哈密尔顿圈，然后是顶点染色和边染色，最后是拉姆齐理论和图兰理论.另外，在同一个知识点的讲授过程中，也是按照概念、例子、命题、定理、证明、推广的顺序循序渐进地进行的.又比如在讲授树和连通性时，会涉及到最短路问题和最小生成树问题，这是理论计算机科学和算法设计中的基础问题；在讲授匹配理论时，讲到最大匹配算法以及最大流算法，这是离散优化中的一个核心算法；在讲到欧拉环游和哈密尔顿圈时，会提到中国邮递员问题和货郎担问题，这两个问题在很多领域都有着重要应用；在讲到拉姆齐理论和图兰理论时，会讲到图编码的设计；等等.再次，图论与数学其他分支也有着非常紧密的联系，比如图论与代数结合，产生了代数图论；与概率结合，产生了随机图论和概率方法；与拓扑结合，产生了拓扑图论；与算法理论结合，产生了算法图论；等等.

表1 唯物辩证法与课程内容的关联

2.2 数学核心素养在教学中的体现

学科核心素养是当前育人育才的目标和方向，课程教学是数学核心素养养成的主要载体.与其他理工科的学科一样，在数学学科的课堂教学中，首先要注重学生科学精神的培养.科学精神是科学的灵魂，就是实事求是，求真务实，开拓创新的理性精神.我们主要通过对著名数学家事迹的讲解，将数学家精神和科学奉献融入到教学内容中，让学生秉持科研诚信和严谨求实的科学态度，鼓励他们大胆质疑、不惧失败、勇于探索.其次是学生情操品格的培养，新时代的高等教育更加关注专业教育，而专业教育更加注重情操品格的培养.我们挖掘课程中的中国元素、中国贡献，培养他们的爱国情怀；通过对课程中难点的详细解析，鼓励学生不畏艰难、勇攀高峰，做顶天立地的研究.然后是对学生基本能力的培养和关注.

表2 数学核心素养与课程内容

2.2.1 通过案例培养学生的科学精神

科研诚信、严谨求实的精神是每个学科都要坚守的科学精神，对于数学这门严谨的学科来讲，更是如此，这需要贯穿于课程讲授的全过程.在课程内容的安排上，每一章的理论内容之后，都会有相应的应用问题介绍.在理论部分，每个结果的证明推理，都力求严谨无误；应用部分侧重算法设计，让学生依据现有的算法，做数据分析和编程实现，整个过程中，都要强调数据的真实可靠、程序的逻辑严密.

批判和怀疑、创造和探索的精神是科学精神的一个突出方面.

案例1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里工作时，发现了一个有趣的现象：每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.这个结论能不能从数学上加以证明呢？

讲授过程中，介绍著名数学难题四色问题的发展历史，以及近150年的攻克过程，让学生深刻体会到做学问做研究就是要坚持大胆质疑、不惧失败、追求真理，只有这样才能有创新，才能有所突破.

数学家精神和科学奉献是科学精神的一个重要方面.举例来讲，在讲解欧拉环游和哈密尔圈章节时，着重介绍欧拉、哈密尔顿等世界各国大数学家、图论学家的事迹，介绍他们对图论学科、乃至整个数学学科的贡献；同时介绍“中国邮递员问题”“旅行售货商问题”等经典问题的研究，特别会介绍到我国学者管梅谷先生的先进事迹.通过讲授这些著名数学家的事迹和他们的学术成就，让学生深切感受到数学家的精神所在，感受到数学人的科学奉献.

2.2.2 通过事迹培养学生的情操品格

情操品格的培养，首先是爱国情怀的培养.南开大学是一所具有爱国主义传统的学校.习近平总书记在2018年9月召开的全国教育大会上提到了南开大学老校长张伯苓先生的“爱国三问”，2019年1月17日，习近平总书记视察南开大学时，充分肯定了南开百年“爱国奋斗”的育人传统和办学理念，他指出：“南开大学具有光荣的爱国主义传统，这是南开的魂.当年开办南开大学，就是为了中华民族站起来去培养人才的.”

本课程的第一课主要讲授图论的发展历史，结合习总书记的讲话精神，以及南开的爱国传统和大数学家陈省身先生的事迹[10]，陈先生是一流的数学大师，他认为数学是好玩的，数学是美的.

图2 习总书记视察南开和陈省身先生的“数学好玩”

通过这些事迹突出介绍我们国家图论发展的现状以及我国老一辈图论学家的主要贡献，展示中国元素、中国贡献，以引发学生的民族自豪感和爱国热情；另一方面，还要让学生意识到，离陈省身先生提到的“数学强国”还有一定的距离，与一些数学强国相比，还有一定的差距，从而鼓励学生奋起直追，具有勇于赶超世界前沿的精神.

不畏艰难、勇攀高峰、探索未知、坚持创新是优秀情操品德的一个核心方面.注重课程脉络的梳理，注重重点难点的解析，鼓励学生不害怕难题，不畏惧复杂的证明，勇于接受新方法新理论，勇于向难题猜想发起挑战.例如，在独立集和团的章节，重点介绍极值图论中的两大公认难题——拉姆齐问题和图兰问题，详细阐述这些问题的发展以及研究过程中所产生的新理论和新方法，包括概率方法、正则引理等.

2.2.3 建设强大的教学团队，提升学生的基本能力

图论作为一门数学课程，跟其他数学课程一样，要培养学生分析问题、解决问题、抽象思维、逻辑推理、欣赏数学之美的能力，这是数学方向学生所必备的基本能力.比如在匹配章节，介绍匹配理论和算法，引导学生去学会分析问题、解决问题；在顶点染色与边染色章节，讲授染色的理论及其应用，引导学生去将应用问题抽象成染色问题，证明过程中重点关注逻辑推理.

图论是应用性非常强的一门课程，跟诸多学科都有着交叉应用，课程内容中也有很多应用性的问题.本课程教学团队中的几位老师，分别来自数学学科、统计学科、数据科学学科、计算机学科等，我们注重理论联系实际、学科交叉方面的讲授.比如在有向图与网络章节，关注如何将现实社会中的问题转化为图论问题进行求解，让学生做好理论学习的同时，去关注实际问题的解决，鼓励他们树立远大目标，做顶天立地的研究，将论文写在祖国大地上.

3 课程思政的教学实现

课堂教学是课程的直接表现形式，是课程理念落地的真实体现.先进的理念和方法只有落实到具体的课堂上，才能使学生真正受益.课堂教学也是落实课程思政的主渠道和主阵地.笔者制定了新的教学大纲，明确了思想政治教育的融入点和教学方法，引导学生参与到课程中来，从课程中吸收、消化我们的思政元素.坚持的课堂教学实现，包括开展一次课程思政集体备课，讲好第一课，教师主讲理论知识，“学生课堂”“学生实验”“学生写作”三步曲，两次课外讲座.

开展一次课程思政集体备课

教学团队的几位老师在课程讲授之前，进行一次课程思政的集体备课.结合前一年的课程讲授以及学生的反馈，开展一次课程思政的总结，总结课程思政的成效；结合自己的工作，继续挖掘梳理课程思政的融入点，讨论本学期课程思政的内容、方式以及改进、更新.

讲好第一课

第一课主要结合数学文化[11]，从数学史的角度，讲解图论发展史.结合习总书记的讲话精神以及南开的爱国传统，从数学大师陈省身先生的“数学好玩”“数学之美”讲起，引入图论之美，介绍图论的发展历史及现状.从1736年大数学家欧拉解决哥尼斯堡七桥问题开始，到后来多学科独自引入图论，再到近代，计算机高速发展的时代下图论的发展和应用.将突出介绍我们国家图论发展的现状以及我国老一辈图论学家的主要贡献，包括李修睦、谢力同、徐利治、管梅谷等，介绍中国邮递员问题在国际上的地位等.图论在计算机科学、运筹学、算法理论、生物信息、社会网络等领域都有着非常广泛的应用，着重介绍当前图论所面临的发展机遇和挑战，特别是图论在人工智能、数据科学和网络安全等领域的交叉应用.

教师主讲理论知识

教师主讲部分，做到多媒体教学与板书相结合，优化教学设计，坚持“五会讲”.一是会讲故事，讲问题的发展历史和研究现状，讲知名专家学者的先进事迹；二是会讲概念，用简单的例子、彩色的图来阐述抽象的概念；三是会讲证明，先讲证明大致思路，再讲证明细节推导，力求用多种不同方法证明同一定理；四是会讲算法，讲算法的设计思想、求解步骤、正确性验证以及时间复杂度分析；五是会讲公开问题和猜想，介绍公开问题或猜想的内容、提出背景、研究意义、研究进展，以及现有的研究方法等.

学生课堂

按照课程设置，每节课后面都有一个相关应用，这部分由学生来讲解，设置“学生课堂”.对学生进行分组，两人或三人一组，每组分配一个应用问题.学生先进行讨论，然后上讲台讲解，可做课件或板书，讲解过程遵循的步骤包括应用问题介绍、抽象与之相关的图论问题、建立模型、例子设计、求解步骤和算法演示、算法正确性和复杂性分析、问题的进一步发展以及相关变种等.讲解结束后，由其他小组学生对本小组学生的讲解进行点评和打分，最后由主讲教师点评和补充.这一过程中，重点关注学生的参与，培养学生的讨论、相互协作、讲解设计、语言表达的能力.

学生实验

“学生课堂”上讲解的应用问题，对某个例子，已经有了相应的算法设计，本环节安排学生进行数学实验，也就是对算法进行编程实现.本环节重点关注数据的原始真实、程序的最佳方案以及输出结果的美观，培养学生的动手能力和科研诚信的操守.

学生写作

在“学生课堂”和“学生实验”的基础上，继续查找文献、阅读资料，将所讲应用问题的提出背景、发展历史、解决方案以及当前现状等进行整理、完善，以综述论文的形式呈现.这一过程中，主要培养和锻炼学生查阅资料、全面介绍问题、写作论文的能力.本环节也是学生三步曲的最后一个环节，是作品的呈现环节，也是学生吸收和消化课程思政元素的全面展现.

一次校外专家理论讲座

邀请本领域的专家学者，就某个专题做一次理论方面的前沿讲座，如染色理论、极值图论、群与图、图谱理论、概率方法、超图理论、有向图理论等等.本环节不仅是为了让学生了解这一方面的前沿进展，而且也是让学生了解理论推进的过程和事物发展的规律，更是让学生了解到如何做研究、如何去分析问题、解决问题.

一次企业专家应用讲座

图论具有非常广泛的应用，很多的离散优化问题都涉及到图论，分布在现实世界的各个角落，

比如最短路问题、最小生成树问题、网络流问题、中国邮递员问题、货郎担问题、选址问题等等.我们邀请企业的专家和研究人员，就某个应用问题做一次讲座，比如邀请华为专家讲解“图编码”“云上的离散优化问题”等等.本环节主要是理论与实际的结合，让学生了解到图论知识在其他领域的应用，鼓励学生学好理论的同时，主动去解决实际问题，做“顶天立地”的工作，将自己的工作和论文写在祖国大地上.

4 课程思政建设成效

本课程开设十余年来，始终将课程思政的建设贯穿于课堂教学的全过程，在国内同类课程中优势突出，受到国内同行及兄弟院校的普遍赞誉，广受好评.近年来，课程负责人应邀在全国50余所高校和科研院所分享课程建设和课程思政的经验，团队成员多人次获国家级和省部级教育教学奖项，出版的系列教材得到国内高校的广泛使用和推广.课程入选南开大学首批研究生“课程思政”示范课程建设项目.

每学期最后一周会向学生发放调查问卷，了解本学期课程思政的效果.调查问卷内容大致包含以下几个问题(如图3所示)：课堂上，老师通过各种案例进行课程思政的方式，您接受吗？课堂上设置的学生实践环节，您觉得自己哪方面的能力得到了提升？对于该课程，您有什么好的建议？您更喜欢什么样的课程思政教学模式？提交问卷的所有同学能够接受这种课程思政方式.关于学生实践环节，大部分学生觉得提升了自己讲课、沟通、语言表达、逻辑思维等的能力.对该课程绝大多数同学在赞同目前课程思政的教学模式下也提了很好的建议，比如：课程中可以加入更多的时事，这是当前大家都感兴趣的话题，更容易激发学生的共鸣；可以更好地利用智慧课堂来进行教学等.

图3 最近一学期课程思政调查问卷

学校教务系统学生对本课程给予了很好的评价，部分摘录如下：

学生评价一：主讲老师学识渊博，讲授内容通俗易懂，循序渐进，所举例题不仅典型，而且由易到难，易于掌握.在讲授很多问题时，都会引导我们将应用问题抽象成图论问题，证明过程中重点关注逻辑推理，培养了我们分析问题、解决问题、抽象思维、逻辑推理、欣赏数学之美的能力.

学生评价二：老师不仅课讲得好，对学生也很热情，每次向他咨询学术科研、学业规划、职业生涯规划等一系列问题，都能给予准确、中肯的答复.课上老师经常会讲解一些世界各国大数学家、图论学家的事迹，介绍他们对图论学科、乃至整个数学学科的贡献，特别会介绍到我国学者管梅谷先生的先进事迹，课间也经常会跟我们讨论一些时事热点，通过对这些著名数学家的事迹和他们学术成就的了解，让我们深切感受到了数学家的精神所在，感受到了数学人的科学奉献.

学生评价三：根据导师建议，选了这门课程，后来经过更多的学习，发现自己的专科课程很多都会用到图论知识，这些知识对自己的科研也有很大的帮助.特别地，课程中的几位老师，分别来自数学学科、统计学科、数据科学学科、计算机学科等，课程内容注重理论联系实际、学科交叉方面的讲授，让我们在做好理论学习的同时，去关注实际问题的解决.老师也鼓励我们要树立远大目标，做顶天立地的研究，将论文写在祖国大地上.

5 结 论

本文主要以研究生图论课程为例，首先阐述了如何将马克思主义哲学原理的教育与科学精神的培养有机结合，来培养学生的数学核心素养；其次将课程思政的具体教学实现形式进行了总结；最后，经过多年的探索与实践，也将课程思政的成效做一个简单介绍.课程思政是高校立德树人的一项系统工程，深入推进大学数学课程思政工作，需要不断优化课程设置、修订专业教材、完善教学设计、加强教学管理，需要进一步挖掘梳理数学专业课程中所蕴含的思政元素，还需要教师自身进一步加强理论学习，积极思考，主动挖掘，多方配合.只有这样，才能加强学生数学核心素养的养成，才能促进思政资源与人才培养各环节更好的有机融合，才能促使思想政治教育贯穿于教育教学的全过程，才能真正意义上实现立德树人的根本任务.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.