微分几何的教学设计与实践——以《可展曲面》为例

李 娜， 刘白羽， 张林桐

(北京科技大学 数理学院，北京100083)

1 引 言

微分几何是伴随着微积分的创立而发展起来的数学分支，是数学类本科生的一门重要专业课.微分几何是以微积分作为主要工具研究平面和空间中的曲线和曲面的几何性质[1]，从广义相对论的数学理论，到数学大师陈省身给出的高斯-博内定理的内蕴证明；从建筑中的优美曲线与曲面，到工业加工和地图绘制，无不体现着微分几何的重要作用.

加强微分几何的教学设计可以帮助学生体会“数”与“形”的巧妙结合，促进学生在“数”——逻辑思维能力与“形”——直觉思维能力的全面发展[2].为了提高微分几何课程的教学效果，对课程的教学内容和教学设计开展了研究与实践，下面以《可展曲面》为例展开介绍.

2 可展曲面的教学设计

2.1 内容引入——温故知新

由于可展曲面是一类特殊的直纹面，所以课程从复习直纹面开始引入.

温故——通过动画演示引导学生观察柱面、锥面与平面的关系(如图1所示)，启发学生观察这两种直纹面的特点，它们都可以沿着柱面或锥面的一条直母线将它剪开，摊平展开成平面.

图1 柱面和锥面的展开演示

知新——这类可以摊平展开为平面的曲面就是可展曲面.

引导学生通过观察柱面、锥面和平面之间存在的关系，复习等距变换的定义和充要条件，启发学生利用等距变换给出可展曲面的定义.

温故——如果两个曲面之间的变换满足局部上保持曲面上对应曲线的长度不变，则称为(局部)等距变换.变换T是等距变换的充分必要条件是曲面的第一基本量对应相等.

知新——可以与平面建立局部等距变换的曲面称为可展曲面.

2.2 内容展开——形而上学

华罗庚先生曾经说过：“数无形时不直观，形无数时难入微”.这里“数”就是指推理证明，而“形”就是几何直观.在微分几何的教学过程中，不仅要培养学生的逻辑思维能力，同时也要充分利用数学软件，通过直观演示做到“数形结合”[3].

在教学设计中，本着“以学生为中心”的指导思想，结合学生的专业知识基础，采用从直观演示到理论推理、从具体问题到一般方法、层层推进的思路.在实际教学中，柱面、锥面可展性证明是相对简单，学生容易理解.而对于第三类可展曲面，即切线曲面，其可展性的证明方法是教学难点.为了让学生掌握切线曲面的可展性证明我们用圆柱螺线的切线曲面为例，首先通过纸张制作的教具(如图2)让学生观察到圆柱螺线的切线曲面可以通过空间中的连续弯曲形变摊平成平面，启发学生发现切线曲面的可展性，并且从直观上理解感受什么是曲面的可展性.

图2 切线曲面的可展性教具

再借助数学软件编程制作的动画(见https:∥pan.cstcloud.cn/s/x4EpPI1hTTM )向学生呈现圆柱螺线的切线曲面摊平成平面的完整过程，引导学生通过观察找到在形变过程前后曲面上保持不变的量，这些量将在后续的数学证明中起到关键作用[4].再让学生根据已给出的可展曲面的定义，进一步发现问题：如何利用微分几何的知识从理论上证明圆柱螺线的切线曲面是可展曲面？带动学生主动思考，让学生发现只要在切线曲面与平面之间找到一个等距变换，就可以得出证明的结论.在掌握了圆柱螺线的切线曲面的证明方法之后，对于一般曲线的切线曲面可展性证明，学生可以利用类似的方法自己给出.

定理1圆柱螺线的切线曲面是可展曲面.

证(i) 写出圆柱螺线切线曲面(如图3所示)的参数方程及第一基本量.

图3 圆柱螺线的切线曲面

设圆柱螺线的参数方程为a(t)=(cost,sint,t),t∈[0,2π]，圆柱螺线上一点Q的坐标为a(t)，过Q点的切线上一点P的坐标为r(t,v).

于是可写出圆柱螺线切线曲面的参数方程为

r(t,v)=a(t)+va′(t)=(cost-vsint,sint+vcost,t+v),

t∈[0,2π],v∈[0,+∞).

计算其第一基本量为

E=rt·rt=2+v2，F=rt·rv=2，G=rv·rv=2.

(ii) 建立圆柱螺线切线曲面与平面之间的等距变换.

注意到，圆柱螺线摊平后对应平面上的蓝色圆弧，保持弧长不变(如图4所示)，同时通过动画可以看出蓝色曲线的切线在摊平的过程中仍保持是蓝色曲线的切线，再回顾曲线曲率的几何意义为切线对于曲线弧长参数的转动速度，因此变换前后蓝色曲线的曲率也保持不变.

图4 圆柱螺线的切线曲面与平面之间的变换

根据圆柱螺线的参数方程a(t)=(cost,sint,t)可以计算出它的曲率为k=0.5.因此，图4右图中圆的半径就是曲率的倒数等于2.

再利用变换前后对应弧长相等，即|QP|=|Q′P′|，计算出变换后的P′点的坐标为

于是建立

这时平面的第一基本量恰好和圆柱螺线切线曲面的第一基本量对应相等.因此由等距变换的充要条件可得变换T是等距变换，这也就从理论上证明了圆柱螺线的切线曲面是可展曲面.

2.3 内容推进——数形结合

从前面的内容讲授可以看出，一个曲面是否是可展曲面可以通过寻找与平面之间的等距变换来判断，但是这样的判断过程理论性太强，抽象而不够直观.另一方面，将教学内容重新组织，在介绍完可展曲面的定义和例子之后，直接讲授可展曲面充要条件.为此，借助数学软件编程制作的动画演示，启发学生观察可展曲面的特点，从直观上给出直纹面是可展曲面条件(如图5所示)，再从理论上给出证明.

观察直纹面上沿着同一条直母线上的点的切平面变化情况(图5中的红色线段表示该点处切平面的法向量, 自制动画演示视频见https:∥pan.cstcloud.cn/s/x4EpPI1hTTM)，可以发现，柱面、锥面和切线曲面在同一条直母线上的切平面是相同的，这三种曲面都是可展曲面.而单叶双曲面、双曲抛物面和正螺面上沿一条直母线的切平面是不同的.再次提出问题：这三种曲面是否都不是可展曲面呢，为此给出下面的定理.

图5 可展曲面沿直母线的切平面变化

定理2直纹面r(u,v)=a(u)+vb(u)沿同一条直母线切平面相同的充分必要条件是高斯曲率K=0.

证任取一条直母线(如图6所示)上的两点P1∶r(u,v1)，P2∶r(u,v2)，其中v1≠v2.计算可得直纹面的法向量为n(u,v)=ru×rv=(a′(u)+vb′(u))×b(u)，而一条直母线的切平面相同的充分必要条件是n(u,v1)∥n(u,v2)，即要满足：

图6 直纹面

因为v1≠v2，b(u)是方向向量，于是上式等价于混合积(a′(u),b′(u),b(u))=0.

由已学过的高斯绝妙定理可知可展曲面的高斯曲率必然等于零.另一方面，可以证明沿同一条直母线切平面相同的直纹面(即高斯曲率K=0)只有柱面、锥面、切线曲面以及它们三者的拼合，因此也一定是可展曲面.由此得到直纹面是可展曲面的充要条件为高斯曲率K=0.

2.4 拓展应用——学以致用

微分几何中的知识无论在生活中，还是在其他学科的理论研究中都发挥着重要的作用，为此我们给出了两个有关可展曲面的实际应用.通过介绍可展曲面在建筑和工业中的应用，让学生学会发现和欣赏数学的美，同时培养学生的创新意识与实践能力，真正做到“学以致用”.

(i) 可展曲面在建筑上的应用.可展曲面是一种可以在不被撕裂变形的情况下展开成平面的特殊曲面，因此在建筑业中有着其独特的优势.如巴黎卢浮宫博物馆的大金字塔中造型别致的楼梯，楼梯下侧的曲面就是一种可展曲面——圆柱螺线的切线曲面.

(ii) 可展曲面在工业上的应用.如图7所示的Oloid曲面是由德国发明家保罗·沙茨在1929年发现的，它可以由两个相互垂直并且过对方圆心的圆来生成(生成过程动画见https:∥pan.cstcloud.cn/s/x4EpPI1hTTM)，也是一种可展曲面.它有着奇特的几何性质，没有角，并且可以在平面上连续滚动，滚动过程中曲面上的每一个点都会与平面接触，同时重心也在左右扭动.工业上正是利用它的这些特点，设计出适合水族馆中使用的搅拌器.这种搅拌器不但可以搅动大量水体提高水中的含氧量，又由于曲面本身没有角，所以相对更加平缓，对水族馆中的生物来说也更加安全.

图7 Oloid曲面

3 结 论

本节的教学重点是可展曲面的定义和可展曲面的判别.课程设计中注重数学逻辑的严谨性，注重增强学生逻辑思维能力和思想方法的培养.本节内容以柱面和锥面的可展性引入，借助图形、动画、提问和互动等多种教学形式和手段生动展开，营造轻松活跃的课堂教学氛围，通过直观演示加深学生对抽象概念、性质和定理的理解与掌握，直观地展示什么样的直纹面是可展曲面，循序渐进地给出圆柱螺线切线曲面的可展性证明以及可展曲面的充要条件，有效激发学生的学习兴趣，达到预期的教学效果.

本文以可展曲面为例详细介绍了微分几何中的教学设计理念，并结合对微分几何课程教学设计的研究和实践，不仅对青年教师参加教学竞赛具有借鉴意义，而且对于提高日常教学质量和水平也具有一定的参考价值.在教学设计过程中，要特别注重以下几个方面：

(i) 温故知新 在教学中有意识地将微分几何与微积分思想和方法相联系，挖掘课程的本质.注重学生科学思维方法的训练，帮助学生利用微分几何的知识加深对微积分思想的理解、对微积分方法的应用；

(ii) 数形结合 借助数学软件强化微分几何中“形”与“数”的统一，提高学生正确认识问题、分析问题和解决问题的能力；

(iii) 学以致用 在教学设计中融入微分几何的发展史以及在各学科中的应用，帮助学生开阔知识面的同时，激发学生的学习兴趣，培养学生探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感.

致谢作者非常感谢相关文献对本文的启发以及审稿专家提出的宝贵意见.