矩阵的零化多项式与其对角化

刘慧娟

摘  要：该文研究了适合一定条件的方阵n×n的对角化问题，应用矩阵的零化多项式、特征值、特征向量、矩阵的秩及其不等式等概念和理论，谨慎使用同一矩阵A的多项式，适合交换律的特殊性和非零幂零矩阵不可对角化的性质，给出了当矩阵A零化多项式的次数分别为2和3时，方阵A是否可以对角化的判别方法。这些方法对于矩阵论的教学与研究是十分有益的。

关键词：矩阵  特征值  特征向量  矩阵的秩  零化多项式  对角化

中图分类号：0221.4                           文献标识码：A文章编号：1672-3791（2021）03（a）-0109-03

The Annihilator Polynomial of a Matrix and Its Diagonalization

LIU Huijuan

（ Center of General Education， Zhengzhou Business College， Gongyi， Henan Province， 451200  China）

Abstract：The diagonalization of a matrixn×nis found and proved. Two results on diagonalization of matrices which annihilator polynomials with degree of 2，3 are obtained by the theories of annihilator polynomial， eigenvalue and eigenvector， the rank and their inequality， the same matrix A is suitable for the particularity of the commutative law and the property that non-zero nilpotent matrices cannot be diagonalized. These are beneficial for the teaching and research of matrix theory.

Key Words：Matrix; Eigenvalue; Eigenvector; Rank of a matrix; Annihilator polynomial; Diagonalization

形式最简单的矩阵是对角矩阵，如果矩阵的相似标准形是对角矩阵，那样，一个矩阵的秘密就暴露无遗了。人们立即可以知道它的行列式，它是否可逆，它的谱每一个的代数重数及几何重数、它的最小多项式和初等因子等情况。关于矩阵对角化的研究，人们已经给出了一些充分必要条件，最为人们熟悉的有“n阶矩阵A与n阶对角矩阵相似的充分必要条件为矩阵A有n个线性无关的特征向量”[1]和“设n×n，则A为正规矩阵当且仅当A相似于一个对角矩阵D[2]”。该文利用矩阵的零化多项式，给出n阶方阵A可以对角化的两个基本结果。

定义：给定矩阵n×n，如果多项式：

满足，称是A的一个零化多项式。

讨论中会用到下面两个关于矩阵秩的不等式[3]：

（1）不等式：

（2）若n×n，且，则

1  基本结果

引理1：设n×n，是一个常数，则A可以对角化当且仅当可以对角化。

定理2：设是A的一个零化多项式，则：

（1）当时A可以对角化;（2）当时，A可以对角化的充要条件是。

证明 （1）略（详见文献[4]）。

（2）由条件知，，从而， 是幂零矩阵。这样，一方面，若，，A是一个数量矩阵，本身就是对角形;另一方面，若矩阵

，是一个非零的幂零矩阵，而非零幂零矩阵不能对角化。再由引理1，不能对角化等价于A不能对角化。

定理3：设是n阶方阵 A的一个零化多项式，满足

式中，，，则A可以对角化。

证明：因为是一个零化多项式，便有。

考虑到矩阵两两可交换，于是有：

（1）

由不等式，可得：

即：

（2）

类似的，由（1）式中的第二式及第三式，可得

（4）

将（2）（3）（4）三个不等式的左边相加，右边相加，再应用第（1）式以及（A-λ1E）（A-λ2E）（A-λ3E），可得：

所以：

（6）

另一方面，考虑到矩阵的和的秩不超过矩阵的秩的和以及便有：

（7）

从而，综合（6）（7）两式得：

（8）

再由（1）式中的3个式子，并注意到乘积的可交换性可知：矩阵的每个非零列向量都是矩阵A的属于特征值λ3的特征向量，记矩阵B的列向量;组的极大无关组为，这里。

类似的，乘积矩陣和的列向量组的极大无关组分别为A的属于特征值的特征向量，记它们的列向量组的极大无关组分别是β1，β2，…，βs，和γ1，γ2，…，γt，（8）式表明r+s+t=n。由于这三组特征向量分别属于A的不同的特征值，因而α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βs，γ1，γ2，…，γt，仍然线性无关，故n阶方阵A有N个线性无关的特征向量，它可以对角化。

2  结语

该文针对矩阵A的二次零化多项式有重根的情况，给出了A可对角化的充要条件为;给出了已知矩阵A的三次零化多项式时，A可以对角化的条件。

参考文献

[1] 赵树嫄.线性代数[M].5版.北京：中国人民大学出版社，2019：156.

[2] 陈公宁.矩阵理论与应用[M].2版.北京：科学出版社，2007：30.

[3] 王卿文.高等代数学综论[M].香港：香港天马图书有限公司，2000：47-49.

[4] 辛向军，吕红杰.谈谈方阵的对角化教学[J].四川教育学院学报，2009（1）：115-116.

[5] 丁博辉，曹炜.矩阵的秩与零化多项式[J].大学数学，2014（5）：66-67.

[6] 刘宏锦，周金森，刘利敏.λ-矩阵的等价和矩阵多项式秩的恒等式[J].大学数学，2016（3）：97-101.

[7] 易福侠，王金林，袁达明.一类特殊矩阵特征值反问题[J].数学的实践与认识，2018（2）：170-178.

[8] 刘红梅.基于矩阵特征值与特征向量的应用研究[J].许昌学院学报，2019（2）：1-4.

[9] 谭友军.数学专业线性代数教学中的PIPA过程[J].中国大学教学，2018（4）：34-37.

[10] 姜爱平.矩阵相似对角化的案例化教学设计[J].高师理科学刊，2019，39（2）：80-83.