初中数学最值问题解决“三维”谱系

李佳琦

【摘要】初中数学最值问题因为题量足、分值大、形式广、综合性强，能够考查学生的思维力、空间把控力、想象力、学习力等，成为初中数学学习与考试中的重点、难点和热点.数学教师应该以自主自悟为理念、以方法渗透为过程、以技术支撑为平台促进最值问题的解决.教师应该是一个细微的发现者、一个高效的启发者、一个积极的建设者，为最值问题解决、数学高效学习和学生能力提高奠定坚实的基础.

【关键词】初中数学;最值问题;自主自悟;方法渗透;技术支撑

最值问题是初中数学学习与考试中的重点、难点和热点，具体分析如下：最值问题成为初中数学学习与考试的“重点”，是因为它几乎囊括了代数、平面几何、立体几何等多个知识体系和细微的知识点;最值问题成为初中数学学习与考试的“难点”，是因为学生常常在解决最值问题的过程中“栽跟头”“吃大亏”，常常因为辨不清真相、理不清头绪、选不对方法而失分，进而留下深深的遗憾;最值问题成为初中数学学习与考试的“热点”，是因为一般考试或中考中，最值问题题量足、分值大、形式广、综合性强，全面考查学生的思维力、空间把控力、想象力、学习力等.鉴于此，教师以自主自悟的理念为突破点，引导学生深刻分析初中数学最值问题的特点、规律及解题方法，让现代化技术保驾护航，构建一个解决最值问题的“三维”谱系，这是初中数学教师解决初中数学最值问题的基本脉络和重要视点.

一、以自主自悟为理念促进最值问题的解决

毋庸置疑，最值问题的解决经常耗费师生大量的时间，笔者认为，解决最值问题的理念的导向性应该成为重中之重.过去，数学教师苦口婆心，大讲特讲解决最值问题的方法、窍门、策略与路径，唯恐落下任何一个知识点.这样的负责精神难能可贵，但是，教师过分包揽，过分“精细化”讲解，恰恰剥夺了学生自主自悟的权利与机会.这样的“只扶不放”对于培养学生自主解决最值问题的能力是不利的，难以保证学生在考场上顺畅、轻松、正确地解题，更不利于学生创新意识的萌发和创新能力的提高.所以，解决最值问题，教师应该从自主自悟的理念转变开始.

首先，自主自悟表现在学生对最值问题的审题上.审题不细，“后患无穷”;审题粗糙，“张冠李戴”;审题偏差，“驴唇马嘴”.比如，某三角形动点问题原本是“周长最大问题”，但学生却粗心大意地将其理解为“面积问题”，那么，计算错误在所难免.所以教师应该引导学生睁大“火眼金睛”，辨清题目的指向性，弄清题目的针对性，搞懂问题的落脚点，养成一丝不苟的审题习惯.教师不应该自己指出来“这是什么”，而应该引导学生发现一些易混点，让学生自己厘清相似点和不同点，自己纠正易错点.如果教师长期让学生甩开膀子自己解决问题，那么最值问题也就不再难如天堑，不再是学生数学学习中的“拦路虎”.

其次，自主自悟表现在学生对解决最值问题的方法选择上.比如，对于某三角形动点问题，学生是选择“先求出确定线段的长度，再陆续破解”的方法，还是选择通过“分割法”将问题转化为“开口向下的函数”来解决问题.显然，这样的方法选择不是教师“指到哪里打哪里”，而是教师充分尊重学生，给予学生自我选择、自我推进、自我反馈的自由.学生善于使用哪种方法，教师就应该给予鼓励和自由.当然，教师如果能够鼓励学生以多种算法解题，更是难得的、可贵的教学境界.

最后，自主自悟表现在教师对最值问题的拓展上.比如，在“圆”的问题解决中，教师就可以由一般问题拓展到“隐形圆”，让学生经历一个由“一般化”到“模糊化”再到“清晰化”的过程.该问题具有探究性，因为“隐形圆”或隐藏于“定点定长”中，或隐藏于“对角互补”中，或隐藏于“定角定弦”中，或混淆在“相等角”中.即使学生的拓展脱离了眼前的学习任务和本课的学习目标，教师也不必过分担心.有时学生在问题拓展中遇到的数学内容并不是最重要的，但是在这期间，学生数学视域的多重洞开、数学经验的成功建构、数学精神的强力培养是很有价值的.

二、以方法渗透为过程促进最值问题的解决

学生从解决一道习题到解决一类问题，从偶然用对一个方法到大范围举一反三，从个别意义上的总结到普遍意义上的领会，其实就是由“点子”到“方法”的过渡，是由“知识”到“能力”乃至“数学思想”的过渡.方法渗透是解决最值问题中不可或缺的，也是学生素养提升中重要的过渡.

（一）代数中最值问题数学方法的渗透

代数中最值问题的求解，可以渗透诸多数学思想.比如“配方法”，学生抓住“非负性”“恒等变形”和“完全平方”等关键点，即可破解难题，顺利求解最值问题.再比如“分类讨论法”主要是针对那些具有“不确定因素”的函数，面对这样的“硬骨头”，学生要抓住“单调性”和“绝对值零点”等关键词进行分类讨论，最终厘清函数内在的关系进行求解即可.还比如“数形结合法”，学生可以把数字转化为数轴，也可以把图形上的相关信息转化为数字，还可以把一些变式转化为“一动点两定点”的坐标图形等.至于“均值不等法”“函数模型”等，学生都可以将其灵活地、恰到好处地渗透到相关最值问题的解决中.

（二）平面几何中最值问题数学方法的渗透

平面几何最值問题涉及范围较广，三角形、四边形、圆均有所涉及，其中周长或面积问题的解决均离不开“两条线段差最大，和最小”这样的基本模型.学生要想解决这类问题，“转化法”是不可或缺的，学生将复杂的、多维的、晦涩的试题转化为简单的、基本的、已经学过的模型求解即可.其他的一些方法，如“平移法”“反射法”，学生均可以成功运用，关键在于师生如何筛选、如何取舍、如何归纳.学生若能选择正确的方法，融知识、思想与策略于一体，则可以打破“处处受限”的局面，进入多法并举的顺畅阶段.

（三）立体几何中最值问题数学方法的渗透

立体几何中最常见的问题莫过于“曲面上两点间的距离”问题.一般情况下，学生通过“化曲为直”就可大功告成，把侧棱转化为三角形，就可以从平面角度解决问题.对于立体几何中的其他最值问题，学生可以用“变量的相对性”进行求解，或用“定量分析法”等.对于面积最值问题、体积最值问题、角度最值问题，学生均可以运用相关方法找到最佳切入点，正确、轻松地解决问题.

三、以技术支撑为平台促进最值问题的解决

学生有了理念与方法的支持，如果再通过技术支撑解决问题，那么会实现学习上的高效与快捷，最值问题的学习也会进入一个新的阶段.数字化工具、教育云平台、智慧校园等技术支撑，可以化“模糊”为“清晰”，化“复杂”为“简单”，使最值问题由“局部”到“整体”，或者由“整体”到“局部”，由“分”到“合”，由“宏观”到“微观”，构建一个立体、丰富、高效的数学学习新时空.

比如解决平面几何中的最值问题时，学生常常需要教师以轴对称变换的图形为教具进行演示.此时，教师利用多媒体的“切割、变形、缩小、涂色”等多维画笔功能，给学生快速画出一个立体清晰、色彩丰富的图形.这对于聚焦学生兴趣、唤醒学生学习动力、开阔学生思维空间，具有极大的作用.再比如平面几何中平移变换图形的制作，过去，教师是用尺子等在黑板上比画，而现在教师在多媒体设备上只需一个“复制”即可完成.最值问题解决中的变换、制图、列式、验证等学习环节，教师均可以利用多媒体课件形象生动地展示给学生，以此助力疑难问题的解决，助力课堂的高效推进，助力学生素养的有效提升.

当然，多媒体介入最值问题的解决的时机一定要恰到好处，正所谓“该出手时才出手”.比如上文提到的“曲面上两点间的距离”问题，如果学生还未悟出“化曲为直”等方法，教师就用多媒体演示“侧棱转化为三角形”的动态过程，无疑有点操之过急.学生还未经历由“思考”到“总结”的历程，还未体验由“未知”到“已知”的探索，教师就直接让技术过程代替人脑思考，这实际上是教师对学生思维过程的忽视，是教师对学生创新精神的遮蔽，是教师对学生不负责的表现.

窃以为，教师在引导学生反复讨论该用何种方法解决最值问题的过程中，当诸如“转化法”“类比法”等念头在学生脑海中快要产生时，当学生悬而未决或思维停滞不前时，教师用多媒体引導学生，能出奇制胜，达到洞开视域、产生灵感、寻到最佳方法、灵活解决问题的目的.教师需要高度警觉与敏感，善于抓住时机，捕捉学生欲言又止的表情，总结学生作业中的错题，让“数字信息化工具”恰当介入.而这时，疑难问题的解决、高效课堂的打造、数学素养的提升，则会变得自然而然，轻而易举.四、结束语

初中数学最值问题的解决中“自主自悟”这个理念不能变，“以生为本”这个中心不能变，“素养提升”这个落脚点不能变.“变”与“不变”中，教师是关键.教师应该是一个细微的发现者，善于发现最值问题中重要的信息;教师应该是一个高效的启发者，善于启发学生找到解决最值问题的最佳途径、方法、策略和数学思想，让学生以最轻松、最高效的方式解决问题.当然，教师还应该是一个积极的建设者，建设数字化网络环境，建设立体化学习平台，建设远程对话平台，为最值问题解决、数学高效学习和学生能力提高奠定坚实的基础.