小学数学概念的现实原型的优化选取

江苏省南京市西善花苑小学 胡 俊

一、绪论

随着基础教育改革的深化，小学数学教学受到了广泛的关注。概念教学作为小学数学教学中的重要组成部分，如何提升其教学效果显得尤为重要。概念教学都经历了由原型到模型再到概念的抽象过程，原型的观察是概念教学的起点，是否优化的原型选取直接影响学生的研究观察与模型建立，从而影响概念的抽象过程。同时，小学阶段数学概念的产生主要源于生活的需求，大多数数学概念均可在生活中找到它们的现实原型。因此，对小学数学概念的现实原型的优化选取的研究具有重大意义。

通过查找、阅读、分析、比较相关文献，笔者发现大多数研究都是从理论综合的角度出发，没有对概念进行细化的分类，很难有针对性地对不同类型的数学概念的现实原型的选取提供合理的方案。因此，笔者基于现有研究成果，结合具体实践，对不同类型的数学概念提出不同的优化选取策略。

二、数学概念

（一）数学概念的含义

数学概念是人类对现实世界数量关系和空间形式的本质属性的思维形式，是架构数学世界的基石。数学概念的内涵指数学概念所反映数学对象的本质属性。数学概念的外延指数学概念所反映数学对象的全部。

（二）数学概念的分类

1.按照内容分类

数学概念可以按照数学学习内容进行分类（见图1）。

图1

2.按照能否被定义分类

数学概念可以按照能否被定义进行分类，可以分为原始概念和定义概念。原始概念指直接作为研究内容本身被提出，无法再加以定义的概念（如直线、射线和角等）。定义概念指通过给概念下定义揭示其本质属性，使其与其他概念区分开来而获得的概念（如只有1和它本身两个因数的数就是质数）。

3.按照溯源分类

数学概念可以按照它的来源进行分类，可以分为直接抽象概念和逻辑建构概念。直接抽象概念源自对客观世界的数量关系和空间形式的直接抽象，它们往往能从现实世界中找到它们的原型或近似原型（如直线、射线、角、正方形、长方形等）。而逻辑建构概念是对已有数学概念的逻辑建构（如用字母表示数、方程等）。

4.按照表现形式分类

数学概念可以按照它的表现形式进行分类，可以分为定义式概念和描述式概念。定义式概念指通过精练完整的语言揭示出事物的本质属性（如含有未知数的等式是方程）。描述式概念指通过言语对研究对象的本质属性进行描述概括所得到的概念（如像+20、+8844.4这样的数都是正数）。

5.分类的目的与启示

小学阶段的数学概念大都以原始概念、直接抽象概念、描述式概念为主，这些概念往往在现实生活中都能比较轻松地找到大量的现实原型，然而对于现实原型的选取还取决于数学概念按照内容的分类。统计与概率的现实原型大都以逻辑建构概念为主，现实原型不容易找到，因此对于小学数学概念的现实原型的优化选取可以分为数概念和形概念两部分进行选取的考量。

（三）数学概念的学习历程

数学概念的学习从认知结构角度来看，就是新知与学生原有的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。首先，学生借助已有知识经验、直接经验与一定的学习情境，通过对现实原型的观察、研究，在“说”的过程中，产生认知需求或认知冲突，从而获得对现实原型所蕴含的本质属性的充分体验，初步在脑海中抽象出现实原型的数学模型。接着，由任务驱动，通过自主、探究、合作等学习方式，对脑海中原有图式进行加工、重组（或同化或顺应），建构出新的图式，从形象概念抽象出数学符号概念。最后，回归本质相同的具体情境，在操作应用中，补充和完善我们的认知结构，提升我们的思维能力和认知水平，从而达到对数学概念的理解和掌握（见图2）。

三、现实原型

（一）现实原型的含义

现实原型指在现实生活中能反映数学概念本质属性的具体情境或具体实物。按照上文的思路，数学概念按来源分类可分为直接抽象概念和逻辑建构概念。直接抽象概念源于现实生活的需要，在现实生活中，能直接找到许多相似的具体情境，即数学概念的现实原型。而逻辑建构概念源自数学知识体系本身的需求，在现实情境中几乎无法找寻它的影子，在小学数学中，绝大多数概念均属于前者，均可以在现实情境中追根溯源。

（二）现实原型的分类

基于前文对数学概念的分类和小学数学概念教学的现实意义，按照数学学习的内容和研究对象，小学数学概念的现实原型可被分为数概念的现实原型和形概念的现实原型。数概念的现实原型大多以具体操作或具体情境为表征（如“10的认识”中通过手指数、计数器拨、小棒捆等具体操作为表征；苏教版数学“两位数乘整十数”中通过给敬老院送菜椒的具体情境图为表征等）。形概念的现实原型大多以现实生活中的具体事物为载体进行表征（如“认识射线”激光灯的光束等）。

（三）现实原型与数学概念的关系

1.数学发展

在历史的长河中，伴随着人类科学文明的发展历程，数学发展是从具体到抽象，从现实原型到数学概念的单向发展关系（见图3）。

图3

2.个体认知发展

在数学概念的学习历程（即学生个体的认知发展历程）中，现实原型和数学概念呈现一个封闭的回路状态。学生在具体情境中对现实原型进行充分体验，抽象出形象概念，在元认知、学习方式的参与下，从形象概念抽象出数学符号概念，最终回归到具体情境中的问题解决（见图4）。

图4

四、现实原型的优化选取

（一）现实原型的优化选取方法

1.寻找原型

通过追根溯源的方式，由教学数学概念倒推其现实原型，逆向还原数学概念的学习历程，在由果索因的过程中，找寻合适的现实原型。

2.确定原型

从知识本身、学生实际和原型的客观条件等方面，综合考量现实原型的合理性，以达到现实原型的选取优化。

3.优化原型

通过对教学方法、学生情况和客观条件等方面的考量，对所选现实原型的不足之处加以补充优化，从而使现实原型的选取达到最优化。

4.校对原型

重塑从现实原型到数学模型再到数学概念的过程，在顺向的数学概念学习历程中对所选现实原型进行再考量。

（二）以“认识射线”为例

1.寻找射线原型

从教学目标出发，为我们的追根溯源做好准备。教学目标：经历观察、画图和交流等活动，认识射线，掌握射线的特征；建立“无限长”的概念。

从数学概念想起：什么是射线？书本中采用的是描述式概念，即“像这些光线就可以把它们看作是射线”那么这些光线有什么特点呢？“从一点出发、直直的、无限长。”这就是射线这一抽象概念的形象模型。结合这一特征，在具体情境中寻找符合这些特征的实例。可找到“各种灯光的光束”“动画片《龙宫夺宝》中孙悟空不断变大的金箍棒”等现实原型。

2.确定射线原型

“认识射线”这一知识属于图形与几何领域基本图形的概念教学。在概念的分类上属于采用描述的表现形式的原始性概念。从学生角度来看，“金箍棒”更具有趣味性，也更贴近学生的生活经验和兴趣爱好，而“灯的光束”则更加真实，同时能在操作活动中培养学生的多种能力。从原型的客观条件来说，“灯光的光束”受轨迹呈现形式、自然界中各种物质的影响，给课堂的观察研究带来不确定性。从课堂效率来说，“金箍棒”可能效率更高，而“灯光的光束”相对比较耗时。综上所述，这两种现实原型各有利弊均可选取，确定选取哪一种，取决于教师的教学理念和学生的需求。

3.优化射线原型

在此环节，笔者将从“灯光的光束”和“金箍棒”两条线路进行阐述。

选取“灯光的光束”为现实原型需要考量：（1）观察对象：取材容易，便于观察；（2）呈现轨迹：清晰可见；（3）射线表征：延展性；（4）介质影响：是否笔直。

结合考量，提出解决方案：（1）观察对象：激光笔（电光笔）；（2）呈现轨迹：在较暗的环境中或者采用雾化的方法，在空气中喷洒水汽；（3）射线表征：为了突显光线是不断向前延伸的，可以先用激光笔照射在室内门（墙）上，让学生观察光的运动轨迹，再让光照射出教室，照射在校园里，让学生观察光的运动轨迹，最后再将光照射向天空，让学生想象光的运动轨迹。（4）介质影响：由于光在运动过程中会受到自然界中各种物质的影响，并不是笔直的，而我们在研究过程中对这种影响是忽略不计的，因此教学过程中要强调“没有遮挡物”。

选取“金箍棒”为现实原型只需要考量如何将射线最重要的表征“一端可以无限延长”表现出来。提出解决方案：让“金箍棒”动起来，不断伸长，引发思考：“金箍棒冲破海面，冲出云层……还能不能再伸长了？让我们闭上眼睛，想象一下，这根金箍棒还在不断地延长，不断地延长……可能延长到哪里了？”

4.校对射线原型

将塑造好的射线的现实原型整合到教学设计中，对射线这一概念顺向教学历程的梳理，校对现实原型选取的合理性，通过校对，两种优化后的现实原型均符合要求。

本研究从小学数学概念的含义和类型着手，阐述了数学概念的学习历程，揭示了现实原型与数学概念的关系，并为小学数学概念的现实原型的优化选取提出了解决方案，对小学概念教学的理论研究和教学实践有指导意义。

仍存有遗憾，如：小学数学概念的梳理整合；现实原型的分类准则的细化；现实原型的意义和价值；以数概念的角度为例诠释现实原型的优化选取方法等。这些问题将是笔者下一阶段研究的方向。