素养视域下的“引导—探究”式教学

李青 张琥

[摘  要] 基于数学核心素养的视角，以“函数y=Asin（ωx+φ）的图像（第1课时）”为例，运用“引导—探究”式教学，将核心素养真正落实于课堂教学实践之中. 学生通过探究，发现和提出函数y=Asin（ωx+φ）的图像变换的一般规律，在此活动中积累数学活动经验，体验数学探究的过程与方法.

[关键词] 引导探究;核心素养;课堂教学;反思

2019年11月20日，笔者参加了由江苏省教育厅主办，江苏省中小学教学研究室承办的“2019年江苏省高中新课标新教材培训活动”，并开设了一节“函数y=Asin（ωx+φ）的图像（第1课时）”的课例展示，现整理成文与各位同仁交流.

教学分析

1. 教材分析？摇？摇

三角函数是描述周期现象的数学模型，也是基本初等函数的一种，在数学和其他领域中具有重要的作用.《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：结合具体实例，了解y=Asin（ωx+φ）的实际意义，能借助图像理解参数A，ω，φ的意义. 了解参数的变化对函数图像的影响，会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.

2. 学情分析

本节课授课的对象是地级市中学的高一学生，他们的数学基础知识掌握得比较好，之前已学习了二次函数等基本函数图像的平移变换，学习了正弦函数图像、余弦函数图像，又在三角函数的图像和性质中对周期概念有所了解.本节课是对一般函数图像变换内容的延伸和拓展，从“形”的角度上升到从“点的坐标”这一代数本质去理解图像的变换规律.

目标与方法设计

1. 教学目标

（1）通过揭示参数A，ω，φ的变化对函数y=Asin（ωx+φ）的图像的影响，有助于进一步深化理解和认识函数图像的变换，体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型.

（2）分别探讨φ，A，ω对y=sin（x+φ），y=Asinx（A>0），y=sinωx（ω>0）图像的影响，让学生学会观察图像，探究方法，理解函数图像变化的实质.

（3）体验数学探究的过程与方法，感受生活中数学之美，培养学生自主探究的精神.

2. 教学重点与难点

教学重点：通过探究φ，A，ω对y=sin（x+φ），y=Asinx（A>0），y=sinωx（ω>0）图像的影响，理解函数图像的变换规律.

教学难点：让学生自主探究、研究策略，经历从具体到抽象、由感性到理性的探究过程.

3. 教法与学法分析

教法分析：采用开放式探究、启发式引导、互动交流、反馈评价等方法，让学生经历由形导数到由数释形的深化过程，形成研究函数图像变换的一般策略.

学法分析：采用“引导—探究”的教学方式，调动学生积极思考、主动探索，在教学中，笔者进行了以下学法指导：（1）自主探究;（2）观察发现;（3）合作交流;（4）归纳总结.

教学过程（片段）

1. 创设问题情境，形成数学观念

问题1：有一个单位圆，以其圆心为坐标原点建立直角坐标系，有一质点，以单位圆与x轴的交点为起点，以角速度1 rad/min在单位圆上按逆时针方向做周而复始的匀速圆周运动，求质点在x min时刻的纵坐标y.

生：y=sinx.

师：很好，质点在x min时刻的纵坐标是y=sinx，从上面问题的叙述来看，质点的圆周运动明显是周期运动.

思考1：若问题1的角速度是ω rad/min 時，质点在x min时刻的纵坐标y是多少？

生：y=sinωx.

思考2：若问题1的圆的半径是2，角速度是2 rad/min，从1 rad角的终边位置计时，那么质点在x min时刻的纵坐标y是多少呢？

生：y=2sin（2x+1）.

师：很棒. 通过改变半径，改变角速度，改变计时位置，可以得出形如y=Asin（ωx+φ）的函数，这也是我们今天要研究的函数.

（给出生活实例：摩天轮）

师：参数A，ω，φ取不同实数，我们就得到了不同的函数表达式，请几位同学到黑板上写几个这样的函数.

学生参与（3个学生板书，共写出了7个函数）：y=sinx，y=2sinx，y=sin（x+1），y=sinx+ ，y=sin2x，y=2sin（2x+1），y=5sin2x+ .

？摇师：在这个函数大家庭中，y=sinx是我们最熟悉的函数，其他几个显得有些陌生，按照我们以往的经验，一般我们通过什么方法研究或认识函数的性质呢？

？摇生：图像.

设计意图：用数学的眼光观察世界，感悟函数y=Asin（ωx+φ）是刻画自然界周期现象的常见的数学模型，具有丰富的自然背景. 强调研究函数的必要性，同时通过问题情境，让学生形成数学观念. 通过学生书写，教师能关注到学生的思维过程，大部分学生思考问题的角度还是形同的：在y=sinx的基础上，逐步添加“参数”.为了更好地研究一般性，可以先从最简单的函数入手，先研究y=sin（x+1），y=2sinx，y=sin2x，再由特殊到一般进行探究.

2. 尝试探究活动，生成活动经验

探究1：如何由y=sinx的图像得到y=sin（x+1）的图像？

探究2：如何由y=sinx的图像得到y=2sinx的图像？

探究3：如何由y=sinx的图像得到y=sin2x的图像？

师生活动：（1）学生分两组：第一组实行探究1、探究2，第二组实行探究1、探究3;（2）学生分组展示;（3）教师几何画板验证，通过动画演示，从“形”的角度验证学生感性的认识是否正确;（4）总结提炼（学生总结，教师提炼），并给出严格的证明，让学生经历由感性到理性的研究过程：从“形”的角度上升到从“点的坐标”这一代数本质去理解函数图像的变换规律;（5）由特殊到一般进行探究，让学生经历从具体到抽象的研究过程.

设计意图：让学生独立探究，通过探究φ，A，ω对y=sin（x+φ），y=Asinx（A>0），y=sinωx（ω>0）的图像的影响，理解函数图像的变换规律，不仅从“形”的角度认识规律，更加突出从“点的坐标”这一数的本质去理解. 通过探究活动，生成活动经验;通过教师引导、学生探究，由感性到理性、由形到数，最终实现思维水平的提升.

3. 深化探究成果，体现数学运用

探究4：如何由y=sinx的图像得到y=2sin（2x+1）的图像？

师生活动：学生讨论后交流，从坐标关系理性分析，得出6种途径.

（1）y=sinx y=sin2x y=2sin2x y=2sin（2x+1）;

（2）y=sinx y=2sinx y=2sin2x y=2sin（2x+1）;

（3）y=sinx y=sin（x+1） y=2sin（x+1） y=2sin（2x+1）;

（4）y=sinx y=2sinx y=2sin（x+1） y=2sin（2x+1）;

（5）y=sinx y=sin2x y=sin（2x+1） y=2sin（2x+1）;

（6）y=sinx y=sin（x+1） y=sin（2x+1） y=2sin（2x+1）.

请选择其中一种方法进行讨论交流，然后回答.

设计意图：鼓励学生合作交流，学生通过交流，给出了6种不同的图像变换途径，并用自己的语言进行表述，这个环节充分暴露了学生的思维过程.教师在这个过程中，做一个倾听者，并适时提出自己的“疑惑”，由学生解答. 通过这样一种交流，深化探究成果，体现数学运用，同时有利于培养学生的学习积极性，有利于培养学生的数学思维能力.

教学反思

1. 以数学问题为情境，开门见山

数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是学生在数学学习的过程中逐步形成的. 新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，高中数学教学活动的关键是启发学生学会数学思考，引导学生会学数学、会用数学. 从数学学科知识本身入手，采取开门见山的方式引入，很多时候更符合学生的认知水平，能取得更好的效果.从数学问题本身出发，创设有效的问题情境，可以集中学生的注意力，诱发学生思维的积极性，激励学生探究，也比较容易调动起学生对已有的知识、经验、感受和兴趣的回忆，从而更加自主地参与问题的解决以及新知识的获取过程.

由于正弦线、余弦线、正弦曲线都是在单位圆的基础之上研究的，本节课在创设情境部分，并没有直接给出生活中的摩天轮图片，而是通过研究单位圆上匀速圆周运动的点的纵坐标，引出正弦函数，再通过逐步变化半径、角速度以及计时位置，得出本节课要研究的“新函数”，对这样一个数学情境，学生较为熟悉. 当“新函数”出现后，再让学生联系生活——生活中这样的匀速圆周运动的物体，最常见的有哪些？学生容易想到摩天轮，这个时候，再用图片展示，让学生感知数学与生活密切相关.

2. 以先前经验为基础，引导探究

杜威在《民主主义与教育》一书中说道：“教学的问题在于使学生的经验不断地向着专家所已知的东西前进.所以教师既须懂得教材，还须懂得学生特有的需要和能力.”教师是学生的引导者，要引导学生进行恰当的活动，引导学生激活进一步探究所需要的先前经验. 因此我们的教学要善于引导学生回顾先前经验，促进学生对先前经验的重新组织、转换和深化，最终达成学习结果.

以探究1为主导，学生利用已有知识，平移变换，教师步步引导，提炼出图像变换的本质方法. 三个探究的顺序：第一个探究，平移变换，学生在初中时已经有所接触，也是三个探究中学生最熟悉的一个. 第二个探究，学生略有陌生感，也有部分学生类比初中时的二次函数y=x2与y=2x2图像的关系，得出横坐标不变、纵坐标变为原来的2倍这个较为模糊的认识（此时学生还不具备完整的表述图像变换过程的能力）. 第三个探究，难度较大，由于地级市中学的学生数学基础较好，且有了第一个探究的铺垫，很多学生认识到函数图像变换的本质是点的变化，因此第三个探究部分学生可以研究出来. 通过三个探究，循序渐进，使学生更加清晰领悟函数图像变换的本质，对后续的学习做下铺垫.

3. 以核心素养为导向，层层递进

数学核心素养是数学素养中最起决定性作用的素养. 随着数学教育的不断发展，数学核心素养的教育价值日益凸显出来. 数学核心素养的培养不能仅仅关注知识的传授，更要注重学生自主探究习惯的培养.

自主探究是新课程理念所提倡的一种重要的学习方式，它要求学生在教师的引导下充分发挥自己的主观能动性，调动自己的各种器官，比如动手探索、动眼观察、动嘴交流、动脑思考等获取知识.因此教师的引导十分重要，探究的问题不该过多关注探究的形式，应在结合学生实际情况的同时，更关注思维层面的探究，不能是“表面热热闹闹的课堂，内在思维贫乏的师生”.

本节课的授课对象是地级市中学的高一学生，考虑到学生的数学水平较高，本节课的教学以问题为载体，以思维发展为主线.良好的思维习惯和思维能力是学习获得成功的关键.三个探究同时呈现，可以真正触动学生的先前经验，引发学生的高层次思考. 设置三个探究，目的只有一个：让学生理解函数图像的变换本质是函数图像上的点的变化. 探究1是学生一看就会的，但很难提炼出图像变换的本质，探究2、探究3是学生陌生的，同时给出三个探究让学生思考，目的是让学生感知仅仅知道“左加右减”是不够的，还需要反思：“左加右减”的本质是什么？当在探究1中得出点的坐标的变化之后，探究2、探究3就不是难题了，这样才能真正发挥探究的作用，实现思维的提升.

4. 以激发潜能为手段，深入浅出

基于素养导向下的数学教学，要求教师要更新观念，提升数学核心素养，不能仅仅依赖于学生的模仿与记忆，更需要他们的理解与感悟.

英国著名的数学家怀特海认为，学生是有血有肉的人，教育的目的是为了激发和引导他们的自我发展之路.“自我发展”，简单的四个字，蕴含着许多深意.学生的潜能是巨大的，学生只有发挥了自己的潜能，才能真正实现自己的价值.在数学课堂上，尽可能把“激发潜能”贯穿于数学课堂之中，让学生意识到“我能行”，让学生畅所欲言，凸显自己的想法与疑惑. 作为数学教师，我们需要有不断更新的理念，以激发学生的数学潜能为教学手段，引导学生实现自我发展，体现数學的育人价值.

本节课在三个探究之后，学生理解并掌握了图像变换的本质，所以大部分学生就能很轻松地进行探究4的研究. 有几位学生还提出了多种不同的路径，通过不断地变换路径，巩固了几种图像变换类型的相关知识，同时对图像变换过程中常见的几个易错点，学生也能清晰地指出，达到了预设的目标.