情境—问题—活动—评价：基于大概念的“平面向量数量积”教学实践

刘国祥 姚伟荣

[摘  要] 以大概念统整单元教学设计已成为共识，但在单元整体设计视角下课时设计如何对接大概念？文章就课时设计提出了四个维度——情境、问题、活动、评价，结合平面向量数量积的教学实践给出了设计策略.

[关键词] 情境;问题;活动;评价;核心素养

学科大概念并非指学科中某一具体的概念或定理、法则等，而是指向学科核心内容和教学核心任务，反映学科本质的、能将学科关键思想和相关内容联系起来的特殊的概念. 大概念视角下教学与设计就是从整体思维的视角和学科知识结构出发的，引领教师的教学过程和学生的学习过程，提升学生的核心素养. 如何基于学科大概念设计课堂教学？下面结合苏教版必修4“平面向量的数量积”进行“情境—问题—活动—评价”设计，探讨大概念背景下课堂的设计与教学.

“情境—问题—活动—评价”设计策略

首先，教师要在大概念引领下，创设一个真实的、与实际生活紧密联系的数学情境，将要解决的问题蕴含在特定的情境中，让学生通过对情境中相关信息的感知和理解来提出核心概念;其次，教师要基于情境与核心概念，设计出指向核心概念的结构化、分层次的子问题和任务;最后，学生围绕子问题和任务开展有针对性的合作、探究等自主学习活动，构建核心概念. 评价活动贯穿整个教学活动之中，重点评价知识的迁移与应用，实现教、学、评一致.

以“平面向量数量积”的“情境—问题—活动—评价”设计案例？摇

1. 情境指向核心概念

在教学中从单元大概念出发，创设能激发学生兴趣、连接学生已有经验、引发学生情感共鸣的真实情境，帮助学生建构概念、发展思维、形成观念. 图1是情境与问题的设计框架.

平面向量大概念：向量化思想，其核心将几何图形及其关系向量化，通过向量的代数运算解决几何问题.？摇平面向量的数量积是学习了向量加法、减法和數乘之后一种新的运算，从大概念出发提出核心问题：“向量线性运算可以研究封闭图形的平行问题，对于平面图形中的垂直问题，特别是长度及角度问题能否用向量来解决？”这样解释了“为什么要引入平面向量数量积概念”这个问题，让教材逻辑结构与学生认知结构贯通. 针对核心问题，类比物理学中的功，教师创设以下情境：①如图2，在力F的作用下物体位移为s，求力F对物体所做的功是多少;②如图2，在力F的作用下物体位移为s，求力F对物体所做的功是多少;③如图3，在力F的作用下物体位移为s，求力F对物体所做的功是多少. 你是如何考虑的？

设计意图：图4中力F和位移s的夹角为θ，类比引发向量的夹角;力F可以分解成两个等效的力来替代，可以转化为图2、图3，类比引发向量投影概念;功的表达式类比建构数量积的定义及几何性质，从情境中提炼出核心概念.

2. 问题启迪学生的思维

学生的问题源于情境，思维始于疑问. 教师创设情境后，让学生走进情境，提出指向核心概念的结构性问题和任务来启发学生的思维. 学生在情境与问题的互动过程中建构概念.

问题1：从物理角度来看，力F和位移s都是矢量，角θ为两矢量的夹角，把力F和位移s看作向量a，b，那么从数学角度来看，如何定义向量夹角？（设计意图：建构向量夹角）

问题2：W=F·s·cosθ，把力F和位移s看作向量a，b，如何从数学角度得到两向量积（a·b）的运算法则？（设计意图：建构数量积定义）

3. 活动提升核心素养

大概念视角下学生活动的设计：首先围绕本节核心问题，让学生在核心问题引领下生成结构化的知识;其次基于学生的认知结构和知识的逻辑结构，设计成逻辑连贯的“问题链”，让学生在“问题链”中学会思考;针对不同学习内容和任务设计不同的教学方式，包括引导学生阅读自学、合作交流、动手实践、自主探索等;活动最终指向概念所承载的素养，有利于发展学生的核心素养.

向量夹角活动设计：学生阅读课本后回答问题：①非零向量a，b，如何作出向量a和向量b的夹角？②探究非零向量a，b的夹角的范围. ③为什么要规定a，b是非零向量？④向量的夹角可以描述两向量的位置关系，向量共线与向量垂直时夹角分别为多少？

设计意图：本活动将知识转化为循序渐进的“问题链”，让学生依次概括出向量夹角的本质特征;问题③的追问体现了数学法则中的规定是合理的、自然的;问题④回到了本节课的核心问题：用向量表示几何关系. 活动设计的重心放在促进学生思考、提升学生数学抽象核心素养之上.

平面向量数量积定义的活动设计：①零向量与任一向量的数量积是多少？②决定数量积大小的量有哪些？数量积的结果是数量，数量积的正、负、零由谁决定？③如何利用平面向量数量积来解决长度与角度问题？

设计意图：问题①将课本的规定作为问题来探究，有利于提升学生数学抽象素养. 由于定义是对非零向量而言，不能用定义来计算，引发疑问;通过小组合作探究，学生发现可以联系情境中的问题2来说明. 问题②和问题③回到了本节课的核心问题，用向量的数量积来处理垂直、长度、角度问题.

4. 评价促进终身发展

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：评价既要关注学生数学知识技能的掌握，还要关注学生数学学科核心素养水平的达成，更要通过评价帮助学生认识自我、建立自信，改进学习方式，提升核心素养. 大概念背景下教学评价强调依据学情、课标中学业要求、核心素养水平划分的不同等级要求，创设概念迁移应用的真实情境，指向学科核心素养的达成. 本案例设置了两个评价活动，重点评价概念迁移与应用.

评价活动一：探究以下结论是否正确：①a·b=b·a;②（a·b）·c=a·（b·c）;③（a+b）·c=a·c+b·c.

设计意图：数量积作为一种运算，有怎样的运算律？问题①帮助理解数量积的定义，需要具备数学抽象的层次一水平;问题②可以通过小组讨论、合作探究来判定，可以让学生来讨论何时相等、何时不相等，可以有效地评价数量积的本质是数量，需要具备数学建模、数学抽象的层次二水平. 问题③直接探究较难，可以引导学生利用数量积的几何意义构造图形来解决，可以有效地评价平面向量数量积的几何意义，需要具备数学建模、数学抽象的层次三水平.

评价活动二：①已知正方形ABCD的边长为1，点E是边AB上的动点，  · 的最大值为______;②在正三角形ABC中，D是边BC上的点，AB=3，BD=1，则 · =______.

设计意图：本题的重点在新情境中评价平面向量数量积的几何意义，第①题： 在 上的投影长度为DF，因此最大值为1;第②题：过点D作DE⊥AB于E，则 在 上的投影长度为AE= ，由几何意义得到 · = ，需要具备直观想象的层次三水平、数学运算的层次二水平.

反思

基于大概念的教学设计是在单元大概念的统整下实施学习目标，最终指向单元整体教学目标，教学设计从大概念提炼、情境、问题、活动、评价五个方面来整体谋划，帮助学生建构概念，发展学生的核心素养.

（1）教师要从整体角度出发做好单元概念的层次分析，厘清概念之间的关系，构建概念图，提炼出隐藏于知识背后、统领单元的大概念，从大概念出发进行课时设计，形成结构化知识与方法体系.

（2）创设支撑概念发生、发展的真实情境，提出指向核心概念的结构化的问题，以“问题链”为依托设计学生活动，引领学生围绕主题学习.

（3）设计指向核心素养达成的评价任务，在迁移与应用检测素养的达成度， 促进学生的终身发展.