浅谈习题课教学中形成一般观念的路径

施永红

[摘  要] 章建跃先生在文[1]中提到：能自觉地运用一般观念指导数学学习与探究活动，是学生学会学习的标志，是从“知其然”到“知其所以然”，再到“知何由以知其所以然”的过程，也是理性思维得到良好发展的表现. 新课程理念下的习题课教学，就可以通过“活用教材→深入探究→注重数学通性通法→掌握数学思想和方法→形成一般观念→指导数学学习与探究活动→……”的路径达到培养数学核心素养、落实“四基”和“四能”的教学目标.

[关键词] 通性通法;思想方法;核心素养;一般观念？摇

引言

“直线方程”是解析几何的起始内容，也是解析几何的基础，所以在这个单元要充分挖掘有利于育人的教学素材.其中通过习题课教学充分调动学生学习与探究的积极性，注重数学通性通法，有利于形成一般观念，进而培养数学核心素养、落实“四基”和“四能”. 下面从直线方程的习题课教学过程及课后作业批改体会等方面浅谈习题课教学中形成一般观念的路径.

习题课典型例题分析

【课堂典例1】 人教A版课本P115B8

过点P（3，0）作直线l使它被直线l ：2x-y-2=0和l ：x+y+3=0截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.

解法一分析：要求出过点P（3，0）的直线l的方程，还需要另外一个点，可以把l 与l的交点A的坐标设出来，因为l ：2x-y-2=0，所以设交点只需要设出横坐标a，纵坐标用2a-2表示，即设A（a，2a-2）;再利用中点坐标公式求出l 与l的交点B的坐标B（6-a， 2-2a），把B的坐标代入l 的方程，求出a，即得A ， ，用两点式求解.

这是平常思维比较活跃的学生提供的思路，即运用“坐标法”.

解法二分析：要求出过点P（3，0）的直线l的方程，还缺一个“方向”，经分析斜率存在，设为k.分别联立l ：2x-y-2=0与l的方程y=k（x-3）及l ：x+y+3=0与l：y=k（x-3）的方程，用k分别表示l 与l的交点A ， ，l 与l的交点B ， ，再利用A，B的中点是P（3，0），求出k即可.

这是另一位学生提供的思路，设出所求直线方程的方法，即“待定系数法”.从计算量大小的角度看，本例题用设点坐标法更好.

【课堂典例2】 人教A版课本P110B9

已知△ABC的顶点A（6，1），AB边上的中线CM所在直线方程2x-y-5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0，求：（1）顶点C的坐标;（2）直线BC的方程.

分析：（1）C ，4，解略.

（2）以下是两位学生提供的不同解法.

解法一分析：设B（2n+5，n），则AB中点M ， ，把M的坐标代入直线2x-y-5=0，得2· - -5=0，得n=- ，从而B- ，- ，再用两点式求得直线BC的方程（下略）.

解法二分析：依题意，直线BC有斜率，设为k，则直线BC方程为y-4=kx- ，联立x-2y-5=0，得B ， ，AB中点M ， 在中线CM所在直线2x-y-5=0上，即： 2· - -5=0，解得：k= （下略）.

第一位学生运用的是“坐標法”，第二位学生运用的是“待定系数法”.同样，从计算量大小的角度看，本题运用“坐标法”更好.

【课堂典例3】 苏版的B组题

已知两条直线a x+b y+1=0和a x+b y+1=0都过点A（1，2），求过两点P （a ，b ），P （a ，b ）的直线方程.

分析：已知两条直线a x+b y+1=0和a x+b y+1=0都过点A（1，2），即有：a +2b +1=0且a +2b +1=0，即：点P （a ，b ），P （a ，b ）的坐标（a ，b ），（a ，b ）均满足x+2y+1=0，所以方程x+2y+1=0表示的直线必过点P ，P ，所以过两点P （a ，b ），P （a ，b ）的直线方程为：x+2y+1=0.

本题不乏其他解法.上述解法是“坐标法”的典型应用：用“直接把交点A（1，2）代入两条直线方程”来代数化“两条直线都过点A（1，2）”，再观察所得方程的形式特点，得到P ，P 的坐标同时满足的方程，此方程即为所求，体现了代数问题几何化和再从几何问题代数化的数学思想和方法.

通过本节习题课中学生的表现，可以看出笔者在教学中不断强调解析几何的最基本的思想及注重通性通法的教学效果. 解析几何的基本思想和方法是“几何问题代数化”和“代数问题几何化”，而解决本节课中问题的通法就是“坐标法”和“待定系数法”. 所以在这种习题课中形成一般观念的路径是：活用教材→深入探究→注重数学通性通法→掌握数学思想和方法→形成一般观念. 除了课堂中的学习与探究活动，还需要在初步形成的一般观念指导下，课后通过完成作业的方式，继续让学生参与学习与探究活动，进而逐步形成良好的循环圈.只有形成了这样的循环圈（即路径），才能培养学生的核心素养、落实“四基”和“四能”.所以本节习题课结束后，笔者布置了如下的作业题：

已知三角形的三个顶点分别是A（4，1），B（7，5），C（-4，7），求角A的平分线的方程.

作业批改中发现的教学效果

作业题的难点是：如何把“角平分线”的条件代数化.结果在批改中发现学生在作业中的良好表现，笔者按照“如何代数化‘角平分线的条件”来将方法归类.

【类型一】 用“角平分线上的点到角的两边的距离相等”来代数化“角平分线”的几何条件

解法一：（待定系数法）

设出角A平分线的点斜式方程，利用角平分线的性质求斜率（有增根，要舍根）.

解析：若角平分线的倾斜角为90°，则不可能. 设角A的平分线斜率为k，则角A的平分线方程为：y-1=k（x-4），令x=0，y=1-4k，得角A平分线与y轴的交点为N（0，1-4k），则点N到直线AB：4x-3y-13=0与到直线AC：3x+4y-16=0的距离相等，所以

= ，

即3k-4=-4k-3，所以k=-7或k= ，易得k= 是外角平分线的斜率，舍去. 所以角A平分线l的方程7x+y-29=0.

解法二：（轨迹法）

角A平分线上的动点M（x，y）满足的几何条件：点M到直线AB与到直线AC的距离相等. 由点到直线的距离公式，将几何条件代数化，得到角平分线上的动点M的横坐标x与纵坐标y的关系式，从而得到角平分线的方程. 由距离公式的特点，有增根，要舍根. 如图1，解略.

此方法从本质上与法一大同小异，都是利用“角平分线上的点到角的两边的距离相等”来代数化“角平分线”的几何条件;解法一通过设直线的点斜式方程，得到角平分线的斜率;解法二通过设直线上的动点坐标直接得到角平分线上动点满足的方程.事实上学生刚接触解析几何，动点轨迹的思想还很薄弱，因此法一尤其显得难能可贵.

【类型二】 对称转化“角平分线”法

解法三：（坐标法）

设出对称点坐标，通过“距离相等”代数化“对称（角平分线特点）”的条件，求出对称点坐标，再利用对称性求角平分线的斜率.

解析：把直线AB，AC关于角平分线对称，转化为直线上的点关于角平分线对称，即：设点C关于角A平分线的对称点C0（或点B关于角A平分线的对称点B0）的坐标（由于直线已知，所以所设的横、纵坐标只有一个未知数），再用“AC=AC ”或“AB=AB ”来代数化“对称（角平分线特点）”的条件，从而建立对称点坐标的方程来求解.

解析：如图2. 设在AB：4x-3y-13=0上与点C关于角平分线对称的点C a， ，且有AC=AC （所设的定点C 所满足的几何条件），利用两点的距离公式，将条件代数化： 10= ，解得：a=10，或a= -2（舍），所以C （10，9）. 又C（-4，7），所以k = = . 因为CC ⊥角平分线l，所以k =-7（下略）.

或者：如图3，在AC：3x+4y-16=0上设出与B关于角平分线对称的点B a， . 由AB=AB 同理可得：a=0，或a=8（舍），所以B （0，4）（下略）.

注意：本题是用“角的顶点到两边上关于角平分线对称的点的距离相等”来代数化“对称（角平分线的特点）”的条件，从而建立相关对称点坐标的方程来求解.

解法四：（数形结合法）

充分挖掘图形的几何特征，直接找到点B关于角平分线对称的点的坐标.

解析：因为AC=10=2AB，取AC中点M（0，4）. 因为AM=AB=5，所以点M（0，4）与点B（7，5）必是关于角A平分线的对称点，因为k = = ，BM⊥角平分线l，所以k =-7（下略）.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

法四的价值在于：发现AC=10=2AB，自主求出AC中点M（0，4），必有AM=AB=5，所以点M（0，4）必是点B关于角A平分线的对称点，从而由对称性得到角A的平分线的斜率.

同样是用“角的顶点到两边上关于角平分线对称的点的距离相等”来代数化“角平分线”的条件，解法四与解法三不同的是：通过观察探究，直接找到了点B关于角平分线对称的点的坐标（0，4），而不是通过常规的“设点坐标、建立方程”求解.可见，充分挖掘图形的几何特征有利于减少代数的计算量.

【类型三】 利用“角平分线与角的两边所成的角相等”代数化“角平分线”的条件.

解法五：（三角法）

先充分挖掘图形的几何特征，再找角平分线的倾斜角从而得到斜率.

因为k ·k =- · =-1，所以AC⊥AB，如图4，角平分线的倾斜角β为AB的倾斜角α加上45°.因为k = =tanα，角平分线的斜率k=tanβ=tan（α+45°）= = =-7，由点斜式得（略）.

本方法利用图形的几何特征，从观察倾斜角为切入口，利用“角平分线与角的两边所成的角相等”代数化“角平分线”的条件，直接找到角平分线的倾斜角与角的两边的倾斜角的关系，从而求出斜率. （若设直线AC的倾斜角为γ，则γ=β+45°，所以β=γ-45°，tanγ=- ，亦同理可得.）

解法六：（三角法）

由角相等，挖掘倾斜角的关系，用斜率来坐标化倾斜角. 作出直线AB，AC及角A的平分线与x轴的交点，则直线AB的斜率为k = ，倾斜角为α ;角A平分线的斜率为k ，倾斜角为α ;直线AC的斜率为k =- ，倾斜角为α . 由对顶角相等及三角形外角和定理得：α -α =α -α （1），由k =tanα ，k =tanα ，k =tanα ，所以将（1）式两边取正切（本题有意义）：所以tan（α -α ）=tan（α -α ），所以 = ，所以 = .

所以 = 整理得：（3k -4）2=（4k +3）2，从而求出斜率（有增根，要舍根）（下略）.

此方法与解法五如出一辙，都是利用“角平分线与角的两边所成的角相等，由倾斜角入手来代数化“角平分线”的条件. 解法五是首先挖掘到“角的两边互相垂直”，很明显解法六更具一般性.

【類型四】 利用角平分线定理求出角A平分线与BC的交点D的坐标

解法七：设点（角A平分线与BC交点D）（向量法）

利用角平分线定理，结合数乘向量，求出角A平分线与BC交点D的坐标，用两点式得AD的方程.

解析：设角A平分线与BC交点为D，由等面积法或正弦定理易证： = = ，因为点D在线段AB上，可以把线段的距离比转化为数乘向量： =2 ，

因为C（-4，7），D（x，y），B（7，5），所以（x+4，y-7）=2（7-x，5-y），

所以x+4=14-2x，y-7=10-2y，所以x= ，y= ，所以D ， . 又A（4，1），由两点式得直线AD（即角平分线）的方程.

本方法的价值是：利用数乘向量把角平分线中的距离比 = = 转化为 =2 ，使得二维的距离代数运算（二元）转化为一维的代数运算（一元），大大减少了计算量;但是本方法要求学生对“角平分线的性质”很熟悉.

通过比对发现，凡是能够充分挖掘图形的几何特征的方法，如法四、五、六、七等，计算量都比较小. 可见解析几何中数学运算素养的发展，是与数形结合、直观想象的素养发展紧密联系的.

笔者在批改作业的时候，深深为学生的拓展思维所折服. 即使是基础较弱的孩子，也有闪光的智慧. 很明显，学生已经逐步形成了解决解析几何问题的一般观念：作图（数形结合挖掘可代数化的几何条件），设点（求定点坐标或求动点轨迹），或者根据题意设方程（本题是设直线方程的点斜式）. 一般观念不仅能引领学生开展前后一致、逻辑连贯的学习活动，而且还能激发学生的创造性思维，使发现数学对象的本质、关系和规律成为可能，从而使学生应用概念思维的一般观念解释较大范围的一系列相关现象，感受一般观念的普适性以及在解决数学问题中的威力[1] ，这样才能逐渐发展学生的数学学科核心素养.

笔者认为学生在作业中令人眼前一亮的惊艳的表现，必是这一段时间的课堂教学积累的成效;通过解析几何中的问题解决，学生充分发挥自己的潜能，创造性地解决新情境下的问题，而不是机械地复述数学，可以使学生体验数学的思想方法，构建自己的数学观念，激发学生的自主性特征，即自尊、自信、自律和自我激励，培养学生对数学的兴趣[2]，这样的“活用教材习题，掌握思想方法，形成一般观念”教学只要持之以恒，学生的数学学科素养必定得到不断提升.

教学后的反思

“坐标法”是解决解析几何问题的通性通法，也是解析几何的核心思想和方法，即“几何问题代数化”. 在教学中我们要反复强调“先直观感知图形性质、再用坐标代数化”的一般观念，概括起来就是：

1. 数形结合（充分挖掘图形的几何特征，使得几何条件可以坐标化;同时重视代数式子几何化）.

2. 在坐标系中设点坐标（定点或动点），然后利用几何条件，求出定点;或者求出动点坐标x，y的关系，即点的轨迹方程（注意纯粹性和完备性），通过研究方程来研究图形性质（本单元的图形是直线;之后会学习圆及椭圆、双曲线、抛物线，由一般观念同理可得）.

3. 如果图形是直线，则设出方程的相关形式，即待定系数法;注意直线方程各种形式的适用条件. 若采用点斜式，应先分类考虑斜率不存在的情况;若采用截距式，应先分类判断截距是否为零（本单元的图形是直线;之后会学习圆及椭圆、双曲线、抛物线，由一般观念同理可得）.

当学生在老师的引导下概括出以上三点，同时把“数学运算”的核心素养扎实落地，那么以后再持续学习解析几何可以说“走遍天下都不怕了”，这就是“一般观念”的威力！

參考文献：

[1]  章建跃. 核心素养导向的高中数学教材变革（续4）——《普通高中教科书·数学（人教A版）》的研究与编写[J]. 中学数学教学参考，2019（28）.

[2]  何小亚. 数学学与教的心理学[M]. 广州：华南理工大学出版社，2016.