基于建构主义理论的高中数学建模教学案例设计

王亚轩 杨亚强 李星蓉

[摘  要] 文章基于建构主义基本理论，以“飞越黄河”数学建模教学内容为例，通过引导学生经历抽象模型并求解的过程，促进学生探究意识和创新精神的培养，在“做”数学中更好地落实数学建模素养.

[关键词] 数学建模教学;建构主义理论;教学案例;高中数学

引言

数学建模是连接数学与现实世界之间的桥梁，是用数学知识和数学思想去解决现实问题的重要能力. 数学核心素养下的数学建模素养主要体现在：基于现实情境，抽象出数学模型，经历“发现、提出、分析、解决问题”的过程，进而发展学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，并且使学生学会用数学的眼光去看，用数学的思维去想，用数学的语言去表达世界[1]. 随着我国数学教育事业的发展，越来越重视能力的培养，而作为能力培养的重要支撑——数学建模，也就越来越受到重视. 近些年来，数学建模在高中课程中的地位日益凸显，这就意味着作为教师在教学中需要改变传统的教学方式，有目的、有层次地开展数学建模教学活动，让学生积极主动地参与教学全过程，养成独立思考、主动分析、主动建立数学模型解决实际问题的习惯，这些理念和方法与建构主义理论提出的学习者自己主动建构知识的理念是一脉相承的. 本文依据建构主义理论就如何更好地开展数学建模案例教学进行了研究与探索，在建构主义理论指导下通过构造有效的数学建模教学设计，形成典型案例，对教师进行数学建模案例教学具有重要的指导和示范作用.

建构主义理论与数学建模概述

建构主义学习观认为，学习是积极地建构知识体系而不是被动地接受信息刺激. 选择、加工和处理外部信息都是在已有经验背景的基础上进行的，也是学习者通过新旧知识之间反复、双向的互动过程来建构的，其中外部信息本身是没有价值的[2]. 在这一过程中，随着新知识体验的进入会使学习者的原始知识体系发生调整和改变，从而形成新的知识体系，这是一个内化的过程. 因此，教师在选择教学内容准备教学活动的时候，要充分考虑学生已有的发展水平和认知结构，这样有助学习效果的形成. 建构主义教学观强调教师应该帮助学生从现有的知识经验出发，在真实学习情境中，通过操作、对话、协作等方式进行意义建构. 建构主义认为，教学过程是学生主动建构知识的过程，而不是教师向学生直接传递知识的过程，所以学生是积极的意义建构者，而不是被动的信息接收者[3].

数学建模就是对现實问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法建构模型解决问题的素养. 数学建模的主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题[4]. 即运用数学的知识、思想、方法将实际生活中的问题转化成数学问题，从而抽象出模型进行求解的过程. 因此它对于培养学生的抽象思维能力、动手操作能力非常重要. 特别是当数学建模进入高中课程，可以细化为改变教师单一的灌输式教学方式，改变学生传统的全盘接受式学习方式，开展以学生主动获得知识为直接目的的数学建模活动. 因为数学建模探究活动比其他任何基础数学课程都更强调学生对实际生活的经历与体验，所以通过数学建模活动的开展，为学生提供一个积极探索、主动学习、合作交流、选择工具、收集数据、交流分享、检验反思的机会，以此来营造积极和谐的学习氛围.

在建构主义理论指导下，数学建模的教学过程是按照创设情境，确定问题，进而在学生自主学习以及合作交流的情况下，抽象出模型并求解的步骤进行的，正好与建构主义理论的教学过程一一对应起来落到实处.

基于建构主义理论指导下数学建模教学案例设计

在建构主义理论的指导下，数学建模的教学模式更加具体和清晰，数学建模核心素养的教学模式将建构主义理论对应起来一一落实. 具体的对应关系如图1所示. 本文将在建构主义理论的指导下，从创设情境、自主学习和效果评价三个方面涉及数学建模教学案例，指导日常数学建模内容的教学活动.

数学建模教学案例设计示例：

第一步，创设情境，确定问题. 这一步落实在数学建模教学中就是将实际问题转化为数学问题，我们称之为转化，也是学生需要培养的最重要的一种能力.

实际问题：被誉为“飞车第一人”的朱朝辉，在1999年骑摩托车成功飞越母亲河——黄河的壶口瀑布，如图2所示. 他是中国骑摩托车飞越黄河的第一人. 那么如果还有其他摩托车骑手也想飞越黄河，我们需要为他做哪些数据的收集和测算呢？

师生互动：在飞越黄河的过程中需要考虑到哪些因素呢？“飞越黄河”在黄河所在具体位置的高度以及其他几何方面的数据，可以通过实际测量，或者在互联网上查找资料.

设计意图：教师采用现实生活中的“飞越黄河”问题进行课题引入，抛出问题，进而展现照片，吸引学生的眼球，让学生投入课堂，在贯彻了建构主义理论下的“情境”教学原则之下，充分考虑数学建模的要求. 所选情境并非简单的创设，而是现实生活中的实际问题，在这一过程中最重要的就是“抛锚”，根据真实情境中确定的问题作为学生研究的中心，从而使得学生围绕确定的问题进行探究与学习.

第二步，自主学习，合作交流. 这一步落实在数学建模教学中就是学生用独立思考、合作交流的方式来完成数学建模的过程，在这一过程中培养学生的思考能力和合作能力.

（1）分组学习（每组6人，并确定每位成员的任务分工）.

（2）小组进行学习研讨，找出影响成功飞越黄河最核心的因素.

学生活动：想要成功飞越黄河，就需要从不同的角度去分析不同的影响因素. 学生一：从成功与否的角度来看，就必须考虑摩托车的起跳速度，只有知道最低起跳速度的时候才可能会成功. 故设计合理的起跳速度是这个问题的目标与核心. 学生二：摩托车想要起跳腾空，就必须借助斜坡面加速起跳，因此，斜坡面的坡度，即摩托车在沿跑道飞出时，运动方向与水平方向的夹角，也是需要设计的. 学生三：如果从安全的角度来看，就需要考虑摩托车的减震情况，就是摩托车在飞越过程中，最高点和落地点的高度差. 学生四：起跳能否成功还会受到天气的影响，以及还要考虑空气阻力.

综上所述，这个问题的核心是设计驾驶摩托车飞越黄河时的“起跳速度”，而设计起跳速度的核心是需要找到一个确定的函数来刻画飞越黄河的运动过程，而且，一旦确定了函数，也就是建立了模型，我们就可以求出特定的函数值、极值，从而解决这个问题.

制定相应的模型，找出解决方案

合作探究：对于以上四点问题的考虑，发现已经涉及了物理中的运动问题，那么就要求我们通过回忆物理知识和物理公式，从而建立物理模型. 同样，想要解答这个问题，我们可以通过简化问题使题目变得易解. 如忽略空气阻力，摩托车在与跑道分离后，就可以看成是在做斜抛运动，其轨迹是抛物线，我们可以把“斜抛运动”模型看成是水平和竖直方向上的两个运动方程，从而就能得到相应的数值解.

设计意图：教师在课堂上不断鼓励学生，让学生进行小组合作探究，在“自主和交流”中完成对知识的理解与建构. 教师为学生营造了自由的学习环境，这是依据建构主义的教学原则设计的，同时也完全契合数学建模所提倡的观点. 在此环节中，教师不是直接告诉学生如何解题，而是为学生提供一些相关的线索，指引学生通过挖掘线索，获取信息，并与同伴分享结果，通过不同观点的碰撞，形成全面完整的解题思路.

第三步，效果评价. 这一步落实在数学建模教学中是指学生经历了建模过程，并对所建立的模型进行评价反思，进而优化模型（通过不断迭代，从而得到最优模型），培养学生反思、探索和创新能力.

（1）首先通过查找资料，对影响飞越黄河的有关因素做出合理假设，进行符号设定.

（2）其次，根据前面的分析，将摩托车的运动看成是斜抛运动，在不计空气阻力的影响下，建立斜抛运动数学模型并求解出摩托车运动的轨迹方程：

y=- x2+xtanα？摇

（3）再次，通过求出的轨迹方程，得到摩托车最高点與落地点：？摇？摇？摇？摇？摇？摇

y = ？摇

y =- l2+ltanα

（4）按照题目要求，只要 y -y ≤h？摇即可.

（5）模型验证，根据实际分析和查找的数据计算可得，y =0.8334 m，y =-9.1650 m（负号表示与坐标系中y轴的方向相反），故y -y =0.8334-（-9.1650）=9.9984≤h，符合要求.

（6）模型评价与反思.

学生一：为了简化题目，利于理解与建立模型，没有考虑空气阻力对摩托车运动轨迹的影响. 但是对于运动学来说，如果物体在空气中运动时，那么它的运动速度越大，所受到的空气阻力也就越大，所以如果实际中为了得到更精确的结果，对于速度很大的物体，不能忽视空气阻力的影响. 故对于摩托车飞越黄河，如果能够考虑到空气阻力，会让模型更加精确. 学生二：摩托车飞越黄河时，做的是斜抛运动，可以计算得到水平运动距离，如果考虑到空气阻力，实际水平距离就小于计算的距离，因此只有将实际起跳速度增大一些，才能增大实际水平距离.

教师：如果我们考虑到空气阻力的影响，很多资料中记载，空气阻力是随着物体运动速率变化而变化的，而且很多文献将这种关系简化为空气阻力与物体运动速度的平方成正比例关系，如果基于这样的关系，我们要建立哪种新的模型来求解，感兴趣的同学可以自己去研究.

设计意图：根据建构主义教学原则，教师始终落实抛锚式教学方式，引导学生抽象出模型，不断鼓励学生，让学生进行小组合作探究，在“自主探索和交流”中完成模型的求解过程，引导学生发散思维，让学生发现解决现实问题的方法. 在解答模型之后，再回到现实生活中去验证是否符合实际情况，与建构主义不同的是，数学建模是一个闭合的过程，通过不断地检验，得到最终符合实际情况的结果.

案例总结

本案例在建构主义抛锚式教学的具体环节中贯彻了数学建模的具体实践过程，主要从创设情境、确定问题、自主学习、合作交流以及效果评价来落实. “飞越黄河”的数学建模教学活动从创设情境，分析问题，到设计研究方案，再到最终解决问题的过程中，都是以学生为主体，以解决实际生活中真实发生的事情为主线. 这个问题涉及的知识不止数学知识，还包括物理知识和物理模型，需要研究的变量和因素也比较多，可能学生在选择有关变量和有用的因素时，会产生思维障碍，需要教师适时引导. 在数学建模教学活动的研究中，需要以建构主义为指导，帮助学生确定要研究的具体问题，厘清有关的变量，并进行符号设定，在最终建立模型后，可以利用数学知识和数学信息技术进行求解，再验证实际情况下是否有意义，模型是否正确，以及建构主义理论指导教师从多角度评价学生进行数学建模活动的过程.

建构主义理论对数学建模教学的启示与建议

数学建模是在建构主义理论的基础上加以丰富和创新，使其更能体现出数学建模的魅力. 建构主义理论从创设情境到解决问题、效果评价都是围绕已有的知识点展开的，为获取知识而创设情境，而数学建模教学要选择的是一个符合学生身心发展特点以及生活实际中真实存在的问题情境，只有这样才能在建模的过程中将主动权交给学生，让学生亲身经历、体验抽象出模型并求解的过程，这样也能确保学生的主体地位. 建构主义是按其教学顺序依次进行的教学过程，而数学建模过程是一个系统的迭代过程，如果得到的最终结果与实际问题不符合，就需要对假设条件进行修改，进入下一个迭代过程，直到得到与实际相符合的结果，停止迭代. 而数学建模在建构主义的指导下形成了独具特色的教学模式，是发展，也是创新，故数学建模在建构主义理论指导下应注意以下几点：

1. 注重数学建模课题选择

建构主义认为学生是发展中的人，其发展具有一定的规律性，所以教学内容的选择应依据学生的认知发展规律，通过了解不同年龄阶段学生的身心发展特点，从而选择合适的教学内容. 而数学建模要求学生具有一定的知识储备，但对于高中生来说，不管是数学基础知识、基本能力，还是计算机使用能力都不是很高. 因此教师必须选择适合高中生发展水平的数学建模课题，并且课题应该具有实用性与趣味性，不但要引起学生的兴趣与好奇心，而且要源于实际生活且不夸张. 比如本文中选择了“飞越黄河”这一案例，不仅能够引起学生的好奇心与积极性，而且是现实生活中真实发生的事情. 最终解决这一问题所用的基础知识与基本方法也是学生已经学习过的，包括所用到的物理知识——斜抛运动.

2. 转变数学建模教学方式

新课标指出，教师是学生学习过程中的合作者、引导者与组织者. 以“教师的教”为主体的教学方式应该转变成以“学生的学”为主体，被动学习应该变成积极主动的学习. 建构主义理论也强调学生主动、有意义地建构知识. 在数学建模的教学中，教师通过提供问题情境，为学生营造良好的学习氛围，消除他们厌恶、畏惧数学建模的心理，逐步引起学生对数学建模的兴趣，故在数学建模教学中教师应做好学生学习数学建模的引路人.

3. 形成数学建模多元评价体系

建构主义强调学生建构知识的过程性评价，包括如何寻找知识、重构知识，将新的知识顺应到自己已有的认知结构中，以及在这一过程中获得能力与思维品质等. 新课标中提出要建立完整、科学的评价体系，因此在数学建模教学中，可以形成一套过程性多元评价体系，贯穿在学生的整个建模过程. 数学建模过程中，有的学生对于上网查资料比较擅长，有的学生善于使用信息技术，有的学生善于撰写论文，等等，都可以作为评价依据，使学生受到表扬后更加热衷数学建模，并提高自己的数学建模素养.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017版）解读[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]  王琳. 基于建构主义的高中数学教学设计的研究[D]. 内蒙古师范大学硕士论文，2007.

[3]  吴雪娇. 基于建构主义的高中数学教学设计模式研究[D]. 信阳师范学院，2012.

[4]  教育部基础教育课程教材专家工作委员会. 普通高中数学课程标准（2017年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2017.