回归数学本质，提升解题能力

刘畅

[摘  要] 在解题中以认清数学问题的本源为基础回归数学本质，找寻解题的根本规律，即可达到善于解题的目标. 文章提出，回归数学本质是提升学生解题能力的路径和方法，具体来说，回归概念的本质是善于解题的前提，回归数学思想是善于解题的根本，回归多种视角是善于解题的利器.

[关键词] 高三数学;习题讲评课;数学本质;解题能力

数学是一门专注于规律研究的学科，毋庸置疑，解题过程具有其根本规律和属性，而这个根本规律与属性即数学本质. 高三复习中，习题讲评课是最为常见的课型，讲评内容覆盖了整个高中的数学教学内容，为学生分析和纠正问题提供了帮助，为知识的系统理解和能力的发展提供了机会，习题讲评的成败决定着高三复习的质量，使得学生在深度思考中强化“四基”，在探究发现中提升“四能”.

没有人怀疑习题讲评对于数学复习的重要作用，但落实在教学实践中却是千差万别的. 学生的解题能力大多数时候都是在解题、析题和评题的活动中得以培养的. 笔者认为，在解题中以认清数学的问题的本源为基础回归数学本质，找寻解题的根本规律，即可达到善于解题的目标. 本文对习题讲评的理解是，通过对数学解题的教学研究，体会问题中的数学本质，探究解决数学问题的基本规律，感受数学探究的“味道”，从而学会数学思维.

回归概念的本质是善于解题的前提

在高三习题讲评中，不少教师对所涉知识一带而过，轻描淡写地强调死记硬背，学生对此也是走马观花，根本不会探究本质. 张建跃博士曾言“解题错误主要源于概念把握不准”，不少学生和教师口中的粗心实质上就是概念、定理等知识的理解不清或不到位，缺乏对概念本质的理解和把握. 因此，理解和回归概念的本质是善于解题的前提. 习题讲评的过程中，教师应在概念复习上下足功夫，帮助学生理清概念本质，实现对其认知的螺旋提升，在解题中凸显回归概念解题的规律，从而轻松解题.

例1：如图1，已知等腰梯形ABCD中，AB=2，CD=1，AB∥CD，∠DAB=60°，且点E为该梯形上的任意一点，试求出 · 的取值范围.

师：下面谁愿意来说一说这道习题的解题思路呢？

生1：可以将 · 看成一组基底，再通过三种情形以基底向量来表示 一一求出范围，进而得出结论.

生2：我的想法类似于生1，我与他不同的是我是通过建系并利用坐标得出的.

生3：可以根据向量数量积的定义，观察 在 方向上的投影，即可直接得出結论.

师：三位同学的解法都非常棒，尤其是生3的解法最为简洁易懂，是通过向量数量积的定义直接得出的结论，具有运用定义解题的意识，省略了烦琐的运算过程，这一点值得其他同学学习. 由此可见，数学概念的深刻理解对于我们解题是十分重要的……

评析：在解题中，一个问题的繁难往往不在于题目的抽象、形式的复杂或知识点的综合性，关键在于是否能准确定位题目中包含的相关概念，从而将抽象问题转化为对一个或多个概念的理解[1]. 观察例1可以看出难度较小，那它的讲评价值是什么呢？事实上，通过本题的讲评，不仅可以帮助学生对基底法和坐标法这两种解决向量问题的基本思路有一个深层次的认识，还可以让学生感受到向量数量积的定义优化解法的效能，感知概念的重要性，深化对概念的理解.

回归数学思想是善于解题的根本

知识是“基础”，方法是“手段”，思想是“深化”，从而数学思想就是数学的灵魂. 新课程理念下提出的“提高学生的数学素养”，其核心就是提高学生对数学思想和方法的理解和运用，数学素养的综合表现即为“能力”. 习题讲评课中，不少教师对解题思路的探究，热衷于解法1、解法2、解法3……从而引导学生从本质上谈解法，即站在数学思想和方法的高度去解说，让学生切实感受数学思想和方法挖掘本质的过程，让学生真实感受优化解法的过程，让学生清晰理解解题的方向，并拥有一双透过现象看到本质的“慧眼”，深刻领悟其中的数学思想，使问题的解决变得自然而简单，充分发展学生的思维和能力.

例2：已知S 为各项均是非零实数的等差数列{an}的前n项和，并满足a +a ≤4，试求出S 的最大值.

师：下面请两名学生板演具体解法.

生1：设{an}的公差是d，据题意，可得2a +18a d+81d2≤4 ①，又S =9a +36d，所以a = S -4d. 将其代入①式后，化简可得41d2+ S d+ S -4≤0.

因为关于d的以上不等式有解，所以Δ= S  -4×41× S -4≥0，可解得-2 ≤S ≤2 ，所以S 的最大值是2 .

生2：令a =rcosθ，a =rsinθ（0

师：其他同学觉得生1和生2呈现出的两种解法，哪一种解法更简洁，你更喜欢用哪一种解法呢？

生（齐）：生2的解法更简洁.

师：这里数列基本量的相对性决定了此处可以不失时机地运用整体换元的思想和方法……

评析：探寻解题的自然性和简洁性，当感受一般方法按部就班求解不易时，不少学生则会想到探寻解题的简洁性. 本题解决的关键在于整体化思想的运用，只需将a ，a 这两个量利用好相对性进行转化，则可大大地简化运算过程，避免学生陷入思维在低水平重复的单一运作中，让学生充分感受解法与步骤的简洁性和自然性. 往往具有简洁性这一特质的解法对学生思维品质的要求较高，因此回归数学思想和方法来解题可以简化数学运算，利于提升学生解题中的思维层次和思维强度，进而完善思维品质.

回归多种视角是善于解题的利器

数学学习中解题是不可或缺的一种训练方式，我们都深知数学题是解不完的，需要的是通过手边题目中那些有助于解析后面题目的特征，以此想方设法揭示出隐藏于内的一般模型，从而彰显拓展数学问题的自然. 实践证明，引导学生从不同的方向、以不同的方式、从不同的数学视角来观察并解决一个问题，无论是成功还是失败的尝试，都可以使其对本质的理解更深一步，从而易探求到最优化的方式，对提高解题能力和启迪发散思维有着重要的积极作用，最终可提高数学解题的收益率[2].

例3：已知y= （a，θ∈R），则对于任意a和θ，y的最大值和最小值之和为________.

本题为上一课结束时教师留下的思维题，课后学生进行了深入探究，并有了一定的认识.

师：刚才看了大家的习题完成情况，非常好！下面大家一起来看看以下两种解法（PPT演示）：

解法1：据题意，可得y（a2+2acosθ+2）=a2+2asinθ+2，将等式整理为关于a的方程，则有（y-1）a2+2（ycosθ-sinθ）a+2y-2=0. 因为关于a的方程有解，所以Δ=4（ycosθ-sinθ）2-4（y-1）（2y-2）≥0，化简后可得4（y-1）2-（y2+1）≤（y2-1）cos2θ-2ysin2θ. 又因为上式的右边≤ ，所以4（y-1）2-（y2+1）≤ ，化简后可得y2-4y+1≤0，所以y =2+ ，y =2- .

解法2：y= 表示的是点M（ + ， + 到点N（-sinθ，-cosθ）连线的斜率. 又因為点M在y=x（x≥ ）所表示的两条射线上，点N在单位圆上，再借助图形，探求临界值，得出y =2+ ，y =2- .

师：以上两种解法都十分精妙，其他同学有没有明白呢？

生（齐）：明白.

师（追问）：那么，还有哪些方法可以求双变量函数的最值？

……

评析：上例是一节主题习题讲评课的导入部分，教师选择此例导入用意深刻，一是及时反馈学生的作业情况，并激励学生的积极思维和点滴进步;二是指引学生找寻到以上两种优化解法的共同点，适时延伸、拓展，以引起学生对双变量函数最值问题的解决方法的探究和讨论，从而自然生成解题路径[3].

总之，高三习题讲评课需要追求解题的根本方法——回归概念的本质，回归数学思想，回归多种视角，从而深挖数学精髓，让学生领悟数学真谛，感悟数学价值，学会数学思维，使高三习题讲评课真正走上高效之路[4].

参考文献：

[1]  杨德焱. 一道错误习题的错因探究及命题思考[J]. 中国数学教育，2011（17）.

[2]  齐欣. 明确转化方向，探求一题多解——一道中考题多种解法探究与思考[J]. 数学教学，2017（11）.[3]  雍明亮. 评卷得法，讲之有效——谈高三数学试卷讲评课策略[J]. 课程教育研究，2017（04）.

[4]  李宽珍. “评”“讲”并举 有效提高——也谈高三试卷讲评课的几点有效策略[J].中学数学，2013（21）.