核心素养下的数学解题教学

万祺

[摘  要] 解析几何问题一般综合性较强，能够充分考查学生的逻辑思维和数学运算等核心素养.文章拟从一个问题出发，从不同的角度探寻解析几何问题的常用解决方案，力求有所突破.

[关键词] 一题多解;方程思想;恒等变形;数形结合

本文的例题是高三复习时遇到的一个模拟考题，笔者尝试从不同角度出发，探寻解题思路，寻找不同解题策略，体会传统解析几何问题的解法及其之间的联系，希望对读者有所帮助.

试题呈现

例题：如图1，在平面直角坐标系xOy中，设椭圆E： + =1，过椭圆内一点P（1，1）的两条直线分别与椭圆交于A，C和B，D四点，且满足 =λ ， =λ ，其中λ为常数且λ>0，当λ变化时，直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出此定值;若不是，请说明理由.

分析与解答

角度1：传统解法——设点设线

解法1：设A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），直线AC：y=kx+m，联立椭圆方程y=kx+m，3x2+4y2-12=0得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，故x +x =- ，其中k= ，k+m=1，即m= ，所以x +x  = - =- .①

又1-x =λ（x -1），即x = .②

结合①②消去x 得x + = - =- ，整理得[1+λ+（λ-1）x ]·（6x +8y -19）=8λ（x y -y -x +y ），以λ为主元整理（1-x ）（6x +8y -19）=λ（-6x -8y +5x +19）=λ（5x -5）. 由x ≠1得λ= ，同理λ= ，消去λ得6x +8y =6x +8y ，故k = =- .

评注：本题直线AC的方程可以直接用点A和点P的坐标表示，联立后通过坐标之间的关系进行消元，分别找到点A，B的坐标与参数λ的关系，进一步消去λ后，即可整理出斜率的表达式.

角度2：坐标化——恒等变形

解法2：A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），由 =λ ， =λ ，得1-x =λ（x -1），即x +λx =1+λ①，1-y =λ（y -1），即y +λy =1+λ②，1-x =λ（x -1），即x +λx =1+λ③，1-y =λ（y -1），即y +λy =1+λ④.

由 + =1， + =1得 · = - ⑤，同理 · =- ⑥，而k = ，故只需求 . 一方面：①-③得x -x =-λ（x -x ），②-④得y -y =-λ（y -y ），故 = ，结合⑤⑥可知 = ，由合分比定理  = .

另一方面：①+③得x +x +λ（x +x ）=2（1+λ），②+④得y +y +λ（y +y ）=2（1+λ），故 =1，所以 =1，故k = =- .

评注：根据已知条件写出坐标之间的关系及所求的目标表达式，通过代数恒等变形将其化简求值，这种方法对方程思想、恒等变形能力等要求较高.

角度3：点差法

解法3：设A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），取AB中点M与CD中点N，由 + =1， + =1得 · =- ，即k ·k =- ，同理k ·k =- . 由 = =λ，可知△PAB与△PCD相似，故AB∥CD，即k =k ，所以k =k ，即点M，O，N共线. 又因为M是AB中点，N是CD中点，所以点M，N，P共线，因此M，O，N，P四点共线，即k =k =1，故k =- .

评注：涉及中点弦相关的问题，经常可采用点差法进行处理，找到斜率之间的关系.上述解法充分利用三角形相似等几何位置关系，降低了计算难度，优化了解法.

角度4：几何法——极点极线

解法4：由 = =λ，可知△PAB与△PCD相似，故AB∥CD，又点P（1，1）的极线方程为l： + =1，设CP交l于F，所以C，P，A，F成调和点列，即 = ;设DP交l于E，所以D，P，B，E成调和点列，即 = . 由 = ，得 = ，即 = ，所以 = ，结合AB∥CD可知EF∥AB∥CD，故k =k =k =- .

评注：极点极线是高等几何中的基本概念，如若掌握其基本概念和常用性质，对解决平面解析几何问题会有较大帮助.上述解法分别根据极线的代数定义和几何定义，通过数形结合找到直线EF与直线AB平行的关系，从而快速得出答案.

角度5：曲线系

解法5：由 = =λ，可知△PAB与△PCD相似，故AB∥CD，k =k ，以点P为原点建立新坐标系，则E′： + =1，设二次曲线AC×BD：（x-t y）·（x-t y）=0，AB×CD：（y-kx-m）·（y-kx-n）=0，故存在λ使得 + -1+λ·（x-t y）·（x-t y）=（y-kx-m）·（y-kx-n），比较等式两边一次项系数，x： =k·（m+n），y： =（m+n），消去m+n得k=- .

评注：曲线系也是解决解析几何问题的常用手段，找准曲线系的设法，往往能够事半功倍.本题以点P为原点建系，简化了直线AC与BD的设法，使之相乘后没有一次项，因此只需比较等式两边的一次项系数，就能得到答案.

角度6：仿射变换

解法6：E： + =1，令 =x′， =y′，则E′：x′2+y′2=1，因为k = = = ·k ，同理k =k · ，所以k ·k = ·k ·k .又A′B′//C′D'，A′B′中点为M′，C′D′中点为N′，由垂径定理O′M′⊥A′B′，又N′，O′，P′，M′共线，故O′P′⊥A′B′，即k ·k =-1，故k ·k =- . 又k =1，所以k =- =- .

评注：仿射变换通常能够把椭圆相关的问题转化为圆，而圆具有较好的几何性质，因此通过转化、化归可以解决此问题.在计算过程中要充分利用坐标变换，推导相关性质.

角度7：传统解法的优化

解法7：设A（x ，y ），B（x ，y ），由已知 =λ ， =λ ，由线段定比分点公式知C ， ，D ， ，又點C在椭圆上得 + =1，故7·（1 + λ）2+3x +4y -6（1+λ）x -8（1+λ）y =12λ2，整理得-5λ2+14λ+19=（1+λ）（6x +8y ）.

由λ≠-1，得19-5λ=6x +8y ，同理点D在椭圆上可知19-5λ=6x +8y ，故6x +8y =6x +8y ，即 =- ，所以k = - .

评注：用点A，B的坐标表示C，D的坐标，再将其代入椭圆方程，化简求值，大大简化了求解过程.

启发与思考

解决数学问题往往需要对问题的条件进行多角度转化、探究，这样才能一步一步地接近问题的本质规律，进而在分析过程中发现更优的解法.本文通过几种不同的角度和方向，对一般的解析几何问题常用解法进行逐一试探，使问题最终都得以解决.高三数学复习应做到多尝试，多思考，多总结;作为教师，复习课上选择的例题更应具有典型性，能够辐射多种数学思想方法，因而本题作为高三练习题，具有较好的复习效果和训练价值.

下面给出一个类似题目，读者可自行尝试求解.

已知抛物线E：y=ax2（a>0）内有一点P（1，3），过点P的两条直线l ，l 分别与抛物线E交于A，C和B，D四点，且满足 =λ ， =λ （λ>0，λ≠1），已知线段AB的中点为M，直线AB的斜率为k.

（1）求证：点M的横坐标为定值;

（2）如果k=2，点M的纵坐标小于3，求△PAB的面积的最大值.

答案：（1）点M的横坐标为1;

（2）△PAB的面积的最大值为  .