数学教学如何实现“懂”与“会”的零距离对话

吴嫦娥

[摘  要] “懂”代表理解别人的想法，可以顺其思路解决问题，然难于独自解决问题;“会”表示可以独立思考、提出自己的见解，按照自己的思路解决问题，做到学以致用. 要拉近“懂”与“会”的距离，就要求教师在数学概念、公式、例题、习题教学中精心筹备，通过深层次探究引导学生把握问题本质，从而做到“懂并会”.

[关键词] 解决问题;学以致用;问题本质

在学习中学生往往遇到这样的困惑，一听就懂，一做就错. 产生这一现象可能有两方面的原因：一方面原因来源于学生，由于学生学习知识不够深入，对概念、公式、定理的理解都停留于表象，对其内涵与外延不曾有效拓展，从而造成题目变化时因思维缺乏变通性而无法打开思路，从而无从下手;另一方面原因来源于教师，教师教学时，对学生学情分析不足，没有真正地从学生视角去思考问题，以至于学生对题意理解出现偏差，只有通过引导才能顺利解决问题.教学中教师要改变这一现状，首先得放下架子，深入了解学生，多从学生的角度设计问题，引导学生多角度思考问题、分析问题，培养学生思维的变通性.习题虽然千变万化，但知识点却是不变的，培养学生以不变应万变的能力，就需要思维的变通性.那么如何提高和培养学生思维的变通性，使之灵活解决问题呢？笔者根据教学实践，谈了几点自己的看法.

概念教学既要关注于内涵，也要拓展其外延

概念是前人智慧的结晶，是解决问题的理论依据，是学好数学的保障.然部分同学认为概念很简单，看一下就懂了，完全不需要学习，只要多做些练习题就可以了. 正由于对概念学习的不屑一顾，对概念内涵和外延的漠不关心，使学生对概念的认识停留于表象，没有深入理解和掌握，这样会严重制约知识的迁移. 同时，对概念的理解不能深入，也会使思维缺乏变通性，在遇到灵活应用概念解决问题时而碰壁. 因此，在教学中一定要重视概念教学，改变照本宣科的教学模式，引导学生对概念的内涵及外延进行深入学习.

例如在教学椭圆概念时，定义给出后，教师引导学生对概念进行再学习.

师：请拿出课前准备好的细线，同桌合作一起绘制椭圆. 绘制后请描述绘制过程.

生1：我们分工合作，一个人按住细线的两端，一个人用笔将线拉直后绘制一圈从而画出椭圆.

师：是这样吗？（教师用动画展示椭圆绘制过程，学生纷纷点头表示采用了同样的画法.）

师：请结合绘制过程对椭圆的定义加以陈述.

生2：按住的两端即两定点F ，F ，笔尖可以看成动点P，点P到两定点F ，F 的距离之和即为绳长，为常数，点P的运动轨迹叫做椭圆.F ，F 为焦点，线段F F 为焦距.

师：很好.若令PF +PF =2a（a为常数），F F 与2a满足什么条件才可以绘制出椭圆呢？

生3：必须满足F F <2a.若F F =2a，点P的轨迹是线段;若F F >2a，点P的轨迹是不存在的.

椭圆定义学习后，教师让学生继续巩固内涵并注意外延的学习，通过亲自动手实验和动画演示，让学生对椭圆、焦点、焦距等相关概念都有了直观的感受，亲身体验自然也会印象深刻.概念理解后，教师引导学生分析焦距和常数的关系，充分体验概念的外延.经过内涵与外延的深入研究，定会使学生在应用概念时得心应手.

数学概念的学习与其他学科不同，对其考查的方式往往是渗透于习题中，只有准确地把握，充分地理解，才能合理地运用.

例1：如图1，已知点A为椭圆 + =1内的一点，点F为椭圆的左焦点，点P为椭圆上动点，求PA+PF的最大值和最小值.

尝试1：直接设坐标求解. 设点P的坐标为P（x，y），则PA+PF= + . 该思路简洁明了，然不知如何进行消元计算，求解时碰壁了，因此必须另辟蹊径.

尝试2：几何法. 若使PA+PF值最小，考虑点P是否可以在线段AF上，然点P为椭圆上的点，该想法不成立.

尝试3：定义法.根据定义可将题目进行转化. 设椭圆的右焦点为F′，其坐标为F′（3，0），PF+PF′=2a=10，则PA+PF=PA+10-PF′=10+PA-PF′.若点P在AF′延长线上，PA-PF'最大为AF′= ;若点P在F′A延长线上，则PA-PF′最小为-AF′= - . 因此10- ≤PA+PF≤10+ .

该方法灵活地运用了椭圆的定义，把PF用PF′表示，将两线段和的最值问题转化为两线段差的最值问题，从而得到解决.我们还可以继续将这个问题改变数量大小，且利用向量的语言来刻画，便得到如下较新颖的问题：

已知平面向量a，b，e满足：b=e=1，b·e=0，a+e+a-e=4，则a-b+a-e的最小值为________.

解题思路分析：本题表面看是平面向量问题，实质上由平面向量加减法的几何意义可知，a的终点轨迹为椭圆，再结合椭圆定义参照例1的解法可得最小值为4- .

公式教学要引导学生认清本质

大多数学生都意识到数学公式的学习是学好数学的关键，也非常重视公式的积累，然存在公式背得滚瓜烂熟，用起来却无从下手，究其原因主要是因为学生对公式的学习过于符号化、表面化，没有真正认清公式的本质.因此，在教学中，教师要引导学生从公式获得、证明、应用三方面进行深入学习，以掌握公式本质，从而培养严谨的思维.

例2：设a为常数，求数列a，a2，a3，…，an，…的前n项和.

该题看上去简单，但在一次測试中其正确率却不足50%，问题就出现在公式理解不到位.

错因分析：对等比数列定义考虑不足.此题不一定为等比数列，例如a=0;同时，a≠0该数列为等比数列时，求和时也要对公比a是否为1进行讨论，体现了分类讨论的数学素养.我们都知道，分类讨论是学生的普遍弱项，如何突破，关键也在于在概念公式的准确理解和把握，其正解如下：

①当a=0时，S =0;

②当a=1时，S =n;

③当a≠0且a≠1时，S =a+a2+a3+…+an= .

该题求解发生错误暴露出学生思维不严谨，对公式的理解不够准确，对可能存在的情况缺乏合理的判断.例如此题发生的错误首先是对是否为等比数列缺乏合理的分析，其次又忽视了公比q=1的情况，因此，在教学中应引导学生掌握其本质，从而提高应用的灵活性和准确性.

例题、习题教学充分发挥其示范功能

具有代表性和示范性的数学例题、习题，是学生消化概念、公式、结论的工具，是提升学生解决问题能力的重要途径，因此在教学中要利用好例题、习题.为强化例题、习题功能，教学中常采用变式教学，让学生通过“变”发现问题的本质，利用“不变”的规律解决问题，这样既有利于发展学生的思维，也有利于培养学生的探究精神和创新意识.

例3：若直线y=x+b与抛物线x2=2y相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），试求b.

此题为教材习题，求解得b=2.为了让学生可以多层次、多角度地理解此题，教师可以按照由浅入深的方式将题目进行重新改编和拓展，使学生对此类型题目有更深的認识，从而提升学生解题的信心.

变式1：已知点C（0，2）为直线l上一点，直线l与抛物线x2=2y相交于A，B两点，O为坐标原点，求证：OA⊥OB.

变式2：直线l与抛物线x2=2y相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求证：直线l过定点（0，2）.

变式3：直线l与抛物线x2=2py（p>0）相交于A，B两点，且OA⊥OB（O为坐标原点），求证：直线l过定点（0，2p）.

该问题中直线过定点、抛物线、垂直关系是三个基本要素，教学时引导学生把握这三个要素之间的关系，灵活设置问题，从而深刻理解问题的本质，不仅如此，也可以引导学生研究或收集椭圆、双曲线中的相关问题，从而触类旁通，收获一类问题的解法.

在探究中发现规律认清问题本质

有学生认为数学是枯燥乏味的，因过于抽象而无法点燃学习热情，产生这一现象的原因是对数学问题缺乏探究，学习仅停留在懂的状态，没有认清问题的本质，缺乏独立思考和自主学习的能力.数学是丰富多彩的，题目是千变万化的，在具体问题解决后，应让思维再“跳一跳”，通过探究认清本质，发现规律，提升解决问题的能力.

例4：已知点O为△ABC内部的一点，且满足3 +2 + =0，则S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=________.

问题解析：已知给出3 +2 + =0似乎很难入手，此时是否可以结合重心的表示，将问题看成 + + =0，利用重心的性质. 大胆假设后，思路被打开了.

若O为△ABC的重心，则S△AOB=S△AOC=S△BOC= S△ABC，即S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1.

求解过程：根据此设想绘制图形，延长OA至A′，使OA′=3OA，延长OB至B′，使OB′=2OB，连结A′B′，B′C，A′C，从而得到△A′B′C，则 =3 ， =2 ， + + =0. 由O为△A′B′C的重心，

则S△A′OB′=S△A′OC=S△B′OC= S△A′B′C，

S△AOC= S△A′OC= S△A′B′C，

S△BOC= S△B′OC= S△A′B′C，

S△AOB= S△A′OB= S△A′B′C，

所以S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶3∶2.

解本题时运用了三角形重心这个特殊情况，通过这一特殊情况来进行挖掘和构造，从而发现问题的本质，通过大胆地尝试，得到了柳暗花明的结果. 问题解决后，还可以继续尝试将其更改为x +y +z =0，求S△AOB∶S△BOC∶S△AOC，根据上面的分析，很容易得出答案，即为z∶x∶y，当发现问题的本质后，其相同类型的题目也就迎刃而解了.

总之，“懂”与“会”之间看似相同却存在本质的差异，教师要认真钻研教材，引导学生通过合作交流、自主探究等学习方式，学会独立思考、自主学习，真正地做到不仅懂而且会.