培养学生创新能力 全面提高教学质量

林海波 林燕

摘  要：数学分析课程是数学类本科专业的一门重要的专业基础必修课。根据数学分析课程的特点和教学要求，我们对该课程教学改革进行了探索，较好地实现了“传统教学与现代教育技术初步整合，考核方式多样化、全程化，培养学生创新能力，全面提高教学质量”的目标。

关键词：数学分析;创新能力;教学质量

中图分类号：G642       文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2021）02-0145-04

Abstract： Mathematical Analysis course is an important basic course of mathematics undergraduate major. According to the characteristics and teaching requirements of the course of Mathematical Analysis， we have explored the teaching reform of the course， and better realized the goal of "the initial integration of traditional teaching and modern educational technology， the diversification and full process of examination methods， the cultivation of students' innovative ability and the overall improvement of teaching quality".

Keywords： Mathematical Analysis; innovative ability; teaching quality

一、概述

2018年5月2日，习近平总书记在北京大学师生座谈会上强调：“教育兴则国家兴，教育强则国家强。高等教育是一个国家发展水平和发展潜力的重要标志。今天，党和国家事业发展对高等教育的需要，对科学知识和优秀人才的需要，比以往任何时候都更为迫切。”在同年的全国教育大会上，习总书记在讲话中把“培养什么人”列为教育的首要问题。随后，《教育部关于加快建设高水平本科教育 全面提高人才培养能力的意见》指出：本科生是高素质专门人才培养的最大群体，本科阶段是学生世界观、人生观、价值观形成的关键阶段，本科教育是提高高等教育质量的最重要基础。办好我国高校，办出世界一流大学，人才培养是本，本科教育是根。建设高等教育强国必须坚持“以本为本”，加快建设高水平本科教育，培养大批有理想、有本领、有担当的高素质专门人才，为全面建成小康社会、基本实现社会主义现代化、建成社会主义现代化强国提供强大的人才支撑和智力支持。

众所周知，数学分析课程是数学类本科专业的一门重要的专业基础必修课，也是本科阶段学时最长、学分最重的一门课程，在培养具有良好的思想品德、数学素养和数学思维能力的专业人才方面，该课程所发挥的重要作用是任何其他专业课程无法比拟的。同时，数学分析是新生入学后最先接触的专业基础课之一，也是几乎所有后继数学课程的前提与基础，是学生开启高等数学之门的钥匙。因此可以说，数学分析课程的得失，将直接关系到学生数学能力的培养和整个专业教育的成败。

另一方面，对包括数学分析在内的各类课程的教学改革的研究从未停止过。在教学内容方面，文献[1]对从1995年至2005年数学分析课程教学内容（包括教材）改革方面的一些重大问题上出现的不同意见和观点，加以综述与分析;文献[2]认为在数学分析课程的教学中融入数学建模思想方法，配合数学模型内容，有利于提高学生的数学实践能力和理论知识的掌握，同时可以激发学生学习数学的积极性，提高学生的自身素质和数学素养。在教学方式方面，文献[3]针对数学分析习题课上主要采用讲授式教学方式，即多数时间是老师在讲习题，解题思路基本上是老师代替学生独立思考，造成有的学生课后作业根本就不愿意独立思考完成，而是等著老师在习题课上讲这一情况，提出了小组合作学习的方式;文献[4]在数学分析的概念、定理和习题的教学中，进行了基于研究性学习的教学实践。在教学形式方面，文献[5]概述了传统板书的诸多益处，指出数学教师应立足学科本质，关注教育需要，在传统板书和现代教育技术的使用间找到适度的平衡。在课程考核评价方面，文献[6，7，8，9]探讨了各种考核方式的利弊，比较了中西方考试方式，并提出了多种考核形式。

随着新时代的到来，数学分析课程的教学改革应该朝着哪个方向发展是值得我们研究的问题。

二、数学分析课程教学改革探索

《国家教育事业发展“十三五”规划》提出在深化本科教育教学改革时应推行以学生为中心的启发式、合作式、参与式和研讨式学习方式，加强个性化培养，并改进教学评价机制和学生考核机制。结合已有研究成果，我们在整个教学环节中，坚持“以学生为中心”的教学理念，从多维度对课程进行了教学改革与建设：在教学内容中向学生渗透数学思想方法，融入数学建模思想，同时开展反例研究，培养学生的数学思维模式和应用能力;在教学形式上，实现传统教学与现代教育技术初步整合;在考核方式上，采取“复合式-全程性-多元化”的考核模式;在教学方式上，通过课堂练习、小组讨论课、撰写问题研究论文，鼓励和引导学生参加数学建模竞赛和数学学科竞赛等方式，培养学生创新能力。通过以上多维度的教学改革与建设，较好地实现了“传统教学与现代教育技术初步整合，考核方式多样化、全程化，培养学生创新能力，全面提高教学质量”的目标。具体措施如下：

（一）拓展教学内容，加强教学的有效性

我们以国家级优秀教材[10]为教材，加强对主要概念、定理、公式、法则的实质的理解及应用，通过各种概念的形成过程、定理的推导过程、方法的思考过程、问题的被发现过程、思路的探索过程、规律的被揭示过程等等，逐步向学生渗透数学思想方法，培养学生的数学思维能力。

例如，极限的思想方法是数学分析中最基本的研究方法，它是从有限过程中研究无限过程的对立统一的思维方法，贯穿于数学分析学习的始终，是后续的连续、导数、积分等概念的基础。对极限概念的教学，应该纵向开展，层层递进。首先在极限定义的学习中，深入剖析？着-？啄语言的本质含义，其中？啄对？着的依赖性决定了寻找？啄的途径和方法。然后再通过后续的连续、导数、积分等重要概念的教学，层层挖掘它们与极限概念的密切联系，通过反思教学以此加深对极限思想的理解，形成知识点的联系网，同时把后续知识点的学习与极限思想方法的应用有机结合起来。这样形成一个动态的循环学习模式，使学生对知识点的学习不仅仅停留在概念本身上，可以进一步加深对知识点的理解，夯实基础，梳理知识点的前期背景和后续发展，形成闭环，从而减少知识点理解的盲区，更有利于微观上探究知识点之间的相互关系和宏观上把握课程的整体结构。

根据教学内容，积极融入数学建模的思想方法。在教学中注意创设体现数学和实际生活联系的情境，帮助学生感悟数学源于生活和实际，激发学生的学习兴趣和积极性。鼓励学生发现问题自主探索，并转换为数学模型来解决问题。文献[5]介绍了各知识点中涉及的建模实例，值得参考。

此外，我们结合教材，开展反例研究。对于数学分析中的定理、命题，运用恰当的反例从问题的反面出发，往往能够抓住概念或规则的本质，进而加深对知识的理解。数学中的很多问题，需要了解不满足条件的那些对象。在教学过程中，引导学生思考命题及其否定命题，探讨概念及其否定形式，可以进一步加深对知识点的理解。反例思想是数学分析中的重要思想，在概念、性质的理解，问题的研究与论证中都具有不可替代的独特作用。恰当地运用反例，对于正确理解数学对象，巩固和掌握定理、公式、法则等，培养学生的逻辑思维能力，规范数学语言的表达，预防和纠正错误，将起着十分重要的作用。因此，我们结合教材，对于数学分析中的相关反例加以总结和研究，对其中的经典反例附以证明，不仅全面而且有理有据，有利于学生对这一学科的深入学习。

例如，函数的连续性和可导性都是函数局部的性质，但教材上的例子中的函数性质一般都比较好，很多学生会误以为函数在某点的邻域内是连续或可导的。我们在教学中给出下面的例子：设f（x）=x2，x为有理数，0，x为无理数，则有

从而，f（x）在x=0点处连续且可导，另一方面易知f（x）在任意点x（x≠0）处都不连续，且都不可导。以上例子说明存在仅在一点连续或可导的函数，使学生对函数的连续性和可导性是函数的局部性质这一特点有更深的理解。

（二）采用“传统+现代”教学模式，提高教学效率

在教学形式上，采用“传统黑板教学+多媒体教学”的教学模式。就数学教学中的传统板书而论，其德育功能是使学生濡染工匠精神，美育功能内隐于数学之美、个性之美和劳动之美，智育功能是帮助学生构建认知结构，经历知识的“再创造”，积累基本活动经验，参与高效互动和获得思维缓冲。[4]在数学分析教学过程中，凡涉及到证明方法，解题思路等内容仍然沿用传统教学方法。此外，针对数学分析课程本身的特点，许多概念陈述和形象认知的问题用大量的板书费时费力也不够生动形象，这时多媒体课件可以更好地发挥作用，在比较短的时间段内解決问题，节省课程课时，扩大课堂信息量，增加教学的生动性，丰富教学内容，提高教学效率。

例如，在讲授Taylor公式在近似计算中的应用中，通过动画（图1）展示逼近过程，让学生体会Taylor公式所蕴含的局部逼近的数学思想。

整个数学分析课程教学中，传统黑板教学讲授约占总课时的90%，多媒体课件讲授约占总课时的10%，课堂教学效果良好。

（三）构建多样化、全程化的考试方式，保障教学质量

科学的考核评价方法，不仅能对教学起到反馈、调节、评价和促进的作用，而且对培养学生良好的学习方法和学习习惯，调动学生学习的积极性、主动性，促进学生创新意识、创新精神的养成具有重要意义。

我们采取“复合式-全程性-多元化”的考核模式，期末总成绩由作业（10%）、多次随堂开卷小测验（10%）、小组习题讲解评分（10%）、期中考试（20%）和期末考试（50%）综合而成，并且若学生在数学类竞赛获奖会有附加分，具体分数根据获奖级别且向全体同学公示，最多可加到总成绩满分。在考试形式上，以传统的闭卷考试为基础，根据课程教学内容采取开放的、灵活的多种考试考核形式：对知识性内容的考试仍采取传统的闭卷笔试考试形式;对学生调查、归纳、整理、分析等能力的考查采取分组讲解习题、论文考核、参与各种数学类竞赛的形式等等。多种形式的考核能够增强学生自学、思考和综合能力的培养，促进学生实践动手能力的提高。在考试时间安排上，做到全程化，注意平时考查学生学习态度、回答问题与讨论、作业和实践操作技能情况等，即平时考查、阶段小测验、期中和期末考试相结合。这样使教师及时了解学生在学习中存在的问题，获得反馈信息，从而指导教学，同时也更好地调动学生平时学习的主动性和积极性。采用传统单一闭卷模式考试的班级的不及格率经常高于10%，而采用多样化考试模式的班级的则降低到5%以下。此外，学生参与竞赛的积极性极大提高，并在竞赛中取得了不错的成绩。

（四）改革教学方式，培养学生创新能力

数学分析课程紧，教学任务重，任课教师往往不得不采用“满堂灌”的教学方式。我们在课前给学生布置了复习和预习任务，在课上前5分钟主要通过提问方式带领学生复习前一节课内容。此外，通过少讲例题，增加学生的课堂练习时间。练习的题目都是精心挑选，既有简单应用，又有拔高题。在练习期间，允许学生自由讨论，并对有些学生进行个别辅导。

由于数学分析这门课程是后续课程的基础，难度较大，而且包含的知识点比较多，因而对知识点掌握的程度要求较高。单纯的课堂教学、课后作业难以达到教学要求并实现教学目标。我们采取学生分组讲解习题，讨论题等来辅助教学。把学生分成若干个小组，每组组长由学习较好的学生担任，讲解范围一部分由教师预先指定，另一部则由学生自己收集整理，要求学生提前准备好讲稿。讲解过程中，学生和老师可以随时提问，同时老师给予指导和帮助。每次讲解完后，由全体同学现场打分（评分表见表1），老师进行点评，总结哪些地方做得好，哪些地方有待改进。

小组讨论课的形式对学生的学习过程进行了重构。学生在课前进行“信息传递”，在课堂上通过互动来完成“吸收内化”的过程。教师可以从学生准备的讲稿中了解学生的学习困难，并在课堂上给予及时有效的辅导。同时同学之间的相互交流也能有助于促进学生知识的吸收内化。通过习题讲解，既锻炼了学生分析问题能力，对知识的总结归纳能力、演讲能力等综合素质，又极大地提高了学生的参与意识和团队精神，变被动接受式的学习模式为主动发现式的学习模式，可以说学生从中得到的益处是难以估量的。

在课外，我们积极引导学生参加各种数学建模活动与学科竞赛，以此提高学生的应用能力与实践能力。为了与竞赛难度衔接，设计梯度性增长的课后练习和作业，并鼓励一题多解和巧解，帮助学生打开思路。增加课后答疑、上机实践和集中指导，针对课堂吃不饱的学生，提供课外阅读材料和提高型习题资料，并及时予以指导和帮助。在院系层面，结合学生社团，组织开展数学竞赛和建模活动，帮助学生熟悉竞赛环节，检视自己的学习水平，提高团队合作能力，同时给予正面鼓励。

近两年来，学生在全国大学生数学建模竞赛中获国家一等奖2项，国家二等奖3项，在全国大学生数学竞赛中获国家二等奖3项，国家三等奖8项。这些获奖的学生大部分同时也是各级大学生创新项目的项目主持人，并且有多人发表了SCI或EI收录科研论文，表现出较强的创新性。

三、结论

总之，数学分析这门课程不仅要教会学生循序渐进地领会已抽象出来的普遍结论、掌握扎实的专业基础知识，更重要的是培养学生抽象的逻辑思维能力、使其切实掌握运用数学工具分析问题、转化问题、解决问题的思想和方法，同时培养学生的创新精神和创新能力。学生对我们所进行的教学尝试和改革，也给予了正面的评价和肯定。最近一年教学评价评分排全校前5%。学生在教学评价中认为“本门课程的任课教师十分认真负责，课堂内容充实丰富，课堂秩序严谨活泼，老师的教学过程设计精心，老师的讲课风格幽默独特”“这門课注意学习的整个过程，对我来说，很多知识点经过课堂讲授、作业和小测验练习、习题讲解等过程可以比较熟练的掌握和运用，也使我对高等数学的很多知识更好地理解。”

我们也充分认识到，数学分析课程教学的改革是一项艰巨的系统工程，一个不断探索、不断改进的过程，需要我们坚持不懈的努力。

参考文献：

[1]王浚岭.关于数学分析教学内容改革的研究综述[J].数学教育学报，2005，14（3）：76-79.

[2]韦程东，罗雪晴，程艳琴.在数学分析教学中融人数学建模思想的探索与实践[J].高教论坛，2008，3：77-79.

[3]卞瑞玲.数学分析教学中的合作学习方法初探[J].当代教育科学，2010，23：67.

[4]葛仁福.基于研究性学习的数学分析教学实践[J].数学教育学报，2013，22（1）：80-82.

[5]陆珺.技术热背景下传统板书的功能审思——以数学教学为例[J].中国教育学刊，2019，6：74-78.

[6]邓义桂.高校考试中存在的问题与对策研究[J].高等农业教育，2008，5（5）：34-37.

[7]刘洁，冯婉玲，唐德玲.研究型大学课程考试改革的实践与思考[J].高等理科教育，2004，56（4）：31-33.

[8]赵宏，王春，朱春红.东西方大学考试方式的对比及对中国的借鉴[J].未来与发展，2007，3：59-62.

[9]刘妍珺，马赞甫，余孝军.关于一项大学课程考核机制实施效率的博弈分析[J].数学的实践与认识，2018，11：311-315.

[10]陈纪修，於崇华，金路.数学分析（第二版上册）[M].北京：高等教育出版社，2004.